1、2021届福建省普通高中学业水平合格性考试（会考 ）适应性练习（二）数学试题一、单选题1设集合，2，3，则（ ）A，2，3，B，2，C，3，D，3，【答案】A【分析】直接由并集的运算可得答案.【详解】，2，3，2，3，.故选：A【点睛】考查集合的并集运算，属于基础题.2下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）ABCD【答案】A【分析】根据解析式直接判断出单调性即可.【详解】可知在区间上单调递增，故A正确；和在上单调递减，故BC错误；是常数函数，不单调，故D错误.故选：A.3在等差数列中,，则（ ）A5B8C10D14【答案】B【解析】试题分析：设等差数列的公差为，由题设知，所以，所以，故选B.【
2、解析】等差数列通项公式.4已知向量，则（ ）ABCD【答案】A【分析】利用即可求出.【详解】，.故选：A.5若ab0，cdBDb0，利用不等式的性质可得，得到结果，也可以利用特值法代入得到结果.【详解】方法1：cdd0，又ab0，.故选：D.方法2：令a3，b2，c3，d2.则1，1，排除选项A，B.又，排除选项C.故选：D.【点睛】该题考查的是有关不等式的问题，涉及到的知识点有不等式的性质，属于基础题目.6已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m，n满足m，n，则AmlBmnCnlDmn【答案】C【解析】试题分析：由题意知，故选C【解析】空间点、线、面的位置关系【思路点睛】解决这类空间点、线、
3、面的位置关系问题，一般是借助长方体（或正方体），能形象直观地看出空间点、线、面的位置关系7设是等比数列，下列说法一定正确的是（ ）A成等比数列B成等比数列C成等比数列D成等比数列【答案】D【解析】 项中，故项说法错误；项中，故项说法错误； 项中，故项说法错误；故项中，故项说法正确，故选D.8在轴上与点的距离为3的点是（ ）ABCD和【答案】D【分析】设出点坐标，根据空间两点间坐标公式即可求出.【详解】设所求点的坐标为，则由题可得，解得或1，故在轴上与点的距离为3的点是或.故选：D.9设，若，则（ ）A2B4C6D8【答案】A【分析】分和两种情况代入解析式求解.【详解】当时，解得，不符合，当时，
4、解得，符合，.故选：A.10若，则（ ）ABCD【答案】A【分析】由两角差的正切公式计算【详解】由题意故选：A【点睛】本题考查两角差的正切公式，属于基础题11在长方体中，则异面直线与所成角的余弦值为ABCD【答案】C【解析】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,所以,因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐
5、标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.12若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（ ）ABCD【答案】B【解析】试题分析：本题是几何概型问题，矩形面积2，半圆面积，所以质点落在以AB为直径的半圆内的概率是，故选B【解析】几何概型13在中，分別为内角，所対边的边长，若，则的值是（ ）A3B6C9D12【答案】B【分析】由题可得，再结合余弦定理可求出.【详解】，即，由余弦定理得，解得.故选：B.14平行于直线且与圆相切的直线的方程是（ ）A或B或C或D或【答案】A【解析】设所求直线为，由直线与圆
6、相切得，解得所以直线方程为或选A.15在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A1010.1B10.1Clg10.1D【答案】A【分析】由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,.故选A.【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识信息处理能力阅读理解能力以及指数对数运算.二、填空题16已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是_.【答案】.【分析】由题意首先
7、求得平均数，然后求解方差即可.【详解】由题意，该组数据的平均数为，所以该组数据的方差是.【点睛】本题主要考查方差的计算公式，属于基础题.17不等式的解集为_.【答案】【分析】运用绝对值解法求解，将结果写成集合即可.【详解】解：由得，即所以不等式的解集为.故答案为：.【点睛】解绝对值不等式的基本方法：（1）利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；（2）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；（3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解.18已知函数，则函数的零点个数为_.【答案】3【分析】根据函数零点定义，在分段函数的每一段求得零点
8、，加起来就是零点的个数.【详解】解：当时，令得或（舍掉），当时，令得或，所以函数的零点个数为3个.故答案为：3.【点睛】函数零点个数的判定有下列几种方法：（1）直接求零点：令，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点；（2）零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在上是连续的曲线，且，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点；（3）画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.19已知函数的图象关于直线对称，则的值是_【答案】.【解析】分析：由对称轴得，再根据限制范围求结果.详解：由题意可得，所以，因为，所以点睛：函数（A0,0）的
9、性质：(1)；(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间; 由求减区间.20要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_（单位：元）【答案】160【分析】本题根据题意建立函数关系式，再运用基本不等式求最值即可.【详解】设该容器的总造价为元，长方体的底面矩形的长，因为无盖长方体的容积为，高为，所以长方体的底面矩形的宽为，依题意，得故答案为：160【点睛】本题考查实际问题建立函数关系，基本不等式求最值问题，是中档题.三、解答题21计算：.【答案】【分析】根据指数幂和对数运算法则即可求出.【详解】
10、解：原式.故答案为：.22已知点、.（1）求直线的方程，并判断直线的倾斜角是锐角还是钝角；（2）若点在轴上，且，求的面积.【答案】（1），直线的倾斜角为钝角；（2）.【分析】（1）求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程，根据直线斜率可得出结论；（2）设点，由题意可得，利用斜率公式可求得的值，然后求出、，利用三角形的面积公式可求得的面积.【详解】（1），所以，直线的方程为，即，又，所以，直线的倾斜角为钝角；（2）设点的坐标为.，即，所以，即.，因此，.23如图，四棱锥中，点是底面正方形的中心，平面，点在棱上.（1）若是的中点，求证：平面；（2）求证：平面平面.【答案】（1）证明见解析；（2）
11、证明见解析.【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可；（2）根据线面垂直的判定定理，结合面面垂直的判定定理进行证明即可.【详解】证明：（1）连接.是的中点，是的中点，又平面，平面，平面.（2）平面，平面.又是正方形，平面，平面，且，平面，平面，平面平面.24在中，.（1）求，的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由余弦定理结合已知即可求出；（2）求出，根据正弦定理求出，即求出.【详解】解：（1）由余弦定理，得.因为，所以.解得，.（2）由得.由正弦定理得.在中，.所以.25中华人民共和国关于（环境空气质量指数（）技术规定（试行）（HJ633-2
12、012）中.关于空气质量指数的划分如下表所示：05050100100150150200200300级别级级级级级级类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染某市为了监测该市的空气质量指数，抽取一年中天的数据进行分析，得到如下频率分布表及频率分布直方图：分组频数频率0.06100.220150.320.04合计1（1）求、和的值；（2）利用样本估计总体的思想，估计该市一年中空气质量指数的平均数为多少；（3）该市政府计划通过对环境进行综合治理，使得今后每年的空气质量指数比上一年降低，至少经过多少年后该市的空气质量可以达到优良水平？（参考数据：，）【答案】（1），；（2）；（3）经过5年后.【分析】（1）根据表中数据可直接列式求出；（2）用每组中间值作代表，列出式子即可求出；（3）由题可得，根据指数函数的单调性结合参考数据可得出.【详解】解：（1）因为，.（2）.（3）设经过年后该市的空气质量可以达到优良水平，则，即，而，因为函数为减函数，所以当时，不符合要求；当时，有，符合要求.所以至少经过5年后该市的空气质量将达到优良水平.
