1、 20202020 年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（江苏专用）年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（江苏专用） 专题专题 05 二次函数与线段和角的数量关系问题二次函数与线段和角的数量关系问题 【真题再现】【真题再现】 1 （2019 年宿迁 28 题）如图，抛物线 yx2+bx+c 交 x 轴于 A、B 两点，其中点 A 坐标为（1，0） ，与 y 轴 交于点 C（0，3） （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图，连接 AC，点 P 在抛物线上，且满足PAB2ACO求点 P 的坐标； （3）如图，点 Q 为 x 轴下方抛物线上任意一点，点 D 是抛物线对称轴与 x 轴的交点，直线
2、 AQ、BQ 分别交抛物线的对称轴于点 M、N请问 DM+DN 是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是， 请说明理由 【分析】 （1）把点 A、C 坐标代入抛物线解析式即求得 b、c 的值 （2）点 P 可以在 x 轴上方或下方，需分类讨论若点 P 在 x 轴下方，延长 AP 到 H，使 AHAB 构造 等腰ABH，作 BH 中点 G，即有PAB2BAG2ACO，利用ACO 的三角函数值，求 BG、BH 的长，进而求得 H 的坐标，求得直线 AH 的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点 P 坐标若点 P 在 x 轴上方，根据对称性，AP 一定经过点 H 关于 x 轴的对称点 H，求得直线
3、 AH的解析式后与抛物线解 析式联立，即求出点 P 坐标 （3） 设点 Q 横坐标为 t， 用 t 表示直线 AQ、 BN 的解析式， 把 x1 分别代入即求得点 M、 N 的纵坐标， 再求 DM、DN 的长，即得到 DM+DN 为定值 【解析】 （1）抛物线 yx2+bx+c 经过点 A（1，0） ，C（0，3） 1 + + = 0 0 + 0 + = 3 解得： = 2 = 3 抛物线的函数表达式为 yx2+2x3 （2）若点 P 在 x 轴下方，如图 1， 延长 AP 到 H，使 AHAB，过点 B 作 BIx 轴，连接 BH，作 BH 中点 G，连接并延长 AG 交 BI 于点 F，
4、过点 H 作 HIBI 于点 I 当 x2+2x30，解得：x13，x21 B（3，0） A（1，0） ，C（0，3） OA1，OC3，AC= 12+ 32= 10，AB4 RtAOC 中，sinACO= = 10 10 ，cosACO= = 310 10 ABAH，G 为 BH 中点 AGBH，BGGH BAGHAG，即PAB2BAG PAB2ACO BAGACO RtABG 中，AGB90，sinBAG= = 10 10 BG= 10 10 AB= 210 5 BH2BG= 410 5 HBI+ABGABG+BAG90 HBIBAGACO RtBHI 中，BIH90，sinHBI= = 1
5、0 10 ，cosHBI= = 310 10 HI= 10 10 BH= 4 5，BI= 310 10 BH= 12 5 xH3+ 4 5 = 11 5 ，yH= 12 5 ，即 H（ 11 5 ， 12 5 ） 设直线 AH 解析式为 ykx+a + = 0 11 5 + = 12 5 解得： = 3 4 = 3 4 直线 AH：y= 3 4x 3 4 = 3 4 3 4 = 2+ 2 3 解得：1 = 1 1= 0（即点 A） ， 2= 9 4 2= 39 16 P（ 9 4， 39 16） 若点 P 在 x 轴上方，如图 2， 在 AP 上截取 AHAH，则 H与 H 关于 x 轴对称
6、H（ 11 5 ，12 5 ） 设直线 AH解析式为 ykx+a + = 0 11 5 + = 12 5 解得： = 3 4 = 3 4 直线 AH：y= 3 4x+ 3 4 = 3 4 + 3 4 = 2+ 2 3 解得：1 = 1 1= 0（即点 A） ， 2= 15 4 2= 57 16 P（ 15 4 ，57 16） 综上所述，点 P 的坐标为（ 9 4， 39 16）或（ 15 4 ，57 16） （3）DM+DN 为定值 抛物线 yx2+2x3 的对称轴为：直线 x1 D（1，0） ，xMxN1 设 Q（t，t2+2t3） （3t1） 设直线 AQ 解析式为 ydx+e + = 0
7、 + = 2+ 2 3 解得： = + 3 = 3 直线 AQ：y（t+3）xt3 当 x1 时，yMt3t32t6 DM0（2t6）2t+6 设直线 BQ 解析式为 ymx+n 3 + = 0 + = 2+ 2 3 解得： = 1 = 3 3 直线 BQ：y（t1）x+3t3 当 x1 时，yNt+1+3t32t2 DN0（2t2）2t+2 DM+DN2t+6+（2t+2）8，为定值 点睛：本题考查了求二次函数解析式、求一次函数解析式，解一元二次方程、二元一次方程组，等腰三 角形的性质，三角函数的应用第（2）题由于不确定点 P 位置需分类讨论； （2） （3）计算量较大，应认 真理清线段之间
8、的关系再进行计算 2 （2019 年盐城 27 题） 如图所示， 二次函数 yk （x1） 2+2 的图象与一次函数 ykxk+2 的图象交于 A、 B 两点，点 B 在点 A 的右侧，直线 AB 分别与 x、y 轴交于 C、D 两点，其中 k0 （1）求 A、B 两点的横坐标； （2）若OAB 是以 OA 为腰的等腰三角形，求 k 的值； （3）二次函数图象的对称轴与 x 轴交于点 E，是否存在实数 k，使得ODC2BEC，若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由 【分析】 （1）将二次函数与一次函数联立得：k（x1）2+2kxk+2，即可求解； （2）分 OAAB、OAOB 两种情况，求
9、解即可； （3）求出 mk2k2+ 1，在AHM 中，tan= = =k+2+ 1 =tanBEC= =k+2，即 可求解 【解析】 （1）将二次函数与一次函数联立得：k（x1）2+2kxk+2， 解得：x1 和 2， 故点 A、B 的坐标横坐标分别为 1 和 2； （2）OA= 22+ 1 = 5， 当 OAAB 时， 即：1+k25，解得：k2（舍去 2） ； 当 OAOB 时， 4+（k+2）25，解得：k1 或3； 故 k 的值为：1 或2 或3； （3）存在，理由： 当点 B 在 x 轴上方时， 过点 B 作 BHAE 于点 H，将AHB 的图形放大见右侧图形， 过点 A 作HAB
10、的角平分线交 BH 于点 M，过点 M 作 MNAB 于点 N，过点 B 作 BKx 轴于点 K， 图中：点 A（1，2） 、点 B（2，k+2） ，则 AHk，HB1， 设：HMmMN，则 BM1m， 则 ANAHk，AB= 2+ 1，NBABAN， 由勾股定理得：MB2NB2+MN2， 即： （1m）2m2+（2+ 1 +k）2， 解得：mk2k2+ 1， 在AHM 中，tan= = =k+2+ 1 =tanBEC= =k+2， 解得：k= 3， 此时 k+20，则2k0，故：舍去正值， 故 k= 3； 当点 B 在 x 轴下方时， 同理可得：tan= = =k+2+ 1 =tanBEC=
11、 = （k+2） ， 解得：k= 47 3 或;4:7 3 ， 此时 k+20，k2，故舍去;4:7 3 ， 故 k 的值为：3或;4;7 3 点睛：本题为二次函数综合应用题，涉及到一次函数、解直角三角形的知识，其中（3） ，通过 tan2 求 出 tan，是此类题目求解的一般方法 3 （2018 年常州 28 题）如图，二次函数 y= 1 3 2+bx+2 的图象与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C，点 A 的坐标为（4，0） ，P 是抛物线上一点（点 P 与点 A、B、C 不重合） （1）b 5 6 ，点 B 的坐标是 （ 3 2，0） ； （2）设直线 PB 与直线 AC 相交
12、于点 M，是否存在这样的点 P，使得 PM：MB1：2？若存在，求出点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由； （3）连接 AC、BC，判断CAB 和CBA 的数量关系，并说明理由 【分析】 （1）由点 A 的坐标，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出 b 的值，代入 y0 求出 x 值，进 而可得出点 B 的坐标； （2） （解法一）代入 x0 求出 y 值，进而可得出点 C 的坐标，由点 A、C 的坐标利用待定系数法可求出 直线 AC 的解析式，假设存在，设点 M 的坐标为（m，1 2m+2） ，分 B、P 在直线 AC 的同侧和异侧两种情 况考虑，由点 B、M 的坐标结合 PM：MB1：2
13、 即可得出点 P 的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标 特征可得出关于 m 的一元二次方程，解之即可得出结论； （解法二）代入 x0 求出 y 值，进而可得出点 C 的坐标，由点 A、C 的坐标利用待定系数法可求出直线 AC 的解析式，过点 B 作 BBy 轴交直线 AC 于点 B，过点 P 作 PPy 轴交直线 AC 于点 P，由 点B的坐标可得出BB的值， 结合相似三角形的性质可得出PP的值， 设点P的坐标为 （x， 1 3x 25 6x+2） ， 则点 P的坐标为（x，1 2x+2） ，结合 PP的值可得出关于 x 的含绝对值符号的一元二次方程，解之即可 得出结论； （3） （解法一）作
14、CBA 的角平分线，交 y 轴于点 E，过点 E 作 EFBC 于点 F，设 OEn，则 CE2 n，EFn，利用面积法可求出 n 值，进而可得出 = 1 2 = ，结合AOC90BOE 可证出 AOCBOE，根据相似三角形的性质可得出CAOEBO，再根据角平分线的性质可得出CBA2 EBO2CAB，此题得解； （解法二）将 BC 沿 y 轴对折，交 x 轴于点 B，根据点 A、B、C 的坐标可得出点 B的坐标，进而可 得出 ABBCBC，根据等腰三角形的性质结合三角形的外角性质，可得出CBA2CAB 【解析】 （1）点 A（4，0）在二次函数 y= 1 3 2+bx+2 的图象上， 16 3
15、 4b+20， b= 5 6 当 y0 时，有 1 3x 25 6x+20， 解得：x14，x2= 3 2， 点 B 的坐标为（3 2，0） 故答案为： 5 6； （ 3 2，0） （2） （方法一）当 x0 时，y= 1 3x 25 6x+22， 点 C 的坐标为（0，2） 设直线 AC 的解析式为 ykx+c（k0） ， 将 A（4，0） 、C（0，2）代入 ykx+c 中， 得：4 + = 0 = 2 ，解得： = 1 2 = 2 ， 直线 AC 的解析式为 y= 1 2x+2 假设存在，设点 M 的坐标为（m，1 2m+2） 当点 P、B 在直线 AC 的异侧时，点 P 的坐标为（3
16、2m 3 4， 3 4m+3） ， 点 P 在抛物线 y= 1 3x 25 6x+2 上， 3 4m+3= 1 3 （3 2m 3 4） 25 6 （3 2m 3 4）+2， 整理，得：12m2+20m+90 2024129320， 方程无解，即不存在符合题意得点 P； 当点 P、B 在直线 AC 的同侧时，点 P 的坐标为（1 2m+ 3 4， 1 4m+1） ， 点 P 在抛物线 y= 1 3x 25 6x+2 上， 1 4m+1= 1 3 （1 2m+ 3 4） 25 6 （1 2m+ 3 4）+2， 整理，得：4m2+44m90， 解得：m1= 11+130 2 ，m2= 11+130
17、 2 ， 点 P 的横坐标为2 130 4 或2+ 130 4 综上所述：存在点 P，使得 PM：MB1：2，点 P 的横坐标为2 130 4 或2+ 130 4 （方法二）当 x0 时，y= 1 3x 25 6x+22， 点 C 的坐标为（0，2） 设直线 AC 的解析式为 ykx+c（k0） ， 将 A（4，0） 、C（0，2）代入 ykx+c 中， 得：4 + = 0 = 2 ，解得： = 1 2 = 2 ， 直线 AC 的解析式为 y= 1 2x+2 过点 B 作 BBy 轴交直线 AC 于点 B，过点 P 作 PPy 轴交直线 AC 于点 P，如图 11 所 示 点 B 的坐标为（3
18、 2，0） ， 点 B的坐标为（3 2， 11 4 ） ， BB= 11 4 BBPP， PPMBBM， = = 1 2， PP= 11 8 设点 P 的坐标为（x， 1 3x 25 6x+2） ，则点 P的坐标为（x， 1 2x+2） ， PP| 1 3x 25 6x+2（ 1 2x+2）| 1 3x 2+4 3x|= 11 8 ， 解得：x12 130 4 ，x22+ 130 4 ， 存在点 P，使得 PM：MB1：2，点 P 的横坐标为2 130 4 或2+ 130 4 （3） （解法一）CBA2CAB，理由如下： 作CBA 的角平分线， 交 y 轴于点 E， 过点 E 作 EFBC 于
19、点 F， 如图 2 所示 点 B（3 2，0） ，点 C（0，2） ， OB= 3 2，OC2，BC= 5 2 设 OEn，则 CE2n，EFn， 由面积法，可知：1 2OBCE= 1 2BCEF，即 3 2（2n）= 5 2n， 解得：n= 3 4 = 1 2 = ，AOC90BOE， AOCBOE， CAOEBO， CBA2EBO2CAB （解法二）CBA2CAB，理由如下： 将 BC 沿 y 轴对折，交 x 轴于点 B，如图 3 所示 点 B（3 2，0） ，点 C（0，2） ，点 A（4，0） ， 点 B（ 3 2，0） ， AB= 3 2 （4）= 5 2，BC= 22+ (3 2)
20、 2 = 5 2， ABBCBC， CABACB，CBACBB ABBCAB+ACB， CBA2CAB 点睛：题考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积、勾股定 理、一次函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是： （1）由点 A 的坐标， 利用二次函数图象上点的坐标特征求出 b 的值； （2） （解法一）分 B、P 在直线 AC 的同侧和异侧两种情 况找出点 P 的坐标； （解法二）利用相似三角形的性质找出 PP= 11 8 ； （3） （解法一）构造相似三角形 找出两角的数量关系； （解法二）根据等腰三角形的性质结合三角形的外角性质找出
21、CBA2CAB 4.（2019 年苏州 28 题）如图，抛物线 yx2+（a+1）xa 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 位于点 B 的左 侧） ，与 y 轴交于点 C已知ABC 的面积是 6 （1）求 a 的值； （2）求ABC 外接圆圆心的坐标； （3）如图，P 是抛物线上一点，Q 为射线 CA 上一点，且 P、Q 两点均在第三象限内，Q、A 是位于 直线 BP 同侧的不同两点，若点 P 到 x 轴的距离为 d，QPB 的面积为 2d，且PAQAQB，求点 Q 的坐标 【分析】 （1）由 yx2+（a+1）xa，令 y0，即x2+（a+1）xa0，可求出 A、B 坐标结合三角 形的面积
22、，解出 a3； （2）三角形外接圆圆心是三边垂直平分线的交点，求出两边垂直平分线，解交 点可求出； （3）作 PMx 轴，则 SBAP= 1 2ABPM= 1 2 4d 由 SPQBSPAB可得 A、Q 到 PB 的距离相等，得到 AQ PB，求出直线 PB 的解析式，以抛物线解析式联立得出点 P 坐标，由于PBQABP，可得 PQAB 4，利用两点间距离公式，解出 m 值 【解析】 （1）yx2+（a+1）xa 令 y0，即x2+（a+1）xa0 解得 x1a，x21 由图象知：a0 A（a，0） ，B（1，0） SABC6 1 2 (1 )() = 6 解得：a3， （a4 舍去） （2）
23、A（3，0） ，C（0，3） ， OAOC， 线段 AC 的垂直平分线过原点， 线段 AC 的垂直平分线解析式为：yx， 由 A（3，0） ，B（1，0） ， 线段 AB 的垂直平分线为 x1 将 x1 代入 yx， 解得：y1 ABC 外接圆圆心的坐标（1，1） （3）作 PMx 轴交 x 轴于 M，则 SBAP= 1 2ABPM= 1 2 4d SPQBSPAB A、Q 到 PB 的距离相等， AQPB 设直线 PB 解析式为：yx+b 直线经过点 B（1，0） 所以：直线 PB 的解析式为 yx1 联立 = 2 2 + 3 = 1 解得： = 4 = 5 点 P 坐标为（4，5） 又PA
24、QAQB， BPAPBQ， APQB， 在PBQ 与BPA 中， = = = ， PBQABP（SAS） ， PQAB4 设 Q（m，m+3） 由 PQ4 得： ( + 4)2+ ( + 3 + 5)2= 42 解得：m4，m8（当 m8 时，PAQAQB，故应舍去） Q 坐标为（4，1） 点睛：本题考查二次函数的综合应用，函数和几何图形的综合题目，抛物线和直线“曲直”联立解交点， 利用三角形的全等和二次函数的性质把数与形有机的结合在一起，转化线段长求出结果 5.（2018 年无锡 28 题）已知：如图，一次函数 ykx1 的图象经过点 A（35，m） （m0） ，与 y 轴交于 点 B点 C
25、 在线段 AB 上，且 BC2AC，过点 C 作 x 轴的垂线，垂足为点 D若 ACCD （1）求这个一次函数的表达式； （2）已知一开口向下、以直线 CD 为对称轴的抛物线经过点 A，它的顶点为 P，若过点 P 且垂直于 AP 的直线与 x 轴的交点为 Q（ 45 5 ，0） ，求这条抛物线的函数表达式 【分析】 （1）利用三角形相似和勾股定理构造方程，求 AC 和 m （2）由APQ90，构造PQDAPE 构造方程求点 P 坐标可求二次函数解析式 【解析】 （1）过点 A 作 AFx 轴，过点 B 作 BFCD 于 H，交 AF 于点 F，过点 C 作 CEAF 于点 E 设 ACn，则
26、CDn 点 B 坐标为（0，1） CHn+1，AFm+1 CHAF，BC2AC = = 2 3 即： :1 :1 = 2 3 整理得： n= 21 3 RtAEC 中， CE2+AE2AC2 5+（mn）2n2 把 n= 21 3 代入 5+（m 21 3 ）2（2;1 3 ）2 解得 m15，m23（舍去） n3 把 A（35，5）代入 ykx1 得 k= 25 5 y= 25 5 x1 （2）如图，过点 A 作 AECD 于点 E 设点 P 坐标为（25，n） ，由已知 n0 由已知，PDx 轴 PQDAPE = 145 5 = ;5 5 解得 n17，n22（舍去） 设抛物线解析式为 y
27、a（xh）2+k ya（x25）2+7 把 A（35，5）代入 ya（x25）2+7 解得 a= 2 5 抛物线解析式为：y= 2 5 2 + 85 5 1 【点评】本题综合考查二次函数和一次函数性质在解答过程中，应注意利用三角形相似和勾股定理构 造方程，求出未知量 2 （2017 年苏州 28 题）如图，二次函数 yx2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，OB OC点 D 在函数图象上，CDx 轴，且 CD2，直线 l 是抛物线的对称轴，E 是抛物线的顶点 （1）求 b、c 的值； （2）如图，连接 BE，线段 OC 上的点 F 关于直线 l 的对称点 F恰
28、好在线段 BE 上，求点 F 的坐标； （3）如图，动点 P 在线段 OB 上，过点 P 作 x 轴的垂线分别与 BC 交于点 M，与抛物线交于点 N试 问：抛物线上是否存在点 Q，使得PQN 与APM 的面积相等，且线段 NQ 的长度最小？如果存在，求 出点 Q 的坐标；如果不存在，说明理由 【分析】 （1）由条件可求得抛物线对称轴，则可求得 b 的值；由 OBOC，可用 c 表示出 B 点坐标，代 入抛物线解析式可求得 c 的值； （2）可设 F（0，m） ，则可表示出 F的坐标，由 B、E 的坐标可求得直线 BE 的解析式，把 F坐标代 入直线 BE 解析式可得到关于 m 的方程，可求得
29、 F 点的坐标； （3）设点 P 坐标为（n，0） ，可表示出 PA、PB、PN 的长，作 QRPN，垂足为 R，则可求得 QR 的长， 用 n 可表示出 Q、R、N 的坐标，在 RtQRN 中，由勾股定理可得到关于 n 的二次函数，利用二次函数 的性质可知其取得最小值时 n 的值，则可求得 Q 点的坐标， 【解析】 （1）CDx 轴，CD2， 抛物线对称轴为 x1 2 = 1， = 2 OBOC，C（0，c） ， B 点的坐标为（c，0） ， 0c2+2c+c，解得 c3 或 c0（舍去） ， c3； （2）设点 F 的坐标为（0，m） 对称轴为直线 x1， 点 F 关于直线 l 的对称点
30、F 的坐标为（2，m） 由（1）可知抛物线解析式为 yx22x3（x1）24， E（1，4） ， 直线 BE 经过点 B（3，0） ，E（1，4） ， 利用待定系数法可得直线 BE 的表达式为 y2x6 点 F 在 BE 上， m2262，即点 F 的坐标为（0，2） ； （3）存在点 Q 满足题意 设点 P 坐标为（n，0） ，则 PAn+1，PBPM3n，PNn2+2n+3 作 QRPN，垂足为 R， SPQNSAPM， 1 2 ( + 1)(3 ) = 1 2 (2+ 2 + 3) ， QR1 点 Q 在直线 PN 的左侧时，Q 点的坐标为（n1，n24n） ，R 点的坐标为（n，n24
31、n） ，N 点的坐标 为（n，n22n3） 在 RtQRN 中，NQ21+（2n3）2， = 3 2时，NQ 取最小值 1此时 Q 点的坐标为( 1 2， 15 4 )； 点 Q 在直线 PN 的右侧时，Q 点的坐标为（n+1，n24） 同理，NQ21+（2n1）2， = 1 2时，NQ 取最小值 1此时 Q 点的坐标为( 3 2， 15 4 ) 综上可知存在满足题意的点 Q，其坐标为(1 2， 15 4 )或(3 2， 15 4 ) 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、轴对称、三角形的面积、勾股定理、二次函数 的性质、方程思想及分类讨论思想等知识在（1）中求得抛物线的对称轴是解
32、题的关键，在（2）中用 F 点的坐标表示出 F的坐标是解题的关键，在（3）中求得 QR 的长，用勾股定理得到关于 n 的二次函 数是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大 【专项突破】【专项突破】 【题组一】【题组一】 1 （2020无锡模拟）如图，已知二次函数 yax22ax+c（a0）的图象交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 C过点 A 的直线 ykx+2k（k0）与这个二次函数的图象的另一个交点为 F，与该图象的对称轴交于 点 E，与 y 轴交于点 D，且 DEEF （1）求点 A 的坐标； （2）若BDF 的面积为 12，求这个二次函数的关系式； （
33、3）设二次函数的顶点为 P，连接 PF，PC，若CPF2DAB，求此时二次函数的表达式 【分析】 （1）当 y0 时，kx+2k0，解得 x2，则 A（2，0） ； （2）函数的对称轴为直线 x1，则 B 点坐标为（4，0） ，则抛物线解析式为 yax2+2ax+8a，SBDF SFABSDAB，即可求解； （3）证明PCF 为等腰三角形，故 PG 平分CPF，即CPF2CPG，则 RtADORtPCG，即 可求解 【解析】 （1）当 y0 时，kx+2k0，解得 x2，则 A（2，0） ； （2）二次函数 yax2+2ax+c（a0）的图象的对称轴为直线 x1， B 点坐标为（4，0） ，
34、把 A（2，0）代入 yax2+2ax+c 得4a4a+c0， c8a， 抛物线解析式为 yax2+2ax+8a， DEEF， F 点的横坐标为 2， F（2，8a） ， 把 F（2，8a）代入 ykx+2k 得 8a2k+2k，解得 k2a， y2ax+4a， 当 x0 时，y4a，则 D（0，4a） ， SBDFSFABSDAB， 1 2 （4+2） 8a 1 2 （4+2） 4a12，解得 a1， 抛物线解析式为 yx2+2x+8； （3）如图，连接 CF 交对称轴于 G，过点 D 作 DHPG 交函数对称轴于点 H， 将点 A 的坐标代入抛物线表达式并解得：c8a， 故抛物线的解析式表
35、示为 yax22ax8a， 则点 C（0，8a） ，点 P（1，9a） ， DEEF， EHDEGF（AAS） ，故 DHGFGC， 即点 F、C 关于抛物线对称轴对称，故点 F（2，8a） ， CFx 轴，G（1，8a） ， PCF 为等腰三角形， PG 平分CPF，即CPF2CPG， CPF2DAB， DABCPG， RtADORtPCG， = ， 2 ; = ;4 1 ，解得 a= 2 2 （舍去负值） （舍去） ， 抛物线的解析式表示为 y= 2 2 x2+2x+42 2 （2020镇江模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y= 1 2x2 的图象分别交 x、y 轴于点 A、B，抛
36、 物线 yx2+bx+c 经过点 A、B，点 P 为第四象限内抛物线上的一个动点 （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）如图 1 所示，过点 P 作 PMy 轴，分别交直线 AB、x 轴于点 C、D，若以点 P、B、C 为顶点的三 角形与以点 A、C、D 为顶点的三角形相似，求点 P 的坐标； （3）如图 2 所示，过点 P 作 PQAB 于点 Q，连接 PB，当PBQ 中有某个角的度数等于OAB 度数的 2 倍时，请直接写出点 P 的横坐标 【分析】 （1）本题所求二次函数的解析式含有两个待定字母，一般需要两个点的坐标建立方程组，现在 可求 A、B 点坐标，代入列方程组可解答； （2）根
37、据ADC90，ACDBCP，可知相似存在两种情况： 当CBP90时，如图 1，过 P 作 PNy 轴于 N，证明AOBBNP，列比例式可得结论；当 CPB90时，如图 2，则 B 和 P 是对称点，可得 P 的纵坐标为2，代入抛物线的解析式可得结论； （3） 分两种情况： 当PBQ2OAB 时， 如图 3， 作辅助线， 构建相似三角形， 证明BOEHPB， 得 = ，设 P（x，x 27 2x2） ，则 H（x， 1 2x2） ，列方程可得结论； 当BPQ2OAB 时，如图 4，同理作辅助线，设点 P（t，t2 7 2t2） ，则 H（t， 1 2t2） ，根据面积 法表示 PQ 的长，证明P
38、BQEOF，可得 BQ 的长，最后根据勾股定理可得结论 【解析】 （1）令 x0，得 y= 1 2x22，则 B（0，2） ， 令 y0，得 0= 1 2x2，解得 x4，则 A（4，0） ， 把 A（4，0） ，B（0，2）代入 yx2+bx+c（a0）中，得：16 + 4 + = 0 = 2 ， 解得： = 7 2 = 2 ， 抛物线的解析式为：yx2 7 2x2； （2）PMy 轴， ADC90， ACDBCP， 以点 P、B、C 为顶点的三角形与以点 A、C、D 为顶点的三角形相似，存在两种情况： 当CBP90时，如图 1，过 P 作 PNy 轴于 N， 设 P（x，x2 7 2x2）
39、 ，则 C（x， 1 2x2） ， ABO+PBNABO+OAB90， PBNOAB， AOBBNP90， AOBBNP， = ，即 4 ;2;(2;7 2;2) = 2 ， 解得：x10（舍） ，x2= 3 2， P（3 2，5） ； 当CPB90时，如图 2，则 B 和 P 是对称点， 当 y2 时，x2 7 2x22， x10（舍） ，x2= 7 2， P（7 2，2） ； 综上，点 P 的坐标是（3 2，5）或（ 7 2，2） ； （3）OA4，OB2，AOB90， BOA45， BQP2BOA， 分两种情况： 当PBQ2OAB 时，如图 3，取 AB 的中点 E，连接 OE，过 P
40、作 PGx 轴于 G，交直线 AB 于 H， OEAE， OABAOE， OEB2OABPBQ， OBPG， OBEPHB， BOEHPB， = ， 由勾股定理得：AB= 22+ 42=25， BE= 5， GHOB， = ，即 4 = 25， BH= 5 2 x， 设 P（x，x2 7 2x2） ，则 H（x， 1 2x2） ， PH= 1 2x2（x 27 2x2）x 2+4x， 2 ;2:4 = 5 5 2 ， 解得：x10，x23， 点 P 的横坐标是 3； 当BPQ2OAB 时，如图 4，取 AB 的中点 E，连接 OE，过 P 作 PGx 轴于 G，交直线 AB 于 H， 过 O
41、作 OFAB 于 F，连接 AP，则BPQOEF， 设点 P（t，t2 7 2t2） ，则 H（t， 1 2t2） ， PH= 1 2t2（t 27 2t2）t 2+4t， OB2，OA4， AB25， OEBEAE= 5，OF= = 24 25 = 45 5 ， EF= 2 2=(5)2 (4 5 5 )2= 35 5 ， SABP= 1 2 = 1 2 ， 25PQ4（t2+4t） ， PQ= 22+8 5 ， OFEPQB90， PBQEOF， = ，即 22+8 5 = 35 5 45 5 = 3 4， BQ= 82+32 35 ， BQ2+PQ2PB2， (8 2+32 35 )2+
42、 (2 2+8 5 )2= 2+ (2 7 2 2 + 2)2， 化简得，44t2388t+8030， 即： （2t11） （22t73）0， 解得：t15.5（舍） ，t2= 73 22； 综上，存在点 P，使得PBQ 中有某个角的度数等于OAB 度数的 2 倍时，其 P 点的横坐标为 3 或73 22 3（2020滨湖区模拟） 已知二次函数 yax2+4amx （m0） 的对称轴与 x 轴交于点 B， 与直线 l： y= 1 2交于点 C，点 A 是该二次函数图象与直线 l 在第二象限的交点，点 D 是抛物线的顶点，已知 AC：CO1：2， DOB45，ACD 的面积为 2 （1）求抛物线的函数关系式； （2）若点 P 为抛物线对称轴上的一个点，且POC45，求点 P 坐标 【分析】 （1）先表示出抛物线的对称轴为直线 x2m，则利用正比例函数解析式可表示出 C（2m， m） ，利
