1、 1 数学数学必会基础题型必会基础题型立体几何立体几何 【知识点【知识点 1 1】平行平行的判定与证明的判定与证明 1.1.线线平行的证明：线线平行的证明： 【线线平行的定义定义：在同一平面内没有公共点】 方法文字方法文字：若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线平行。 符号符号：若,a b b c，则a c。 方法文字方法文字： 若一条直线与一个平面平行， 则与过这条直线的平面与已知平面的 交线平行。 符号符号：若,aal ，则al。 方法文字方法文字：若两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线平行。 符号符号：若,ab，则a b。 方法文字方法文字：若两个平行平面同第三个平面相交，则两条
2、交线平行。 符号符号：若,mn ，则m n。 2.2.线面平行的证明：线面平行的证明： 【线面平行的定义定义：线面没有公共点】 方法文字方法文字： 若平面外一条直线与平面内的一条直线平行， 则这条直线平行于这 个平面。 符号符号：若,a l l，则a。 方法文字方法文字：若两个面平行，则一个面内的直线平行于另一个平面。 符号符号：若,l，则l。 3.3.面面平行的证明：面面平行的证明： 【面面平行的定义定义：面面没有公共点】 方法文字方法文字： 若一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行， 则这两个平面 平行。 符号符号：若,mnmnA mn，则。 方法文字方法文字：若一条直线同时垂直两个平
3、面，则这两个平面平行。 符号符号：若, ll，则。 【知识点【知识点 2 2】垂直垂直的判定与证明的判定与证明 1 1. .线线垂直的证明：线线垂直的证明： 【线线垂直的定义定义：两直线所成的角为90】 方法定义法方法定义法：相交的两直线的夹角等于90。 【常用中位线中位线转化到三角形中】 方法文字方法文字： 若一条直线垂直一个平面， 则这条直线垂直这个面内的任意一条直 线。 符号符号：若,mn，则mn。 2 2. .线面垂直的证明：线面垂直的证明： 【线面垂直的定义定义：直线与平面内的任意一条直线都垂直】 方法文字方法文字： 若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线， 则这条直线与这个 平面
4、垂直。 符号符号：若,lm ln mnmnA，则l。 方法文字方法文字： 若两条平行直线中的一条垂直一个平面， 则另一条也垂直这个平面。 符号符号：若,m n n，则m。 方法文字方法文字：若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则也垂直于另一个。 符号符号：若,m，则m。 3 3. .面面垂直的证明：面面垂直的证明： 【面面垂直的定义定义：面面所成的角的平面角为90】 方法定义法方法定义法：做出二面角的平面角，求证这个平面角为直角。 方法文字方法文字：经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直。 符号符号：若,mm，则。 2 【知识点【知识点 3 3】体积与面积体积与面积 1.1.球球：体积： 3
5、 4 3 VR；表面积： 2 4SR。 2.2.柱体（圆柱、棱柱） ：柱体（圆柱、棱柱） ： （注意：侧面积与表面积不同） 体积：VSh 柱体 （S是柱体的底面积、h是柱体的高） ； 侧面积：2SRh（R是柱体的底面半径、h是柱体的高） 。 3.3.椎体（圆锥、棱锥） ：椎体（圆锥、棱锥） ： 体积： 1 3 VSh 锥体 （S是锥体的底面积、h是锥体的高） ； 侧面积：SRl（R是锥体的底面半径、l是锥体的母线） 。 4.4.长方体：长方体： （, ,a b c是从同一个顶点出发的三条棱的长） 体积：Vabc 表面积：2()Sabbcca 体对角线： 222 dabc （注意：体对角线与面对
6、角线不同） 5.5.球的组合体：球的组合体： 外接球：正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长。 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长。 内切球：正方体的内切球的直径是正方体的棱长。 长方体不一定有内切球。 棱切球：正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长。 【知识点【知识点 4 4】三视图三视图、直观图、投影、直观图、投影 两种题型：由实物画出三视图，由三视图还原出实物。 例例 1 1：如右图为一个几何体的三视图， 已知府视图为正三角形， 11 2AB ， 1 4AA ， 则该几何体的表面积为 （ ） A.6+3 B.24+3 C.24+23 D.32 例例 2 2：右图为长方体积木块堆
7、成的几何体的三 视图，此几何体共由_块木块堆成。 【典型习题典型习题】 1.一个几何体的正视图和俯视图是矩形， 侧视 图是三角形，则这个几何体是 。 2.下列命题正确的是（ ） A.矩形的平行投影一定是矩形 B.梯形的平行投影一定是梯形 C.两条相交直线的平行投影可能平行 D.一条线段中点的平行投影仍是这条线段的中点 3.对于一个底边在x轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面 积是原三角形面积的（ ） A.2 倍 B. 4 2 倍 C. 2 2 倍 D. 2 1 倍 A B A1 B1 C C1 正视图 侧视图 府视图 3 4. (2009 山东理)一空间几何体的三视图如图所示,
8、 则该几何体的体积为( ) A.22 3 B.42 3 C. 2 3 2 3 D. 2 3 4 3 5.（2009 海南文理）一个棱锥的三视图如图， 则该棱锥的全面积为（ ） A.48+122 B.48+242 C.36+122 D.36+242 6.（2009 浙江卷理）若某几何体的三视图如图所 示，则此几何体的体积是 。 【综合综合练习练习】 1.已知直线a与平面不平行， 则下列结论成立的 是（ ） A.内所有的直线都与a异面 B.内不存在与a平行的直线 C.内所有的直线都与a相交 D.直线a与平面有公共点 2.下列四个命题：过三点确定一个平面，矩形是平面图形， 三条直线两两相交则确定一个
9、平面，两个相交平面把空间分成四个区域。 其中错误命题的序号是 。 3.已知两个平面垂直，在下列命题中错误的命题是 。 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； 一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面； 过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面。 4.在下列命题中，错误的命题有 。 若直线a与平面不平行，则a与平面内的所有直线都不平行； 若直线a与平面不垂直，则a与平面内的所有直线都不垂直； 若异面直线, a b不垂直，则过a的任何平面都与b不垂直； 若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面。 2 2
10、侧(左)视图 2 2 2 正(主)视图 俯视图 4 1 C B 1 A A C D 1 B 5.正方体 1 AC中，与面ABCD的对角线AC异面的棱有 条。 6.棱长都是 1 的三棱锥的表面积为 。 7.一个体积为 3 8cm的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是 。 8.等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是S球 S正方体。 9.已知某长方体共顶点的三个面的面积分别是 236， ，则该长方体的对角线长是_ _； 若长方体共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15， 则它 的体积为_ _。 10如右上图的正方体，,E F分别为正方体的两个 侧面 11A ADD、面 11B BC C的中心，则四边形EBFD1在 该正方体的面上的射影可能是_。 11如右图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰 淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗?请说明理由。 12.如右图，正三棱柱 111 ABCABC，点D在棱 11 AC上， 若 11 ADDC，求证：直线 1/ BC平面 1 AB D。 13.如右图， 一个三棱柱的底面是边长为 2 的正三角形， 侧棱 1 CCBC， 1 3CC ， 有一虫子从A沿三个侧面爬到 1 A，求虫子爬行的最短距离。 _ _ 1212 cmcm _ _ 4 4 cmcm A B C M N A1 B1 C1
