1、二次函数知识点总结及典型例题和练习（极好）知识点一：二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果，特别注意a不为零，那么y叫做x 的二次函数。叫做二次函数的一般式。2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：有开口方向；有对称轴；有顶点。3、二次函数图像的画法-五点作图法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线与坐标轴的交点：当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二
2、次函数的图像。当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。【例1】 已知函数y=x2-2x-3，（1）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图象的草图；（2）求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积：（3）根据第（1）题的图象草图，说 出 x 取哪些值时， y=0； y0知识点二：二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：（2） 交点式：当抛物线与x轴有交
3、点时，即对应的一元二次方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。（3）顶点式： 当题目中告诉我们抛物线的顶点时，我们最好设顶点式，这样最简洁。【例1】 抛物线与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，且过（-1，16），求抛物线的解析式。【例2】 如图，抛物线与x轴的一个交点A在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则：（1）abc 0 （或或=）（2）a的取值范围是 【例3】 下列二次函数中，图象以直线x = 2为对称轴，且经过点(0，1)的是 ( )Ay = (x ? 2
4、)2 + 1 By = (x + 2)2 + 1 Cy = (x ? 2)2 ? 3 Dy = (x + 2)2 3知识点三：二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，当时，。OO-1OxOy1323【例1】 已知二次函数的图像（0x3）如图所示,关于该函数在所给自变量取值范围内,下列说法正确的是( )A有最
5、小值0，有最大值3B有最小值1,有最大值0C有最小值1,有最大值3D有最小值1,无最大值【例2】 某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天l80元时，房间会全部住满当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元设每个房间的房价每天增加x元(x为10的正整数倍)（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大? 最大利润是多少元?知识点四、二次函数的性质 1、二
6、次函数的性质函数二次函数图像a0a0时，抛物线开口向上 0时，图像与x轴有两个交点；当=0时，图像与x轴有一个交点；当0时y值随x值增大而减小的是（ ）Ay = x2 By = x C y = xDy = 【例6】 若二次函数当l时，随的增大而减小，则的取值范围是（ ） A=l Bl Cl Dl知识点五、二次函数图象的平移 对于抛物线y=ax2+bx+c的平移通常先将一般式转化成顶点式，再遵循左加右减，上加下减的的原则化为顶点式有两种方法：配方法，顶点坐标公式法。在用顶点坐标公式法求出顶点坐标后，在写顶点式时，要减去顶点的横坐标，加上顶点的纵坐标。 沿轴平移：向上（下）平移（m0）个单位，变成
7、（或） 当然，对于抛物线的一般式平移时，也可以不把它化为顶点式：向左（右）平移（m0）个单位，变成（或）【例1】 将抛物线向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是( ) A B C D【例2】 将抛物线y=x22x向上平移3个单位,再向右平移4个单位等到的抛物线是_.【例3】 抛物线可以由抛物线平移得到,则下列平移过程正确的是( )A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位 B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位 D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位【补】抛物线y=2x2-3x-7在x轴上截得的线段的长度为_【公式】抛物线y=ax2+bx+
8、c在x轴上截得的线段的长度为_知识点六：抛物线中， a、b、c的作用 （1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样. （2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：时，对称轴为轴；（即、同号）时，对称轴在轴左侧；（即、异号）时，对称轴在轴右侧.口诀-左同，右异 （a、b同号，对称轴在y轴左侧） （3）的大小决定抛物线与轴交点的位置. 当时，抛物线与轴有且只有一个交点（0，）： ，抛物线经过原点; ,与轴交于正半轴； ,与轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .【例1】 如图为抛物线的图像，A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点，
9、且OA=OC=1，则下列关系中正确的是( ) Aab=1 Bab=1 Cb2aDac0 Bb0 Cc0 Dabc0【例3】 如图所示的二次函数的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）；（2）c1；（3）2ab0；（4）a+b+c0。你认为其中错误的有( ) A2个B3个C4个D1个【例4】 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：ac0；a+b=0；4acb2=4a；a+b+c0.其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【例5】 如图，是二次函数 yax2bxc（a0）的图象的一部分，给出下列命题 ：a+b+c=0；b2a
10、；ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1；a-2b+c0其中正确的命题是 （只要求填写正确命题的序号）【例6】 如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是（ ）Amn，kh Bmn ，kh Cmn，kh Dmn，kh知识点七：中考二次函数压轴题中常用到的公式APBO1、两点间距离公式：如图：点A坐标为（x1，y1），点B坐标为（x2，y2），则AB间的距离，即线段AB的长度为 （这实际上是根据勾股定理得出来的）2、中点坐标公式：如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为， ，中点的坐标为由，得，同理，所以的中点坐标为3、两平行直线的解析式分别为：y=k1x+b1，
11、y=k2x+b2，那么k1=k2，也就是说当我们知道一条直线的k值，就一定能知道与它平行的另一条直线的k值。4、两垂直直线的解析式分别为：y=k1x+b1，y=k2x+b2，那么k1k2=-1，也就是说当我们知道一条直线的k值，就一定能知道与它垂直的另一条直线的k值。（对于这一条，只要能灵活运用就行，不需要理解）以上四条，我称它们为坐标系中的“四大金刚”【例1】 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x+3与x轴交于AB两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点（1）求直线AC的解析式及BD两点的坐标；（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线lAC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在
12、抛物线上是否存在点Q，使以点AP、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由（3）请在直线AC上找一点M，使BDM的周长最小，求出M点的坐标【例2】 如图，已知抛物线y=x2+bx+c与一直线相交于A（1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N其顶点为D（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EFBD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P
13、是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求APC的面积的最大值【例3】 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的右边），与y轴交于C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过P作x轴的垂线l交抛物线于点Q。（1）求点A、B、C的坐标；（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N。试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由。（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由。【练 习】1、平时我
14、们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、25 m处绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶已知学生丙的身高是15 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)( )A15 m B1625 mC166 m D167 m2、已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ）A0B1C2D33. 二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ）.4. 如图，已知二次函数的图象经过点（1，0），（1，2），当随的增大而增大时，的取值范
15、围是 5. 在平面直角坐标系中，将抛物线绕着它与y轴的交点旋转180，所得抛物线的解析式是（ ）A B C D6. 已知二次函数的图像如图，其对称轴，给出下列结果，则正确的结论是（ ）x21012y04664A B C D 7抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如上表：从上表可知，下列说法中正确的是 （填写序号）抛物线与轴的一个交点为（3,0）； 函数的最大值为6；抛物线的对称轴是； 在对称轴左侧，随增大而增大8. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（2，4），过点A作ABy轴，垂足为B，连结OA(1)求OAB的面积；(2)若抛物线经过点A求c的值；将抛物线向下平移m个单位
16、，使平移后得到的抛物线顶点落在OAB的内部（不包括OAB的边界），求m的取值范围（直接写出答案即可）9、“已知函数的图象经过点A（c，2）， ） ，这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。10、如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BCAD，BAD= 90，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（-1，0），B( -1，2)，D( 3，0)，连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到
17、ON，若抛物线y=ax2+bx+c经过点D、M、N（1）求抛物线的解析式（2）抛物线上是否存在点P使得PA= PC若存在，求出点P的坐标；若不存在请说明理由。（3）设抛物线与x轴的另个交点为E点Q是抛物线的对称轴上的个动点，当点Q在什么位置时有最大？并求出最大值。ABCDOENMxy图11、如图，抛物线y=x2+bx2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；判断ABC的形状，证明你的结论；点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值12、在平面直角坐标系中，如图1，将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上。设抛物线y=ax2+bx+c(a0)过矩形顶点B、C.（1）当n1时，如果a=1，试求b的值；（2）当n2时，如图2，在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN，使EF在线段CB上，如果M，N两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；（3）将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O，图1图2图3试求出当n=3时a的值；直接写出a关于n的关系式. yxOCAB
