1、 20202020 年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（江苏专用）年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（江苏专用） 专题专题 10 与圆有关的综合问题与圆有关的综合问题 【真题再现】【真题再现】 1 （2018 年镇江中考第 26 题）如图 1，平行四边形 ABCD 中，ABAC，AB6，AD10，点 P 在边 AD 上运动，以 P 为圆心，PA 为半径的P 与对角线 AC 交于 A，E 两点 （1）如图 2，当P 与边 CD 相切于点 F 时，求 AP 的长； （2）不难发现，当P 与边 CD 相切时，P 与平行四边形 ABCD 的边有三个公共点， 随着 AP 的变化， P 与平行四边
2、形 ABCD 的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为 4，直接写出相对应的 AP 的 值的取值范围 40 9 AP 24 5 或 AP5 【分析】 （1）连接 PF，则 PFCD，由 ABAC 和四边形 ABCD 是平行四边形，得 PFAC，可证明 DPFDAC，列比例式可得 AP 的长； （2）有两种情况： 与边 AD、CD 分别有两个公共点；P 过点 A、C、D 三点 【解析】 （1）如图 2 所示，连接 PF， 在 RtABC 中，由勾股定理得：AC= 102 62=8， 设 APx，则 DP10x，PFx， P 与边 CD 相切于点 F， PFCD， 四边形 ABCD 是平行四边
3、形， ABCD， ABAC， ACCD， ACPF， DPFDAC， = ， 8 = 10; 10 ， x= 40 9 ，AP= 40 9 ； （2）当P 与 BC 相切时，设切点为 G，如图 3， SABCD= 1 2 6 8 2 =10PG， PG= 24 5 ， 当P 与边 AD、CD 分别有两个公共点时，40 9 AP 24 5 ，即此时P 与平行四边形 ABCD 的边的公 共点的个数为 4， P 过点 A、C、D 三点 ，如图 4，P 与平行四边形 ABCD 的边的公共点的个数为 4， 此时 AP5， 综上所述，AP 的值的取值范围是：40 9 AP 24 5 或 AP5 故答案为：
4、40 9 AP 24 5 或 AP5 点评：本题是圆与平行四边形的综合题，考查了圆的切线的性质、勾股定理、平行四边形性质和面积公 式，第 2 问注意利用分类讨论的思想，并利用数形结合解决问题 2 （2019 年镇江中考第 26 题） 【材料阅读】 地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图 1 中的O） 人们在北半球可观测到 北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图 2 所示的工具尺（古人称它为“复矩” ） ，尺的两边 互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直站在不同的观测点， 当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角 的大小是变化的 【
5、实际应用】 观测点 A 在图 1 所示的O 上，现在利用这个工具尺在点 A 处测得 为 31，在点 A 所在子午线往北 的另一个观测点 B，用同样的工具尺测得 为 67PQ 是O 的直径，PQON （1）求POB 的度数； （ 2 ） 已 知 OP 6400km ， 求 这 两 个 观 测 点 之 间 的 距 离 即 O 上 的 长 （ 取 3.1 ） 【分析】 （1）设点 B 的切线 CB 交 ON 延长线于点 E，HDBC 于 D，CHBH 交 BC 于点 C，则DHC 67，证出HBDDHC67，由平行线的性质得出BEOHBD67，由直角三角形的性 质得出BOE23，得出POB90236
6、7； （2）同（1）可证POA31，求出AOBPOBPOA36，由弧长公式即可得出结果 【解析】 （1） 设点 B 的切线 CB 交 ON 延长线于点 E， HDBC 于 D， CHBH 交 BC 于点 C， 如图所示： 则DHC67， HBD+BHDBHD+DHC90， HBDDHC67， ONBH， BEOHBD67， BOE906723， PQON， POE90， POB902367； （2）同（1）可证POA31， AOBPOBPOA673136， = 366400 180 =3968（km） 点评：本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、弧长公式等知识；熟练掌握切线的性质和弧长公式
7、是解题的关键 3 （2019 苏州中考第 26 题）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，D 是弧 BC 的中点，BC 与 AD、 OD 分别交于点 E、F （1）求证：DOAC； （2）求证：DEDADC2； （3）若 tanCAD= 1 2，求 sinCDA 的值 【分析】 （1）点 D 是 中点，OD 是圆的半径，又 ODBC，而 AB 是圆的直径，则ACB90，故： ACOD； （2）证明DCEDCA，即可求解； （3） =3，即AEC 和DEF 的相似比为 3，设：EFk，则 CE3k，BC8k，tanCAD= 1 2，则 AC6k，AB10k，即可求解 【解析】 （1）因为点
8、 D 是弧 BC 的中点， 所以CADBAD，即CAB2BAD， 而BOD2BAD， 所以CABBOD， 所以 DOAC； （2） = ， CADDCB， DCEDAC， CD2DEDA； （3）tanCAD= 1 2，连接 BD，则 BDCD， DBCCAD，在 RtBDE 中，tanDBE= = = 1 2， 设：DEa，则 CD2a， 而 CD2DEDA，则 AD4a， AE3a， =3， 而AECDEF， 即AEC 和DEF 的相似比为 3， 设：EFk，则 CE3k，BC8k， tanCAD= 1 2， AC6k，AB10k， sinCDA= 3 5 点评：本题为圆的综合运用题，涉及
9、到三角形相似等知识点，本题的关键是通过相似比，确定线段的比 例关系，进而求解 4 （2019 扬州中考第 25 题）如图，AB 是O 的弦，过点 O 作 OCOA，OC 交 AB 于 P，CPBC （1）求证：BC 是O 的切线； （2）已知BAO25，点 Q 是 上的一点 求AQB 的度数； 若 OA18，求 的长 【分析】 （1）连接 OB，根据等腰三角形的性质得到OABOBA，CPBPBC，等量代换得到 APOCBP，根据三角形的内角和得到CBO90，于是得到结论； （2）根据等腰三角形和直角三角形的性质得到ABO25，APO65，根据三角形外角的性质 得到POBAPOABO40，根据圆
10、周角定理即可得到结论； 根据弧长公式即可得到结论 【解答】 （1）证明：连接 OB， OAOB， OABOBA， PCCB， CPBPBC， APOCPB， APOCBP， OCOA， AOP90， OAP+APO90， CBP+ABO90， CBO90， BC 是O 的切线； （2）解：BAO25， ABO25，APO65， POBAPOABO40， AQB= 1 2（AOP+POB）= 1 2 13065； AQB65， AOB130， 的长= 的长= 23018 180 =23 点评：本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，弧长的计算，圆周角定 理，熟练正确切线的
11、判定和性质定理是解题的关键 5 （2019 盐城中考第 25 题）如图，在 RtABC 中，ACB90，CD 是斜边 AB 上的中线，以 CD 为直 径的O 分别交 AC、BC 于点 M、N，过点 N 作 NEAB，垂足为 E （1）若O 的半径为5 2，AC6，求 BN 的长； （2）求证：NE 与O 相切 【分析】 （1）由直角三角形的性质可求 AB10，由勾股定理可求 BC8，由等腰三角形的性质可得 BN 4； （2）欲证明 NE 为O 的切线，只要证明 ONNE 【解析】 （1）连接 DN，ON O 的半径为5 2， CD5 ACB90，CD 是斜边 AB 上的中线， BDCDAD5，
12、 AB10， BC= 2 2 =8 CD 为直径 CND90，且 BDCD BNNC4 （2）ACB90，D 为斜边的中点， CDDADB= 1 2AB， BCDB， OCON， BCDONC， ONCB， ONAB， NEAB， ONNE， NE 为O 的切线 点评：本题考查切线的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考 常考题型 6 （2018 年南京中考第 26 题）如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，连接 DE过点 A 作 AFDE， 垂足为 F，O 经过点 C、D、F，与 AD 相交于点 G （1）求证：AFGDFC； （2）若正方形 A
13、BCD 的边长为 4，AE1，求O 的半径 【分析】 （1）欲证明AFGDFC，只要证明FAGFDC，AGFFCD； （2）首先证明 CG 是直径，求出 CG 即可解决问题； 【解答】 （1）证明：在正方形 ABCD 中，ADC90， CDF+ADF90， AFDE， AFD90， DAF+ADF90， DAFCDF， 四边形 GFCD 是O 的内接四边形， FCD+DGF180， FGA+DGF180， FGAFCD， AFGDFC （2）解：如图，连接 CG EADAFD90，EDAADF， EDAADF， = ，即 = ， AFGDFC， = ， = ， 在正方形 ABCD 中，DADC
14、， AGEA1，DGDAAG413， CG= 2+ 2=5， CDG90， CG 是O 的直径， O 的半径为5 2 点评：本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用 所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型 【专项突破】【专项突破】 【题组一】【题组一】 1 （2020连云港模拟）如图，矩形 ABCD 中，AB4，BC6，E 是 BC 边的中点，点 P 在线段 AD 上，过 P 作 PFAE 于 F，设 PAx （1）求证：PFAABE； （2） 当点 P 在线段 AD 上运动时， 是否存在实数 x， 使得以点 P， F， E 为顶点的
15、三角形也与ABE 相似？ 若存在，请求出 x 的值；若不存在，请说明理由； （3） 探究：当以 D 为圆心， DP 为半径的D 与线段 AE 只有一个公共点时， 请直接写出 x 满足的条件： = 6 5或 0x1 【分析】 （1）根据正方形的性质，结合已知条件可以证明两个角对应相等，从而证明三角形相似； （2）由于对应关系不确定，所以应针对不同的对应关系分情况考虑：当PEFEAB 时，则得到四 边形 ABEP 为矩形， 从而求得 x 的值； 当PEFAEB 时， 再结合 （1） 中的结论， 得到等腰APE 再 根据等腰三角形的三线合一得到 F 是 AE 的中点，运用勾股定理和相似三角形的性质进
16、行求解 （3）首先计算圆 D 与线段相切时，x 的值，在画出圆 D 过 E 时，半径 r 的值，确定 x 的值，半径比这时 大时符合题意，根据图形确定 x 的取值范围 【解答】 （1）证明：如图 1 中， 矩形 ABCD， ABE90，ADBC， PAFAEB， 又PFAE， PFA90ABE， PFAABE （2）解：分二种情况： 若EFPABE，如图 1，则PEFEAB， PEAB， 四边形 ABEP 为矩形， PAEB3，即 x3， 如图 2，若PFEABE，则PEFAEB， ADBC PAFAEB， PEFPAF PEPA PFAE， 点 F 为 AE 的中点， RtABE 中，AB4
17、，BE3， AE5， = 1 2 = 5 2， PFEABE， = ， 5 = 5 2 3， = 25 6 ，（8 分） 满足条件的 x 的值为 3 或25 6 （3）如图 3，当D 与 AE 相切时，设切点为 G，连接 DG， APx， PDDG6x， DAGAEB，AGDB90， AGDEBA， = ， 6 5 = 6; 4 ， x= 6 5， 当D 过点 E 时，如图 4，D 与线段有两个公共点，连接 DE，此时 PDDE5， APx651， 当以 D 为圆心，DP 为半径的D 与线段 AE 只有一个公共点时，x 满足的条件：x= 6 5或 0x1； 故答案为：x= 6 5或 0x1 x
18、 满足的条件： = 6 5或 0x1 2 （2020陆丰市模拟） 如图， ABC 中， 以 AB 为直径作O， 交 BC 于点 D， E 为弧 BD 上一点， 连接 AD、 DE、AE，交 BD 于点 F （1）若CADAED，求证：AC 为O 的切线； （2）若 DE2EFEA，求证：AE 平分BAD； （3）在（2）的条件下，若 AD4，DF2，求O 的半径 【分析】 （1）由圆周角定理可得BDA90，可得DBA+DAB90，可证BAC90，由切线 的判定可证 AC 为O 的切线； （2）通过证明DEFAED，可得EDFDAE，可得BAEDAE，即 AE 平分BAD； （3）过点 F 作
19、FHAB，垂足为 H，由角平分线的性质可得 DFFH2，由面积法可求 AB2BF，由 勾股定理可求 BF 的长，即可求O 的半径 【解答】证明： （1）AB 是直径， BDA90， DBA+DAB90， CADAED，AEDABD， CADABD， CAD+DAB90， BAC90， 即 ABAC，且 AO 是半径， AC 为O 的切线； （2）DE2EFEA， = ，且DEFDEA， DEFAED， EDFDAE， EDFBAE， BAEDAE， AE 平分BAD； （3）如图，过点 F 作 FHAB，垂足为 H， AE 平分BAD，FHAB，BDA90， DFFH2， SABF= 1 2A
20、BFH= 1 2 BFAD， 2AB4BF， AB2BF， 在 RtABD 中，AB2BD2+AD2， （2BF）2（2+BF）2+16， BF= 10 3 ，BF2（不合题意舍去） AB= 20 3 ， O 的半径为10 3 3 （2020播州区校级模拟）如图，RtABC 中，ACB90，AC6，AB10，C 与 AB 相切于点 D， 延长 AC 到点 E，使 CEAC，连接 EB过点 E 作 BE 的垂线，交C 于点 P、Q，交 BA 的延长线于点 F （1）求 AD 的长； （2）求证：EB 与C 相切； （3）求线段 PQ 的长 【分析】 （1）sinABC= = 3 5 =sin，则
21、 tan= 3 4，ADACsin= 18 5 ； （2）过点 C 作 CFBE 交 BE 于点 F，则 CFCD圆的半径BCsin= 24 5 ，即可求解； （3）证明四边形 EGCF 为矩形，CGEFFCtan，PQ2PG，即可求解 【解答】解： （1）连接 CD，则 CDAB， CEAC，ACB90， ACDCBA， AC6，AB10，BC8， sinABC= = 3 5 =sin，则 tan= 3 4， ADACsin= 18 5 ； （2）过点 C 作 CKBE 交 BE 于点 K， ACB90，CEAC， CBACBK CKCD圆的半径BCsin= 24 5 ， EB 与C 相切；
22、 （3）过点 C 作 CGFE 交 FE 于点 G， BEF90，CGEF，CFBE， 四边形 EGCF 为矩形， CGEFFCtanBCsintan8 3 5 3 4 = 18 5 ， PQ2PG22 2=2(24 5 )2 (18 5 )2= 127 5 4 （2020萧山区一模）如图，以 AB 为直径作半圆 O，点 C 是半圆上一点，ABC 的平分线交O 于 E， D 为 BE 延长线上一点，且 DEFE （1）求证：AD 为O 切线； （2）若 AB20，tanEBA= 3 4，求 BC 的长 【分析】（1） 先利用角平分线定义、 圆周角定理证明42， 再利用 AB 为直径得到2+BA
23、E90， 则4+BAE90，然后根据切线的判定方法得到 AD 为O 切线； （2）解：根据圆周角定理得到ACB90，设 AE3k，BE4k，则 AB5k20，求得 AE12，BE 16，连接 OE 交 AC 于点 G，如图，解直角三角形即可得到结论 【解答】 （1）证明：BE 平分ABC， 12， AB 为直径， AEBD， DEFE， 34， 13， 42， AB 为直径， AEB90， 2+BAE90 4+BAE90，即BAD90， ADAB， AD 为O 切线； （2）解：AB 为直径， ACB90， 在 RtABC 中，tanEBA= 3 4， 设 AE3k，BE4k，则 AB5k20
24、， AE12，BE16， 连接 OE 交 AC 于点 G，如图， 12， = ， OEAC， 32， tanEBAtan3= 3 4， 设 AG4x，EG3x， AE5x12， x= 12 5 ， AG= 48 5 ， OGBC， AC2AG= 96 5 ， BC= 2 2= 28 5 【题组二】【题组二】 5 （2019亭湖区二模）如图，OA、OB 是O 的两条半径，OAOB，C 是半径 OB 上一动点，连接 AC 并 延长交O 于 D，过点 D 作圆的切线交 OB 的延长线于 E，已知 OA6 （1）求证：ECDEDC； （2）若 BC2OC，求 DE 长； （3）当A 从 15增大到 3
25、0的过程中，求弦 AD 在圆内扫过的面积 【分析】 （1）连接 OD，由切线的性质得出EDC+ODA90，由等腰三角形的性质得出ODA OAC，得出EDCACO，即可得出结论； （2）设 DEx，则 CEDEx，OE2+x，在 RtODE 中，由勾股定理得出方程，解法长即可； （3）过点 D 作 DFAO 交 AO 的延长线于 F，当A15时，DOF30，得出 DF= 1 2OD= 1 2OA 3，DOA150，S弓形ABDS扇形ODASAOD159，当A30时，DOF60，S弓形ABD S扇形ODASAOD1293，即可得出结果 【解答】 （1）证明：连接 OD，如图 1 所示： DE 是O
26、 的切线， EDC+ODA90， OAOB， ACO+OAC90， OA、OB 是O 的两条半径， OAOB， ODAOAC， EDCACO， ECDACO， ECDEDC； （2）解：BC2OC，OBOA6， OC2， 设 DEx， ECDEDC， CEDEx， OE2+x， ODE90， OD2+DE2OE2， 即：62+x2（2+x）2， 解得：x8， DE8； （3）解：过点 D 作 DFAO 交 AO 的延长线于 F，如图 2 所示： 当A15时，DOF30， DF= 1 2OD= 1 2OA3，DOA150， S弓形ABDS扇形ODASAOD= 15062 360 1 2OADF1
27、5 1 2 63159， 当A30时，DOF60， DF= 3 2 OD= 3 2 OA33，DOA120， S弓形ABDS扇形ODASAOD= 12062 360 1 2OADF12 1 2 633 =1293， 当A 从 15增大到 30的过程中， AD 在圆内扫过的面积 （159） （1293） 3+93 9 6 （2020长春模拟）如图，AB 是O 的直径，BD 是O 的弦，延长 BD 到点 C，使 DCBD，连接 AC， E 为 AC 上一点，直线 ED 与 AB 延长线交于点 F，若CDEDAC，AC12 （1）求O 半径； （2）求证：DE 为O 的切线； 【分析】 （1）证明
28、ADBC，可得 ABAC12，则半径可求出； （2）连接 OD，由平行线的性质，易得 ODDE，则结论得证 【解答】解： （1）AB 为O 的直径， ADB90， ADBC， 又BDCD， ABAC12， O 半径为 6； （2）证明：连接 OD， CDEDAC， CDE+CDAC+C， AEDADB， 由（1）知ADB90， AED90， DCBD，OAOB ODAC ODFAED90， 半径 ODEF DE 为O 的切线 7 （2020宿州模拟）如图，点 O 是ABC 的边 AB 上一点，O 与边 AC 相切于点 E，与边 BC、AB 分别 相交于点 D、F，且 DEEF （1）求证：C9
29、0； （2）当 BC3，sinA= 3 5时，求 AF 的长 【分析】 （1）连接 OE，BE，因为 DEEF，所以 = ，从而易证OEBDBE，所以 OEBC， 从可证明 BCAC； （2）设O 的半径为 r，则 AO5r，在 RtAOE 中，sinA= = 5 = 3 5，从而可求出 r 的值 【解答】解： （1）连接 OE，BE， DEEF， = ， OBEDBE， OEOB， OEBOBE， OEBDBE， OEBC， O 与边 AC 相切于点 E， OEAC， BCAC， C90； （2）在ABC，C90，BC3，sinA= 3 5， AB5， 设O 的半径为 r，则 AO5r， 在
30、 RtAOE 中，sinA= = 5 = 3 5， r= 15 8 ， AF52 15 8 = 5 4 8 （2020海门市一模）如图，ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D，交 AC 于点 E，过 点 D 作 DFAC 于点 F，交 AB 的延长线于点 G （1）若 AB10，BC12，求DFC 的面积； （2）若 tanC2，AE6，求 BG 的长 【分析】 （1）连接 AD，由 AB 是O 的直径，得到 ADBC，根据等腰三角形的性质得到 DFAC，根 据射影定理得到 CD2CFAC，根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）连接 BE，由 AB 是O 的直径，得
31、到 BEAC，根据已知条件得到 BE2DF，设 CFEFx，则 DF2x，得到 BE4x，ABAC6+2x，根据勾股定理列方程得到 AB10，BE8，根据相似三角形的 性质即可得到结论 【解答】解： （1）连接 AD， AB 是O 的直径， ADBC， ABAC10， DFAC， BDCD6， DFAC， 由射影定理得，CD2CFAC， 6210CF， CF3.6， DF= 2 2=4.8， DFC 的面积= 1 2CFDF= 1 2 3.64.88.64； （2）连接 BE， AB 是O 的直径， BEAC， DFAC，tanC2， BEDF，DF2CF， BDCD， CFEF， BE2DF
32、， 设 CFEFx，则 DF2x， BE4x，ABAC6+2x， AB2AE2+BE2， （6+2x）262+（4x）2， x2，x0（舍去） ， AB10，BE8， BEFG， ABEAGF， = ， 10 10: = 6 8， BG= 10 3 【题组三】【题组三】 9 （2020朝阳区校级二模）如图，在ABC 中，C90，点 D 是 AB 边上一点，以 BD 为直径的O 与边 AC 相切于点 E，与边 BC 交于点 F，过点 E 作 EHAB 于点 H，连接 BE （1）求证 EHEC； （2）若 AB4，sinA= 2 3，求 AD 的长 【分析】 （1）根据切线的性质可得 ACOE，
33、即可得 OEBC，可证CBEEBO，根据角平分线的性 质可得 CEEH； （2）设 OE2a，AO3a， （a0） ，根据 AB4，可求 a 的值，根据 ADABDH44a，可求 AD 的值 【解答】解： （1）如图，连接 OE， AC 与O 相切， OEAC，且 BCAC， OEBC CBEOEB， EOOB， EBOOEB CBEEBO，且 CEBC，EHAB， CEEH （2）sinA= 2 3 = ， 设 OE2a，AO3a， （a0） OB2a， ABAO+OB3a+2a4 a= 4 5 ADABBD44a AD= 4 5 10 （2020西城区校级模拟）如图，AB 为O 的直径，C
34、、D 为O 上不同于 A、B 的两点，ABD2 BAC，连接 CD，过点 C 作 CEDB，垂足为 E，直径 AB 与 CE 的延长线相交于 F 点 （1）求证：CF 是O 的切线； （2）当 BD= 18 5 ，sinF= 3 5时，求 OF 的长 【分析】 （1）连接 OC先根据等边对等角及三角形外角的性质得出321，由已知421，得 到43，则 OCDB，再由 CEDB，得到 OCCF，根据切线的判定即可证明 CF 为O 的切线； （2）连接 AD由圆周角定理得出D90，证出BADF，得出 sinBADsinF= = 3 5，求 出 AB= 5 3BD6，得出 OBOC3，再由 sinF
35、= = 3 5即可求出 OF 【解答】解： （1）连接 OC如图 1 所示： OAOC， 12 又31+2， 321 又421， 43， OCDB CEDB， OCCF 又OC 为O 的半径， CF 为O 的切线； （2）连接 AD如图 2 所示： AB 是直径， D90， CFAD， BADF， sinBADsinF= = 3 5， AB= 5 3BD6， OBOC3， OCCF， OCF90， sinF= = 3 5， 解得：OF5 11 （2020海门市校级模拟）如图 1，O 是ABC 的外接圆，连接 AO，若BAC+OAB90 （1）求证： = （2）如图 2，作 CDAB 交于 D，
36、AO 的延长线交 CD 于 E，若 AO3，AE4，求线段 AC 的长 【分析】 （1）连 BO 并延长 BO 交 AC 于 T只要证明 BTAC，利用垂径定理即可解决问题； （2）延长 AO 并交O 于 F，连接 CF在 RtAFC 中，求出 CF，AF 即可解决问题； 【解答】 （1）证明：连 BO 并延长 BO 交 AC 于 T AOBO， OABOBA， 又BAC+OAB90， BAC+OBA90， BTA90， BTAC， = （2）延长 AO 并交O 于 F，连接 CF CDAB 于 D， CDA90， OAB+AED90， OAB+BAC90， AEDBACFEC， AF 为O
37、直径， ACF90， 同理：FCEBAC， FECFCE， FEFC， AO3，AE4， OE1，FEFC2， 在 RtFCA 中 AC= 62 22=42 12 （2020镇江模拟）如图，O 的直径 AB26，P 是 AB 上（不与点 A、B 重合）的任一点，点 C、D 为 O 上的两点，若APDBPC，则称CPD 为直径 AB 的“回旋角” （1）若BPCDPC60，则CPD 是直径 AB 的“回旋角”吗？并说明理由； （2）若 的长为13 4 ，求“回旋角”CPD 的度数； （3）若直径 AB 的“回旋角”为 120，且PCD 的周长为 24+133，直接写出 AP 的长 【分析】 （1
38、）利用平角求出APD60，即可得出结论； （2）先求出COD45，进而判断出点 D，P，E 在同一条直线上，求出CED，即可得出结论； （3）当点 P 在半径 OA 上时，利用（2）的方法求出CFD60，COD120，利用三角函数 求出 CD，进而求出 DF，再用勾股定理求出 OH，即可求出 OP 即可得出结论； 当点 P 在半径 OB 上时，同方法求出 BP3，即可得出结论 【解答】解：CPD 是直径 AB 的“回旋角” ， 理由：CPDBPC60， APD180CPDBPC180606060， BPCAPD， CPD 是直径 AB 的“回旋角” ； （2）如图 1，AB26， OCODOA
39、13， 设CODn， 的长为13 4 ， 13 180 = 13 4 ， n45， COD45， 作 CEAB 交O 于 E，连接 PE， BPCOPE， CPD 为直径 AB 的“回旋角” ， APDBPC， OPEAPD， APD+CPD+BPC180， OPE+CPD+BPC180， 点 D，P，E 三点共线， CED= 1 2COD22.5， OPE9022.567.5， APDBPC67.5， CPD45， 即： “回旋角”CPD 的度数为 45， （3）当点 P 在半径 OA 上时，如图 2，过点 C 作 CFAB 交O 于 F，连接 PF， PFPC， 同（2）的方法得，点 D，
40、P，F 在同一条直线上， 直径 AB 的“回旋角”为 120， APDBPC30， CPF60， PCF 是等边三角形， CFD60， 连接 OC，OD， COD120， 过点 O 作 OGCD 于 G， CD2DG，DOG= 1 2COD60， DGODsinDOG13sin60= 133 2 ， CD133， PCD 的周长为 24+133， PD+PC24， PCPF， PD+PFDF24， 过 O 作 OHDF 于 H， DH= 1 2DF12， 在 RtOHD 中，OH= 2 2=5， 在 RtOHP 中，OPH30， OP10， APOAOP3； 当点 P 在半径 OB 上时， 同
41、的方法得，BP3， APABBP23， 即：满足条件的 AP 的长为 3 或 23 【题组四】【题组四】 13 （2020海门市校级模拟）如图，在ABC 中，ACB90，O 是边 AC 上一点，以 O 为圆心，以 OA 为半径的圆分别交 AB、AC 于点 E、D，在 BC 的延长线上取点 F，使得 BFEF （1）判断直线 EF 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若A30，求证：DG= 1 2DA； （3）若A30，且图中阴影部分的面积等于 23 2 3，求O 的半径的长 【分析】 （1） 连接 OE， 根据等腰三角形的性质得到AAEO， BBEF， 于是得到OEG90， 即可得到结论； （2）根据含 30的直角三角形的性质证明即可； （3）由 AD 是O 的直径，得到AED90，根据三角形的内角和得到EOD60，求得EGO
