1、 20202020 年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（江苏专用）年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（江苏专用） 专题专题 05 二次函数与线段和角的数量关系问题二次函数与线段和角的数量关系问题 【真题再现】【真题再现】 1 （2019 年宿迁 28 题）如图，抛物线 yx2+bx+c 交 x 轴于 A、B 两点，其中点 A 坐标为（1，0） ，与 y 轴 交于点 C（0，3） （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图，连接 AC，点 P 在抛物线上，且满足PAB2ACO求点 P 的坐标； （3）如图，点 Q 为 x 轴下方抛物线上任意一点，点 D 是抛物线对称轴与 x 轴的交点，直线
2、 AQ、BQ 分别交抛物线的对称轴于点 M、N请问 DM+DN 是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是， 请说明理由 2 （2019 年盐城 27 题） 如图所示， 二次函数 yk （x1） 2+2 的图象与一次函数 ykxk+2 的图象交于 A、 B 两点，点 B 在点 A 的右侧，直线 AB 分别与 x、y 轴交于 C、D 两点，其中 k0 （1）求 A、B 两点的横坐标； （2）若OAB 是以 OA 为腰的等腰三角形，求 k 的值； （3）二次函数图象的对称轴与 x 轴交于点 E，是否存在实数 k，使得ODC2BEC，若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由 3 （2018 年常
3、州 28 题）如图，二次函数 y= 1 3 2+bx+2 的图象与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C，点 A 的坐标为（4，0） ，P 是抛物线上一点（点 P 与点 A、B、C 不重合） （1）b ，点 B 的坐标是 ； （2）设直线 PB 与直线 AC 相交于点 M，是否存在这样的点 P，使得 PM：MB1：2？若存在，求出点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由； （3）连接 AC、BC，判断CAB 和CBA 的数量关系，并说明理由 4 （2019 年苏州 28 题）如图，抛物线 yx2+（a+1）xa 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 位于点 B 的左 侧） ，与 y 轴交于
4、点 C已知ABC 的面积是 6 （1）求 a 的值； （2）求ABC 外接圆圆心的坐标； （3）如图，P 是抛物线上一点，Q 为射线 CA 上一点，且 P、Q 两点均在第三象限内，Q、A 是位于 直线 BP 同侧的不同两点，若点 P 到 x 轴的距离为 d，QPB 的面积为 2d，且PAQAQB，求点 Q 的坐标 5 （2018 年无锡 28 题）已知：如图，一次函数 ykx1 的图象经过点 A（35，m） （m0） ，与 y 轴交于 点 B点 C 在线段 AB 上，且 BC2AC，过点 C 作 x 轴的垂线，垂足为点 D若 ACCD （1）求这个一次函数的表达式； （2）已知一开口向下、以直
5、线 CD 为对称轴的抛物线经过点 A，它的顶点为 P，若过点 P 且垂直于 AP 的直线与 x 轴的交点为 Q（ 45 5 ，0） ，求这条抛物线的函数表达式 6 （2017 年苏州 28 题）如图，二次函数 yx2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，OB OC点 D 在函数图象上，CDx 轴，且 CD2，直线 l 是抛物线的对称轴，E 是抛物线的顶点 （1）求 b、c 的值； （2）如图，连接 BE，线段 OC 上的点 F 关于直线 l 的对称点 F恰好在线段 BE 上，求点 F 的坐标； （3）如图，动点 P 在线段 OB 上，过点 P 作 x 轴的垂线分
6、别与 BC 交于点 M，与抛物线交于点 N试 问：抛物线上是否存在点 Q，使得PQN 与APM 的面积相等，且线段 NQ 的长度最小？如果存在，求 出点 Q 的坐标；如果不存在，说明理由 【专项突破】【专项突破】 【题组一】【题组一】 1 （2020无锡模拟）如图，已知二次函数 yax22ax+c（a0）的图象交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 C过点 A 的直线 ykx+2k（k0）与这个二次函数的图象的另一个交点为 F，与该图象的对称轴交于 点 E，与 y 轴交于点 D，且 DEEF （1）求点 A 的坐标； （2）若BDF 的面积为 12，求这个二次函数的关系式； （3）设二次函
7、数的顶点为 P，连接 PF，PC，若CPF2DAB，求此时二次函数的表达式 2 （2020镇江模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y= 1 2x2 的图象分别交 x、y 轴于点 A、B，抛 物线 yx2+bx+c 经过点 A、B，点 P 为第四象限内抛物线上的一个动点 （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）如图 1 所示，过点 P 作 PMy 轴，分别交直线 AB、x 轴于点 C、D，若以点 P、B、C 为顶点的三 角形与以点 A、C、D 为顶点的三角形相似，求点 P 的坐标； （3）如图 2 所示，过点 P 作 PQAB 于点 Q，连接 PB，当PBQ 中有某个角的度数等于OAB
8、度数的 2 倍时，请直接写出点 P 的横坐标 3（2020滨湖区模拟） 已知二次函数 yax2+4amx （m0） 的对称轴与 x 轴交于点 B， 与直线 l： y= 1 2交于点 C，点 A 是该二次函数图象与直线 l 在第二象限的交点，点 D 是抛物线的顶点，已知 AC：CO1：2， DOB45，ACD 的面积为 2 （1）求抛物线的函数关系式； （2）若点 P 为抛物线对称轴上的一个点，且POC45，求点 P 坐标 4 （2020营口模拟）如图 1，抛物线 yx2+mx+n 交 x 轴于点 A（2，0）和点 B，交 y 轴于点 C（0，2） （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点 M
9、在抛物线上，且 SAOM2SBOC，求点 M 的坐标； （3） 如图 2， 设点 N 是线段 AC 上的一动点， 作 DNx 轴， 交抛物线于点 D， 求线段 DN 长度的最大值 【题组二】【题组二】 5 （2019梁溪区校级二模）已知，在平面直角坐标系中，直线 l 与 y 轴相交于点 A（0，m） ，其中 m0， 与 x 轴相交于点 B（4，0） 抛物线 yax2+bx（a0）经过点 B，它与直线 l 相交于另一点 C （1）若 AC：BC1：3，求 a 的值（用含 m 的代数式表示） ； （2）在（1）的条件下，若抛物线的顶点为 F，其对称轴与直线 l 和 x 轴分别相交于点 D、E，当以
10、 F、 C、D 为顶点的三角形与BED 相似时，求抛物线的函数表达式 6 （2019邗江区校级二模）如图，抛物线 yax2+3x+c（a0）与 x 轴交于点 A 和点 B（点 A 在原点的左 侧，点 B 在原点的右侧） ，与 y 轴交于点 C，OBOC4 （1）求该抛物线的函数解析式 （2） 如图 1， 连接 BC， 点 D 是直线 BC 上方抛物线上的点， 连接 OD， CD OD 交 BC 于点 F， 当 SCOF： SCDF4：3 时，求点 D 的坐标 （3）如图 2，点 E 的坐标为（0，2） ，点 P 是抛物线上的点，连接 EB，PB，PE 形成的PBE 中，是 否存在点 P， 使P
11、BE 或PEB 等于 2OBE？若存在， 请直接写出符合条件的点 P 的坐标； 若不存在， 请说明理由 7 （2019靖江市校级一模）如图，抛物线 ymx216mx+48m（m0）与 x 轴交于 A，B 两点（点 B 在点 A 左侧） ，与 y 轴交于点 C，点 D 是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接 OD、BD、AC、AD， 延长 AD 交 y 轴于点 E （1）若OAC 为等腰直角三角形，求 m 的值； （2）若对任意 m0，C、E 两点总关于原点对称，求点 D 的坐标（用含 m 的式子表示） ； （3）当点 D 运动到某一位置时，恰好使得ODBOAD，且点 D 为线段 AE 的中
12、点 求 m 的值； 此时对于该抛物线上任意一点 P（x0，y0）总有 n+ 1 3 43my 0 2 123050 成立，求实数 n 的最 小值 8 （2019姑苏区校级二模）已知抛物线经过点 A（1，0） 、点 B（3，0） 、点 C（0，3） ，点 D 为抛物线在 第一象限内图象上一动点，连接 AD，交 y 轴于点 E，将点 C 关于线段 AD 作轴对称，对称点为 C，连接 AC （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1 如果点 C落在 x 轴，求点 E 坐标； （3）如图 2，连接 AC、BC，BC 与 AD 交于点 F，拖动点 D，点 C落在第四象限，作 FGAC，交 x 轴 于点 M
13、，交 AC于点 G，若AGF90，求点 M 的横坐标 【题组三】【题组三】 9 （2019宿豫区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0） 、B（3， 0）两点，且抛物线经过点 D（2，3） （1）求这条抛物线的表达式； （2）将该抛物线向下平移，使得新抛物线的顶点 G 在 x 轴上原抛物线上一点 M 平移后的对应点为点 N，如果AMN 是以 MN 为底边的等腰三角形，求点 N 的坐标； （3）若点 P 为抛物线上第一象限内的动点，过点 B 作 BEOP，垂足为 E，点 Q 为 y 轴上的一个动点， 连接 QE、QD，试求 QE+QD 的最小值 1
14、0 （2019灌南县二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 yax2+bx3的图象经过点 A（1，0） 、 C（2，0） ，与 y 轴交于点 B，其对称轴与 x 轴交于点 D （1）求二次函数的表达式及其顶点坐标； （2）M（s，t）为抛物线对称轴上的一个动点， 若平面内存在点 N，使得 A、B、M、N 为顶点的四边形为矩形，直接写出点 M 的坐标； 连接 MA、MB，若AMB 不小于 60，求 t 的取值范围 11 （2019润州区二模）如图，已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象与直线 AB 相交，与 x 轴、y 轴交 于 A（2，0） 、B(0，23) （1）求点 O 关于 A
15、B 的对称点 P 的坐标； （2）若点 P 在二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象上，求二次函数 yax2+bx+c（a0）的关系式 （3） 在 （2） 的条件下， 在ABP 内存在点 M， 使得 MA+MB+MP 的值最小， 则相应点 M 的坐标为 12 （2019洪泽区二模）如图，抛物线 yax2+bx+5 经过 A（1，0）和 B（5，0） ，与 y 轴交于点 C 点为点 D，连接 BC，BD点 P 是抛物线对称轴上的一个动点 （1）a ，b ； （2）若CPB90，求点 P 的坐标； （3）是否存在点 P，使得以 P、D、B 为顶点的三角形中有两个内角的和等于ABC？若存在，求出
16、点 P 的坐标；若不存在，说明理由 （4） 如图， 抛物线对称轴交 x 轴于点 E， 设BDE 的度数为 a， 点 M 是线段 BC 上动点， 作射线 AM， 将 AM 绕 A 点逆时针旋转 2a 度，旋转后的射线交直线 BC 与点 N，请直接写出 MN 的最小值 （直接写 出结果） 【题组四】【题组四】 13 （2019高港区三模）定义：两条长度相等，且它们所在的直线互相垂直，我们称这两条线段互为等垂 线段如图，直线 y2x+4 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B （1）若线段 AB 与线段 BC 互为等垂线段求 A、B、C 的坐标 （2）如图，点 D 是反比例函数 y= 1 的图象
17、上任意一点，点 E（m，1） ，线段 DE 与线段 AB 互为等 垂线段，求 m 的值； （3）抛物线 yax2+bx+c（a0）经过 A、B 两点 用含 a 的代数式表示 b 点 P 为平面直角坐标系内的一点，在抛物线上存在点 Q，使得线段 PQ 与线段 AB 互为等垂线段，且 它们互相平分，请直接写出满足上述条件的 a 值 14 （2019丹阳市一模）如图（1） ，二次函数 yax2bx（a0）的图象与 x 轴、直线 yx 的交点分别为 点 A（4，0） 、B（5，5） （1）a ，b ，AOB ； （2）连接 AB，点 P 是抛物线上一点（异于点 A） ，且PBOOBA，求点 P 的坐标
18、 ； （3）如图（2） ，点 C、D 是线段 OB 上的动点，且 CD22设点 C 的横坐标为 m 过点 C、D 分别作 x 轴的垂线，与抛物线相交于点 F、E，连接 EF当 CF+DE 取得最大值时，求 m 的值并判断四边形 CDEF 的形状； 连接 AC、AD，求 m 为何值时，AC+AD 取得最小值，并求出这个最小值 15 （2019建湖县二模）如图，二次函数 yax23ax+c 的图象与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C 直线 yx+4 经过点 B、C （1）求抛物线的表达式； （2）过点 A 的直线交抛物线于点 M，交直线 BC 于点 N 点 N 位于 x 轴上方时，是否存
19、在这样的点 M，使得 AM：NM5：3？若存在，求出点 M 的坐标；若 不存在，请说明理由 连接 AC，当直线 AM 与直线 BC 的夹角ANB 等于ACB 的 2 倍时，请求出点 M 的横坐标 16 （2019无锡二模）已知，如图，二次函数 yax2+2ax3a（a0）图象的顶点为 C 与 x 轴交于 A、B 两 点（点 A 在点 B 左侧） ，点 C、B 关于过点 A 的直线 l：ykx3对称 （1）求 A、B 两点坐标及直线 l 的解析式； （2）求二次函数解析式； （3）如图 2，过点 B 作直线 BDAC 交直线 l 于 D 点，M、N 分别为直线 AC 和直线 l 上的两动点，连
20、接 CN，NM、MD，求 D 的坐标并直接写出 CN+NM+MD 的最小值 【题组五】【题组五】 17 （2019兴化市二模）已知，关于 x 的二次函数 yax22ax（a0）的顶点为 C，与 x 轴交于点 O、A， 关于 x 的一次函数 yax（a0） （1）试说明点 C 在一次函数的图象上； （2） 若两个点 （k， y1） 、（k+2， y2）（k0， 2） 都在二次函数的图象上， 是否存在整数 k， 满足 1 1 + 1 2 = 1 6？ 如果存在，请求出 k 的值；如果不存在，请说明理由； （3）若点 E 是二次函数图象上一动点，E 点的横坐标是 n，且1n1，过点 E 作 y 轴的
21、平行线，与 一次函数图象交于点 F，当 0a2 时，求线段 EF 的最大值 18 （2019清江浦区一模）如图，抛物线 yax2+bx+4（a0）与 x 轴交于点 B（3，0）和 C （4，0）与 y 轴交于点 A （1）a ，b ； （2）点 M 从点 A 出发以每秒 1 个单位长度的速度沿 AB 向 B 运动，同时，点 N 从点 B 出发以每秒 1 个 单位长度的速度沿 BC 向 C 运动，当点 M 到达 B 点时，两点停止运动t 为何值时，以 B、M、N 为顶点 的三角形是等腰三角形？ （3）点 P 是第一象限抛物线上的一点，若 BP 恰好平分ABC，请直接写出此时点 P 的坐标 19
22、（2019常州一模） 如图， 在平面直角坐标系 xOy 中， 直线 l： ykx+m 交 y 轴于点 C， 与抛物线 yax2+bx 交于点 A（4，0） 、B（ 3 2， 33 8 ） （1）直线 l 的表达式为： ，抛物线的表达式为： ； （2） 若点 P 是二次函数 yax2+bx 在第四象限内的图象上的一点， 且 2SAPBSAOB， 求AOP 的面积； （3）若点 Q 是二次函数图象上一点，设点 Q 到直线 l 的距离为 d，到抛物线的对称轴的距离为 d1，当|d d1|2 时，请直接写出点 Q 的坐标 20 （2019东台市模拟）如图，抛物线 yax2+bx+3 的图象经过点 A（
23、1，0） ，B（3，0） ，交 y 轴于点 C， 顶点是 D （1）求抛物线的表达式和顶点 D 的坐标； （2）在 x 轴上取点 F，在抛物线上取点 E，使以点 C、D、E、F 为顶点的四边形是平行四边形，求点 E 的坐标； （3）将此抛物线沿着过点（0，2）且垂直于 y 轴的直线翻折，E 为所得新抛物线 x 轴上方一动点，过 E 作 x 轴的垂线，交 x 轴于 G，交直线 l：y= 1 2x1 于点 F，以 EF 为直径作圆在直线 l 上截得弦 MN，求 弦 MN 长度的最大值 【题组六】【题组六】 21 （2019昆山市二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+c（a0）交
24、x 轴于点 A（2，0） ， B（3，0） ，交 y 轴于点 C，且经过点 D（6，6） ，连接 AD，BD （1）求该抛物线的函数关系式； （2） 若点 M 为 X 轴上方的抛物线上一点， 能否在点 A 左侧的 x 轴上找到另一点 N， 使得AMN 与ABD 相似？若相似，请求出此时点 M、点 N 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点 P 是直线 AD 上方的抛物线上一动点（不与 A，D 重合） ，过点 P 作 PQy 轴交直线 AD 于点 Q， 以 PQ 为直径作E， 则E 在直线 AD 上所截得的线段长度的最大值等于 （直接写出答案） 22 （2019泰兴市一模）如图 1，抛物线
25、l1： ：y1a（x2）2与直线 l2：y2am（x2）+b（a，m，b 为常数，a0，m0）交于 A，B 两点，直线 l2交 x 轴交于点 C点 A 的坐标为（m+2，n） （1）若 a1，m3，则 A 的坐标为 ，b ，点 B 的坐标为 ； （2）已知点 M（0，4） ，N（3，4） ，抛物线 l1与线段 MN 有两个公共点，求 a 的取值范围； （3）如图 1，求证：AB3AC； 如图 2，设抛物线顶点为 F，直线 l2交抛物线的对称轴于点 D，直线 l3：y32am（x2）+d（d 为常 数，d0）经过点 A，并交抛物线的对称轴于点 E，若BFDpAED（p 为常数） ，则 p 的值是
26、否发生 变化？若不变，请求出 p 的值；若变化，请说明理由 23 （2019铜山区二模）已知，如图，二次函数 yax2+bx+c 图象交 x 轴于 A（1，0） ，交 y 轴于点 C（0， 3） ，D 是抛物线的顶点，对称轴 DF 经过 x 轴上的点 F（1，0） （1）求二次函数关系式； （2）对称轴 DF 与 BC 交于点 M，点 P 为对称轴 DF 上一动点 求 AP+ 5 5 PD 的最小值及取得最小值时点 P 的坐标； 在的条件下，把APF 沿着 x 轴向右平移 t 个单位长度（0t4）时，设APF 与MBF 重叠部 分面积记为 S，求 S 与 t 之间的函数表达式，并求出 S 的最大值 24 （2019靖江市一模）如图 1，将抛物线 yax2（a0 平移到顶点 M 恰好落在直线 yx+3 上，且抛物线 过直线与 y 轴的交点 A，设此时抛物线顶点的横坐标为 m（m0） （1）用含 m 的代数式表示 a； （2）如图 2，RtCBT 与抛物线交于 C、D、T 三点，B90，BCx 轴，CD2BDtBT2t， TDC 的面积为 4 求抛物线方程； 如图 3，P 为抛物线 AM 段上任一点，Q（0，4） ，连结 QP 并延长交线段 AM 于 N，求 的最大值
