1、14.1 动能定理l 功与功率ab力空间累积的过程量功元功考虑一般情形：质点沿曲线运动，所受作用力是变力2质点从 a 到 b 的运动过程中，力 F 所作的功在SI中，功的单位是 Nm(牛米)，又称 J(焦耳)，即有J=Nm。3l 一对作用力与反作用力作功之和在所有相对平动的参考系中，两个质点之间的一对作用力与反作用力作功之和都相同OS系P1P24功率 P：力在单位时间内所作的功：在SI中，功率单位特称W（瓦特），即有W=J/sl 功率5l 动能定理任一惯性系S中，合力 F 对质点所作元功牛顿第二定律的切向分量式代入得ab6质点的动能动能定理动能定理合力对质点作的功等于质点动能的增量合力对质点作
2、的功等于质点动能的增量微分式kdEdW 积分式kEW非惯性系中引入惯性力作功量，它与真实力作功量之和也等于质点在非惯性系中动能的增量。kdEdWdW惯7l 质点系动能定理质点系在某惯性系的动能ikikEE质点系动能定理：kEWW外内内力是否作功?8例长 L、质量 M 的平板放在光滑水平面上，质量 m 的小木块以水平初速 v0 滑入平板上表面，两者间摩擦系数为，试求小木块恰好未能滑离平板上表面的条件。mv0M,L小木块运动到平板右端时与平板速度相同0)(mvvmM过程中 m 与 M 间一对摩擦力作功mgLW地面惯性系中动能定理2021221)(mvvmMWgLMmMv220解法一解法一9在随木板
3、运动的非惯性系中木块以初速 v0 滑入，最后静止在木板右端。在这个过程中，摩擦力和惯性力做功。平动加速度Mmga0木块所受惯性力MmgmFi动能定理2021mvmgLLMmgmMmMgLv220解法二解法二104.2 保守力的功l 重力的功z平面xyabazbzPO重力对物体所作的功只与物体初始位置和终止位置有关，与经过的路径无关。11l 引力的功abMrmM系与路径无关12l 弹性力的功OaxbxkxFxx x+dxk弹力对物体所作的功只与物体初始位置和终止位置有关，与其间经过的路径无关。13l 保守力场力的冲量21tt“路线”唯一“路线”不唯一从作功的角度，力可分为作功量与路径有关非保守力
4、作功量与路径无关保守力 摩擦力、空气阻力就是典型的非保守力自然界所有的基本相互作用都是保守性的保守力作功只与位置有关场的概念保守力场144.3 保守力场中的势能l 势能两点之间的可能路径ABPL1L2任取一个参考点 P从A到B保守力作的功APBPBPAPPBAPABWWWWWWW定义质点在S系的每一个位置的势能：计算保守力所作的功15势能零点的选择具有任意性，实际中常选 F=0 点为势能零点。任意点的势能等于将质点从该点移动到参考点保守力作的功保守力作功=动能的增加=势能的减少 16重力势能mghEp等势面：势能相等的 点形成的面重力的等势面是水平面【三八线的滚木礌石】摄于2013年4月三八线
5、非军事区一带。朝鲜军队的一种独特防御设备。实际上是个水泥的大石磙子,用钢索固定在坡顶的水泥台面上,释放后顺山坡冲下去,动能足以击毁入侵美军的M1A1艾布拉姆斯坦克,还可以停滞在低洼地成为反坦克障碍。很古典的武器,完全绿色低碳环保可持续发展。17221kxEp势能是保守力作功引起的，势能究竟“藏”在系统何处？力从哪里来？场-引力场、电场、磁场、电磁场等等Ox弹性势能18万有引力势能19l 势能函数势能函数一般是空间的三元函数如何由势能函数计算保守力?20一维情况)(xEEpp势能函数dxFdExp势能与保守力有关系dxdEFpx21三维情况势能的全微分公式dzzEdyyEdxxEdEpppp引入
6、哈密顿算符22例4 均匀柱形弹性体：劲度系数 k、自由长度 L，质量 m，求竖直悬挂时的伸长量和弹性势能。均匀柱形弹性体的性质：原长 L 中任意一段 l受力 F 时，LLllkFL ,/Ox对应原长 x 处 dx 段的劲度系数kdxLkdx2)(21LkEp原长 L 中任意一段 l 的劲度系数klLkl原长 L 中任意一段 l 的弹性势能23受力mgLxL该小段的伸长量dxkmgLxLdl2总伸长量内含弹性势能kmgdlLL2022kgmdlkELdxp6)(21220222其它情形：对应原长 x 处 dx 段24第四章作业第四章作业3、6、8、9、1012、15、16254.4 机械能定理l
7、 机械能定理从力学的角度看，质点间的相互作用力或是保守性的，或是非保守性的。非保守力保守力质点系受力 26惯性系中质点系动能定理kEWW非保保将保守力作功之和用它们的势能代替，动能定理可改写为)(pkEEW非保质点系所受保守力对应的势能之和 Ep保守力作功之和W保便等于Ep的减少量pEW保非保守力作功之和W非保27质点系机械能=质点系动能与势能之和pkEEE质点系机械能定理所有非保守力作功之和等于质点系机械能增量EW非保28l 机械能守恒定律动能由各质点速度确定，势能由系统自身几何位置和形状确定，速度和几何位形都是运动状态的表征，因此机械能是由系统运动状态确定的力学量。动能势能保守力作功机械能
8、其它形式的能量非保守力作功除机械能外，还有许多其它形式的能量29机械能守恒定律能量守恒定律这条定律支配着至今我们所知道的一切自然现象，没有发现这条定律有任何例外。若系统在运动过程中，不存在非保守力或存在的非保守力不作功，则系统的机械能守恒。30l 看势能曲线一维势能函数对应的 Ep-x 曲线称为势能曲线；二维的称为势能曲面。例 引力势能的势能曲线rMmGrEp)(Epr31pExO1P2P3P4P5PEEE 能量E：形成振动，两个平衡点能量E：形成振动，三个平衡点能量E：不形成振动 转折点：质点运动到某一位置静止，然后开始返回的点。平衡点：质点受力为零的点，有稳定、非稳定和随遇平衡三种。保守力
9、的定性分析：保守力的方向、大小的变化质点沿直线运动，只受一个保守力作用，保守力的势能曲线如图:)()(xEExEpk质点动能只与位置有关dxdEFpx质点受力确定运动范围例例 光滑球面上物体下滑的临界点 32R下滑过程机械能守恒临界点球面支持力为零小球所受重力沿径向的分量充当向心力此后，小球离开球面33思考题 半径为R的光滑圆环绕竖直轴以0匀速转动，圆环上套一小球，试确定其稳定平衡点位置。0RO34受不可伸长的轻绳约束的两点，间距不大于绳长。两点所受的作用力只可能是沿绳方向的拉力，即，两点所受冲量，大小相等，方向沿绳，指向对方。力学三大约束力学三大约束之绳约束35例例 长L的匀质软绳绝大部分沿
10、长度部分放在光滑水平 桌面上，仅有很少一部分悬挂在桌面外。而后绳将从 静止开始下滑。问绳能否达到图（b）状态？若否，绳滑下多长时会甩离桌边？LL分析物理过程（a）（b）（c）36利用机械能守恒定律2)()(212lglvL绳的水平方向动量llLLgvlLpx)(/)(时，存在极大值2/Ll NLLl374.5 三种宇宙速度l 第一宇宙速度人造卫星自学384.6 两体碰撞将碰撞的物体模型化为质点将碰撞的物体模型化为质点宏观世界经常会发生物体间的碰撞碰撞的特点：碰撞时间一般很短，物体的动量有明显变化，碰撞力很大，常规力(如重力)与其相比提供的冲量可略碰撞的基本问题：已知碰撞前系统的运动状态，要求确
11、定碰撞后系统的运动状态。碰撞现象普遍存在！39起跳和落地时的肌肉和筋腱起跳和落地时的肌肉和筋腱足球、排球、体操等运动中，膝部要承受多达7-14倍的峰值体重骨骼的力学40l一维碰撞m1m22010vv20vm1m21v12vv 碰撞前碰撞后碰撞前后动量守恒：2021012211vmvmvmvm为解v1，v2，还需建立补充方程根据碰撞的性质可建立第二个方程41弹性碰撞碰撞前后系统动能不变（机械能守恒）2202210122221121212121vmvmvmvm211012012221202102112)(,2)(mmvmvmmvmmvmvmmv两个解：一解对应碰前状态，另一解对应碰后状态。具有相同
12、对称性果对称性置具有下因因果对称关联 :换 2 1,标 :42性质：碰撞前后相对速度大小不变201012vvvv特例特例1：21mm 201vv 102vv 0 2012vmm且101vv（反弹）特例特例2：碰后交换速度43完全非弹性碰撞2120210121mmvmvmvv碰后质点1和2一起运动21vv 碰后动能损失220102121)(21vvmmmmE损44非弹性碰撞介于弹性与完全非弹性之间的碰撞引入恢复系数10 ,201012evvvve21102012022120102101)()1()()1(mmvvmevvmmvvmevv452201021212)()1(21vvmmmmeE损46l 二维斜碰撞动量守恒方程m1m2完全非弹性碰撞有唯一解弹性碰撞2202210122221121212121vmvmvmvm若再补充一个角度关系则有唯一解模型问题：解的不定性源于物体的刚性化与质点化四个未知量四个未知量交通事故
