1、 专题九 圆的综合题 类型类型一一 与三角形结合与三角形结合 (20192019广东)如图 1，在ABC 中，ABAC，O 是ABC 的外接圆，过点 C 作BCDACB 交O 于点 D，连接 AD 交 BC 于点 E，延长 DC 至点 F，使 CF AC，连接 AF. (1)求证：EDEC； (2)求证：AF 是O 的切线； (3)如图 2，若点 G 是ACD 的内心，BCBE25，求 BG 的长 【分析】 (1)由 ABAC 知ABCACB，结合ACBBCD，ABCADC 得 BCDADC，从而得证； (2)连接 OA，由CAFCFA 知ACDCAFCFA2CAF，结合ACB BCD得ACD
2、2ACB，CAFACB，据此可知AFBC，从而得OAAF，得 到证； (3)证ABECBA 得 AB 2BCBE，据此知 AB5，连接 AG，得BAGBAD DAG，BGAGACACB，由点 G 为内心知DAGGAC，结合BAD DAGGACACB 得BAGBGA，从而得出 BG. 【自主解答】 1 1(20192019中山模拟)如图，AB 是O 的直径，C，G 是O 上两点，且 C 是AG 的 中点，过点 C 的直线 CDBG 的延长线于点 D，交 BA 的延长线于点 E，连接 BC， 交 OD 于点 F. (1)求证：CD 是O 的切线； (2)若OF FD 2 3，求证：AEAO； (3
3、)连接 AD，在(2)的条件下，若 CD2 3，求 AD 的长 2 2(20192019广东模拟)如图，在 RtABC 中，ACB90，AO 是ABC 的角平 分线以 O 为圆心，OC 为半径作O. (1)求证：AB 是O 的切线； (2)已知 AO 交O 于点 E，延长 AO 交O 于点 D，tan D1 2，求 AE AC的值； (3)在(2)的条件下，设O 的半径为 3，求 AB 的长 类型类型二二 与四边形结合与四边形结合 (20192019禅城区二模)如图，平行四边形ABCD中，ACBC，过A，B，C三点 的O 与 AD 相交于点 E，连接 CE. (1)证明：ABCE； (2)证明
4、：DC 与O 相切； (3)若O 的半径 r5，AB8，求 sinACE 的值 【分析】 (1)由平行四边形的性质和圆的内接四边形可得DBDEC，即 可得 CDCEAB； (2)由垂径定理可得 CFAB，即可证 DC 与O 相切； (3)连接 OE，OA，过点 C 作 CNAD 于点 N，过点 O 作 OMAE 于点 M，由勾股定 理、相似三角形的性质、等腰三角形的性质即可得解 【自主解答】 3 3(20192019空港经济区一模)如图，四边形ABCD内接于O，ABAD，对角线BD 为O 的直径，AC 与 BD 交于点 E.点 F 为 CD 延长线上一点，且 DFBC. (1)证明：ACAF；
5、 (2)若 AD2，AF 31，求 AE 的长； (3)若 EGCF 交 AF 于点 G，连接 DG.证明：DG 为O 的切线 4 4(20192019霞山区一模)如图，四边形ABCD的顶点在O上，BD是O的直径， 延长 CD，BA 交于点 E，连接 AC，BD 交于点 F，作 AHCE，垂足为点 H，已知 ADEACB. (1)求证：AH 是O 的切线； (2)若 OB4，AC6，求 sinACB 的值； (3)若DF FO 2 3，求证：CDDH. 参考答案 类型一 【例 1 1】 (1)如图， ABAC，13. 12，23. 34，24，EDEC. (2)如图，连接 OA，OB，OC，
6、OBOC，ABAC， AO 是 BC 的垂直平分线，AOBC. 由(1)已证23，ABDF. ABACCF， 四边形 ABCF 是平行四边形， AFBC，AOAF， AF 是O 的切线 (3)如图，连接 AG， 12，25，15. G 是ADC 的内心，78. BAG57，618， BAG6，ABBG. 33，15，ABECBA， AB BE BC AB， AB 2BEBC25，AB5，BG5. 跟踪训练 1(1)证明：如图，连接 OC，AC，CG. C 是AG 的中点，ACCG，ACCG， ABCCBG. OCOB，OCBOBC， OCBCBG，OCBG. CDBG，OCCD，CD 是O 的
7、切线 (2)解：OCBD，OCFDBF，EOCEBD， OC BD OF DF 2 3， OC DB OE BE AEAO AOBOAE 2 3. OAOB，AEOA. (3)解：如图，过 A 作 AHDE 于 H. 由(2)知E30，EBD60， CBD1 2EBD30. CD2 3，BD6，DE6 3，BE12， AE1 3BE4，AH2， EH2 3，DH4 3. 在 RtDAH 中，AD AH 2DH22 13. 2(1)证明：如图，过点 O 作 OFAB 于点 F， AO 平分CAB，OCAC，OFAB， OCOF，AB 是O 的切线 (2)解：如图，连接 CE， ED 是O 的直径
8、， ECD90， ECOOCD90. ACB90， ACEECO90， ACEDCO. OCOD，OCDODC，ACEADC. CAEDAC，ACEADC，AE AC CE CD. tan D1 2， CE CD 1 2， AE AC 1 2. (3)解：由(2)知AE AC 1 2，设 AEx，AC2x. ACEADC，AE AC AC AD， AC 2AEAD，(2x)2x(x6)， 解得 x2 或 x0(不合题意，舍去)， AE2，AC4. 由(1)知 ACAF4，OFBACB90. BB，OFBACB， BF BC OF AC 3 4. 设 BFa， 则 BC4a 3 ，BOBCOC4
9、a 3 3. 在 RtBOF 中，BO 2OF2BF2， (4a 3 3) 232a2， 解得 a72 7 或 a0(不合题意，舍去)， ABAFBF100 7 . 类型二 【例 2 2】 (1)四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，BD，ADBC. 四边形 ABCE 是圆的内接四边形， DECB，DDEC， CDCE，ABCE. (2)如图，连接 CO，并延长 CO 交 AB 于 F. ACBC，AC BC，且 CO 是半径， CFAB，AFBF. 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，且 CFAB， CFCD，且 CO 是半径，DC 与O 相切 (3)如图，连接 OE，OA，过
10、点 C 作 CNAD 于点 N，过点 O 作 OMAE 于点 M， AFBF，AB8， AFBF4，且 AO5，CFAB， OF AO 2AF23，CFCOOF8， AC AF 2CF24 5，ACBCAD4 5. BD，CNDCFB90， CDNCBF，CD CB DN BF，DN 8 5 5. CDCE，CNDA，DNEN8 5 5 ， AEADDNEN4 5 5 . OEOA，OMAD， AMEM1 2AE 2 5 5 ，EOM1 2AOE. ACE1 2AOE， ACEEOM， sinACEsinEOMEM EO 2 5 25 . 跟踪训练 3(1)证明：四边形 ABCD 内接于O，
11、ABCADC180. ADFADC180，ABCADF. 在ABC 和ADF 中， ABAD， ABCADF， BCDF， ABCADF，ACAF. (2)解：由(1)得，ACAF 31. ABAD，AB AD，ADEACD. DAECAD，ADEACD，AD AC AE AD， AEAD 2 AC 2 2 31 4（ 31） 2 2 32. (3)证明：EGCF， AG AE AF AC1，AGAE. 由(2)得AD AC AE AD， AD AF AG AD. DAGFAD，ADGAFD， ADGF. ACAF，ACDF. 又ACDABD，ADGABD. BD 为O 的直径，BAD90，
12、ABDBDA90，ADGBDA90， GDBD，DG 为O 的切线 4(1)证明：如图，连接 OA. 由圆周角定理得ACBADB. ADEACB，ADEADB. BD 是直径，DABDAE90. 在DAB 和DAE 中， BADEAD， DADA， BDAEDA， DABDAE，ABAE. 又OBOD，OADE. 又AHDE，OAAH，AH 是O 的切线 (2)解由(1)知，EDBE，DBEACD， EACD，AEACAB6. 在 RtABD 中，AB6，BD8，ADEACB， sinACBsinADB6 8 3 4. (3)证明：由(2)知，OA 是BDE 的中位线， OADE，OA1 2DE，CDFAOF， CD AO DF OF 2 3，CD 2 3OA 1 3DE， 即 CD1 4CE. ACAE，AHCE，CHHE1 2CE， CD1 2CH，CDDH.
