1、北师大版八年级上册第一章勾股定理知识点总结+专题练习(含答案) 勾股定理（一）考点呈现勾股定理概念勾股定理综合运用知识点1 勾股定理定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.表达：ABC中，C=90，a、b、c分别为A、B、C的对边，那么。经典例题例题1 .一个直角三角形的三边长分别为3，4，x，则x为（）A5 B25 C7 D7或25 例题2 .在RtABC中，斜边AB=2，则AB+AC+BC等于（）A2 B4 C8 D16 例题3 .ABC中，AB=13cm，AC=15cm，高AD=12，则BC的长为（）A14 B4 C14或4 D以上都不对 例题4 .在ABC中，C=90，c=2b
2、，则两直角边a，b的关系是（）Aab Bab Ca=b D以上三种情况都有可能变式训练变式1. 在RtABC中，斜边长BC=3，AB2+AC2+BC2的值为（）A. 18 B. 9 C. 6 D. 无法计算变式2.等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（）A4 B C2 D3变式3.直角三角形的两条直角边长为、，斜边上的高为，则下列各式总能成立的是（ ）、 、 、+ 、+变式4.赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b若（a+b）2=21，大正方
3、形的面积为13，则小正方形的面积为（）A6 B5 C4 D3 变式5.如图，所有的四边形是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为13cm，则图中所有的正方形的面积之和为 。知识点2 勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理有关的面积计算；（4）勾股定理在实际生活中的应用经典例题例题1 .如图1，RtABC中，C90，CDAB于点D，AB13，CD6，则(ACBC)等于( )A25B325 C2197D405图1
4、 图2例题2 .已知，如图2长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则ABE的面积为 。例题3 .如图3小明将4个全等的直角三角形拼成如图所示的五边形，添加适当的辅助线后，用等面积法建立等式证明勾股定理小明在证题中用两种方法表示五边形的面积，分别是S= ，S= 。图3 图4例题4 .如图4，学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”他们仅仅少走了 步路（假设 2 步为 1m）变式训练变式1.如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，下面四种情况的面积关系满足S+S
5、=S图形个数有（）A1 B2 C3 D4变式2.如图2，在ABC中，B=C，AD平分BAC，AB=5，BC=6，则AD=（）A3 B4 C5 D6 图2 图3 变式3. 魏晋时期，伟大数学家刘徽利用如图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”证明了勾股定理，如图3中BF=2，CF=4，则AE的长为 变式4.一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中A和DBC都应为直角工人师傅量得 AB=3,AD=4,BD=5,DC=13,BC=12,这个零件符合要求吗？能力提升1. 在RtABC中，a、b、c分别表示三边的长，若，则RtABC三边的比为（ ）2.
6、A. B. C. D.2. 直角三角形三边是a-b，a，a+b，并且a，b都是正整数，则三角形其中一边的长可能是（ ）。 A.61 B.71 C.81 D.913. 如图一架梯子长 25 米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面 15 米，要使梯子顶端离地 24 米，则梯子的底部在水平方向上应滑动多少米？4. 如图所示，某楼梯的侧面主视图如图所示，其中AB=4m,因某种活动要求楼梯上铺地毯，则地毯长度为m。课后练习1. 的三边长满足：，则是 三角形；2. 一个三角形的三边之长分别为15，20，25，则这个三角形的最大角为 ，这个三角形的面积为 。3. 古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整
7、数，a=2m，b=m21，c=m2+1，那么a，b，c为勾股数请你利用这个结论得出一组勾股数是 4. 以下列数组为边长的三角形，恰好是直角三角形的是（）A4，6，8 B4，8，10 C6，8，10 D8，10，125. 适合下列条件的ABC中，直角三角形的个数为() a=3，b=4，c=5；a=6，A=45；a=2，b=2，c=22；A=38，B=52A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个6. 若ABC的三边 A、B、C满足（AB）（AB2C2）0，则ABC是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形7. 设a、b都是正整数，且a-b、3b、a+b(a2b)
8、构成一直角三角形三边的长，则这个三角形的任一边的长不可能是（ ）A12 B13 C14 D158. 若A BC三边长分别为a,b,c,且满足条a2+b2 +c2+338=10a+24b+26c,试判断ABC的形状，并证明为什么9.中华人共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s=3.6km/h） 10. 在杭州西湖风景游船处，如图，在离水面高度为5m的岸上，有人用绳子拉
9、船靠岸，开始时绳子BC的长为13m，此人以0.5m/s的速度收绳.10s后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少m？（假设绳子是直的，结果保留根号）11 / 11答案知识点1例1例4 BCCC 变1变5 ABDB 39cm2知识点2例1例4 B 6 c2+ab或a2+b2+ab 4 变1变3 D B 变4【解析】（1）AD=4，AB=3，BD=5，DC=13，BC=12，AB2+AD2=BD2，BD2+BC2=DC2，ABD、BDC是直角三角形，A=90，DBC=90，故这个零件符合要求能力提升1. B 2.C3.【解析】一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面15米，梯子水平距离为
10、：=20米，要使梯子顶端离地24米，梯子水平滑动距离为：=7米，梯子的底部在水平方向上应滑动：20-7=13米5. 解析：根据题意，直角三角形ABC中，BAC=30BC=AB2=2 AC+BC=即地毯的长度应为（）米课后练习1. 直角 2.90 150 3. 3,4,5 （答案不唯一） 4. C 5.C 6.D 7.C8.解析：338=25+144+169a2-10a+25+b2-24b+144+c2-26c+169=0(a-5)2 + (b-12)2 + (c-13)2=0所以 a=5 b=12 c=13 符合勾股定理 所以是直角三角形9.解析：在RtABC中，AC=30m，AB=50m；据勾股定理可得：BC2AB2-AC2502-302402（m）小汽车的速度为v=40/2=20（m/s）=203.6（km/h）=72（km/h）；72（km/h）70（km/h）；这辆小汽车超速行驶答：这辆小汽车超速了10. 解析：在RtABC中，CAB=90，BC=13m，AC=5m，（m），此人以0.5m/s的速度收绳，10s后船移动到点D的位置，CD=130.510=8（m），（m），）（m）答：船向岸边移动了）m
