1、绝密启用前数学试卷学校：_姓名：_班级：_考号：_题号一二三总分得分注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一. 填空题1. 已知集合，则非零实数 2. 不等式的解集为 3. 已知，则 4. 若满足约束条件，则的最大值为 5. 已知是函数的反函数，且，则实数 6. 在中，角、所对边分别为、，已知，则的面积为 7. 已知为等比数列，则 8. 在平面直角坐标系中，为原点，动点满足，则的最大值为 9. 我校5位同学报考了北京大学“强基计划”第I专业组，并顺利通过各项考核，已知5位同学将根据综合成绩和志愿顺序随机地进入教学类、物理学类、力学类这三个专业中
2、的某一个专业，则这三个专业都有我校学生的概率是 （结果用最简分数表示）10. 设是直线与圆在第四象限的交点，则极限 11. 设、分别是函数和的零点（其中），则的取值范围是 12. 已知，点在函数的图像上，则数列的前项和 二. 选择题13. 设复数满足，则复数对应的点位于复平面内（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限14. 若动点、分别在直线和上移动，则的中点到原点距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 15. 椭圆上有10个不同的点，若点坐标为，数列是公差为的等差数列，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 16. 已知，符号表示不超过的最大整数，若函数有
3、且仅有3个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 三. 解答题17. 如图，已知平面，与平面所成的角为30，且.（1）求三棱锥的体积；（2）设为的中点，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.18. 已知函数.（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）对任意，当函数的图像恒在函数图像的下方时，求实数的取值范围.19. 如图，有一块扇形草地，已知半径为，现要在其中圈出一块矩形场地作为儿童乐园使用，其中点、在弧上，且线段平行于线段.（1）若点为弧的一个三等分点，求矩形的面积；（2）当在弧上何处时，矩形的面积最大？最大值为多少？20. 已知双曲线经过点，两条渐近线的夹角为60
4、，直线交双曲线于、两点.（1）求双曲线的方程；（2）若过原点，为双曲线上异于、的一点，且直线、的斜率、均存在，求证：为定值；（3）若过双曲线右焦点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.21. 如果一个数列从第2项起，每一项都与它的前一项的差都大于2，则称这个数列为“数列”.（1）若数列为“数列”，且，求实数取值范围；（2）是否存在首项为1的等差数列为“数列”，且其前项的和满足？若存在，请求出的通项公式；若不存在，请说明理由；（3）已知等比数列的每一项均为正整数，且为“数列”，当数列不是“数列”时，试判断数列是否为“数列”，并说明理由.
5、参考答案及其解析一. 填空题1. 3 2. 3. 4. 35. 1 6. 7. 8. 9. 10. 1 11. 12. 【第10题解析】改编自2015年上海高考理18当时，直线方程无限趋近于直线，直线与圆在第四象限的交点坐标为，表示点与点连线的斜率，当时，无限趋近于点，因此，极限实际上就是圆上一点处切线的斜率，计算得斜率为1【第11题解析】，为与交点的横坐标，其中，为与交点的横坐标，其中，又与互为反函数，关于对称，由于，【第12题解析】由题意，得，两边取常用对数，得，是以为首项，2为公比的等比数列，从而，又，二. 选择题13. A 14. C 15. C 16. D【第15题解析】设椭圆上一点
6、，其中且，则，选C【第16题解析】即与的图像有且仅有3个不同的交点时，；时，；时，；如图，易得，选D三. 解答题17.（1）；（2）.18.（1）和；（2）.19.（1）如图，作于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，2分， 4分 .6分（2）设7分，9分 11分，12分即时，13分，此时A在弧MN的四等分点处，答：当A在弧MN的四等分点处时，14分20.（1）由题意得：2分解得：3分双曲线的方程为4分（2）证明：设点坐标为，则由对称性知点坐标为5分设，则7分，得8分10分（3）当直线的斜率存在时，设直线方程为， 与双曲线方程联立消得：，得且12分设、 14分 假设存在实数，使得，对任意的恒
7、成立，解得当时， 当直线l的斜率不存在时，由及知结论也成立综上：存在，使得16分21.（1）由题意得：，1分， 即 ， 3分解不等式得：；4分（2）假设存在等差数列符合要求，设公差为，则，由，得，5分由题意得：对均成立， 即：对均成立，7分，且，与矛盾，这样的等差数列不存在10分（3）设数列的公比为，则，的每一项均为正整数，且，且，即：在中，“”为最小项，同理，在中，“”为最小项，11分由为“型数列”，可知只需， 即 ，又不是“型数列”， 且“”为最小项，即，由数列的每一项均为正整数，可得：，或，12分当时，则，令，则，令，则，为递增数列，即，即，对任意的都有，即数列为“型数列”；16分当时，则，显然，为递减数列，数列不是“型数列”； 综上：当时，数列为“型数列”，当时，数列不是“型数列” 18分
