1、二次根式知识点总结及常见题型 一、二次根式的定义 形如（0）的式子叫做二次根式.其中“”叫做二次根号,叫做被开方数.（1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.据此可以确定字母的取值范围;（2）判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断:是否含有二次根号“”;被开方数是否为非负数.若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式.（3）形如（0）的式子也是二次根式,其中叫做二次根式的系数,它表示的是: （0）;（4）根据二次根式有意义的条件,若二次根式与都有意义,则有.二、二次根式的性质二次根式具有以下性质:（1）双重非负性:0,0;（主要用于字母的求值）（2）回
2、归性:（0）;（主要用于二次根式的计算）（3）转化性:.（主要用于二次根式的化简）重要结论:（1）若几个非负数的和为0,则每个非负数分别等于0.若,则.应用与书写规范:,0,0,0 .该性质常与配方法结合求字母的值.（2）;主要用于二次根式的化简.（3）,其中0;该结论主要用于某些带系数的二次根式的化简:可以考虑把二次根号外面的系数根据符号以平方的形式移到根号内,以达到化简的目的.（4）,其中0. 该结论主要用于二次根式的计算.例1. 式子在实数范围内有意义,则的取值范围是_.分析:本题考查二次根式有意义的条件,即被开方数为非负数,注意分母不能为0.解:由二次根式有意义的条件可知:,.例2.
3、若为实数,且,化简:.分析:本题考查二次根式有意义的条件,且有重要结论:若二次根式与都有意义,则有.解:0,01,1.习题1. 如果有意义,则实数的取值范围是_.习题2. 若,则_.习题3. 要使代数式有意义,则的最大值是_.习题4. 若函数,则自变量的取值范围是_.习题5. 已知,则_.例3. 若,则的值等于 【 】（A） （B）0 （C）1 （D）2分析:本题考查二次根式的非负性以及结论:若几个非负数的和为0,则每个非负数分别等于0.解:0,0.选择【 D 】.例4. 无论取任何实数,代数式都有意义,则的取值范围是_.分析:无论取任何实数,代数式都有意义,即被开方数0恒成立,所以有如下两种
4、解法:解法一:由题意可知:00 00,9.解法二:设无论取任何实数,代数式都有意义0恒成立即抛物线与轴最多有一个交点0解之得:9.例5. 已知是ABC的三边长,并且满足,试判断ABC的形状.分析:非负数的性质常和配方法结合用于求字母的值.解:0,0,0ABC为直角三角形.习题6. 已知实数满足,则以的值为两边长的等腰三角形的周长为 【 】（A）20或16 （B）20（C）16 （D）以上答案均不对习题7. 当_时,取得最小值,这个最小值为_.习题8. 已知,则的值为_.习题9. 已知非零实数满足,求的值.提示:由0,且可得:0,5.例6. 计算:（1）; （2）; （3）.分析:本题考查二次根
5、式的性质: （0）.该性质主要用于二次根式的计算.解:（1）;（2）;（3）.注意:,其中0.该结论主要用于二次根式的计算.例7. 化简:（1）; （2）; （3）.分析:本题考查二次根式的性质:.该性质主要用于二次根式的化简.解:（1）;（2）;（3）原式.注意: 结论:.该结论主要用于二次根式和绝对值的化简.例8. 当有意义时,化简:.解:二次根式有意义03例9. 化简:.分析:,继续化简需要的取值范围,而取值范围的获得需要挖掘题目本身的隐含条件:的被开方数为非负数.解:由二次根式有意义的条件可知:03例10. 已知,化简_.解:例11. 已知直线（是常数）, 如图（1）,化简.解:由函数
6、的图象可知:例12. 已知在数轴上的位置如图（2）所示,化简:.解:由数轴可知:习题10. 要使,的取值范围是_.习题11. 若,则的取值范围是_.习题12. 计算:_.习题13. 计算:_.习题14. 若成立,则的取值范围是_.习题15. 下列等式正确的是 【 】（A） （B）（C） （D）习题16. 下列各式成立的是 【 】（A） （B）（C） （D）习题17. 计算:_.习题18. 化简:_.习题19. 若_.习题20. 已知,化简得_.习题21. 实数在数轴上对应的点如图（3）所示,化简代数式:的结果为 【 】（A） （B）（C） （D）习题22. 化简:.例13. 把中根号外的因式移
7、到根号内,结果是 【 】（A） （B） （C） （D）分析:本题实为二次根式的化简:某些二次根式在化简时,把根号外的系数移到根号内,可以达到化简的目的,但要注意根号外面系数的符号.有如下的结论:,其中0.解:由二次根式有意义的条件可知:.选择【 D 】.习题23. 化简得_.三、二次根式的乘法 一般地,有:（0,0）（1）以上便是二次根式的乘法公式,注意公式成立的条件:0,0.即参与乘法运算的每个二次根式的被开方数均为非负数;（2）二次根式的乘法公式用于二次根式的计算;（3）两个带系数的二次根式的乘法为:（0,0）;（4）二次根式的乘法公式可逆用,即有:（0,0）公式的逆用主要用于二次根式的化
8、简.注意公式逆用的条件不变.例14. 若成立,则 【 】（A）6 （B）06（C）0 （D）为任意实数分析:本题考查二次根式乘法公式成立的条件:（0,0）解:由题意可得:解之得:6.选择【 A 】.例15. 若成立,则的取值范围是_.分析:本题考查二次根式乘法公式逆用成立的条件:（0,0）解:由题意可得:解之得:1.例16. 计算:（0）.解:（0）.习题24. 计算:_.习题25. 已知,则有 【 】（A） （B）（C） （D）习题26. 化简的结果是_.四、二次根式的除法 一般地,有:（0,）（1）以上便是二次根式的除法公式,要特别注意公式成立的条件;（2）二次根式的除法公式用于二次根式的
9、计算;（3）二次根式的除法公式可写为: （0,）;（4）二次根式的除法公式可逆用,即有:（0,）公式的逆用主要用于二次根式的化简,注意公式逆用的条件不变.五、最简二次根式 符合以下条件的二次根式为最简二次根式:（1）被开方数中不含有完全平方数或完全平方式;（2）被开方数中不含有分母或小数.注意:二次根式的计算结果要化为最简二次根式.六、分母有理化 把分母中的根号去掉的过程,叫做分母有理化.如对进行分母有理化,过程为:;对进行分母有理化,过程为:. 由举例可以看出,分母有理化是借助于分数或分式的性质实现的.例17. 计算:（1）; （2）; （3）.解:（1）;（2）;（3）.例18. 化简:（
10、1）; （2）; （3）（）.解:（1）;（2）;（3）注意:随着学习的深入,在熟练时某些计算或化简的环节可以省略,以简化计算.例19. 式子成立的条件是_.分析:本题求解的是的取值范围,考查了二次根式除法公式逆用成立的条件:（0,）.解:由题意可得:解之得:.例20. 计算:（1）; （2）; （3）.解:（1）;（2）;（3）解法1:.解法2:.二次根式的乘除混合运算例21. 计算:（1）; （2）.解:（1）原式 （2）原式.习题27. 下列计算正确的是 【 】（A） （B）（C） （D）习题28. 计算:_.习题29. 计算:_.习题30. 直线与轴的交点坐标是_.习题31. 如果,那
11、么下面各式:; ; .其中正确的是_（填序号）.习题32. 若,则化简的结果是_.习题33. 计算:（1）; （2）.例22. 先化简,再求值:,其中.解:当时原式.习题34. 先化简,再求值:,其中.习题35. 先化简,再求值:,其中.习题36. 下列根式中是最简二次根式的是 【 】（A） （B） （C） （D）例23. 观察下列各式:（1）请利用上面的规律直接写出的结果;（2）请用含（为正整数）的代数式表示上述规律,并证明;（3）计算:.分析:本题考查分母有理化.解:（1）;（2）;（3）原式 习题37. 化简:.七、同类二次根式 如果几个最简二次根式的被开方数相同,那么它们是同类二次根式.同类二次根式的判断方法:（1）先化简二次根式;（2）看被开方数是否相同;（3）定结果:若相同,则它们是同类二次根式;若不相同,则不是.同类二次根式的合并方法: 几个同类二次根式相加减,将它们的系数相加减,二次根式保持不变.八、二次根式的加减 二次根式相加减,先把各个二次根式化简,再合并同类二次根式.二次根式加减运算的步骤:（1）化简参与运算的二次根式;（2）合并同类二次根式;（3）检查结果.例24. 计算:（1）; （2）.解:（1）原式;（2）原式.注意:不是同类二次根式不能合并.例25. 计算:.解:原式 例26. 计算:（1）; （2）.解:（1）原式 （2）原式 .
