1、北师版七下数学第一章整式的乘除乘法公式应用大全活用乘法公式 乘法公式在解题中的应用非常广泛，运用乘法公式解题不仅要熟悉公式的结构特征，而且能灵活使用它们，才能获得简捷合理的解法现介绍几种方法，供同学们参考一、对号a、b，正确运用例1 计算(-2+3x)(-2-3x)分析：两个因式中的-2完全相同，而3x与-3x互为相反数，因而可运用平方差公式计算，-2是公式中的a，3x是公式中的b解：原式=(-2)2-(3x)2=4-9x2二、适当变形，灵活运用例2 计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)分析：两个因式中2x和5完全相同，而y和z的符号分别相反，故可适当分组，再用平方差公式计算解：原式=
2、(2x+5)+(y-z)(2x+5)-(y-z) = (2x+5)2-(y-z)2 = 4x2+20x+25-y2+2yz-z2三、分析情况，合理选用例3 计算(2a+1)(2a-1)(4a2-2a+1)(4a2+2a+1)分析：前两个因式与后两个因式可分别运用平方差公式计算它们的积，但若先利用乘法交换律与结合律巧妙结合，就可以用立方和、立方差公式简算解：原式=(2a+1)(4a2-2a+1)(2a-1)(4a2+2a+1) = (8a3+1)(8a3-1)=64a6-1四、创造条件，巧妙应用例4 计算(5a+3b-2c)(5a-3b+6c)分析：从表面上看本题不能使用乘法公式但注意到两个因式
3、中有一项完全相同，另一项互为相反数，又因-2c=2c-4c,6c=2c+4c，故可先拆项，后仿例2计算解：原式=(5a+3b+2c-4c)(5a-3b+2c+4c)=(5a+2c)+(3b-4c)(5a+2c)-(3b-4c)=(5a+2c)2-(3b-4c)2=25a2+20ac+4c2-9b2+24bc-16c2=25a2-9b2-12c2+20ac+24bc五、避繁就简，逆向运用例5 计算(x+y)2-2(x+y)(x-y)+(x-y)2分析：若先平方展开后再计算，比较复杂，但把(x+y)看作a，(x-y)看作b，可逆用完全平方公式，迅速得出结果解：原式=(x+y)-(x-y)2=4y2
4、六、明确联系，综合运用乘法公式的主要变式有：a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab；(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)；(a+b)2-(a-b)2=4ab；a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)熟悉这些变形公式，明确它们间联系，综合运用，常可简化解题过程例6 已知：a+b=5，ab=2，求：(a-b)2的值解：由完全平方公式得(a+b)2-(a-b)2=4ab，则(a-b)2=(a+b)2-4aba+b=5，ab=2(a-b)2=52-42=17逆用乘法公式解题 1 平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b22 完全平方公式(ab)2=a22ab+b23 立方和（
5、差）公式它们是整式运算的重点，又是整个代数计算的基础，所以，同学们不仅要会正向运用，还要熟练地逆向运用1逆用平方差公式解 原式故选(D)解 对分母逆用平方差公式，得分母=(100319912-1)+(199319932-1)=1993199219931990+1993199419931992=19931992(19931992-2)+(19931992+2)=2199319922例3 计算19902-19892+19882-19872+22-1解 原式=(19902-19892)+(19882-19872)+(22-1)=(1990+1989)+(1988+1987)+(2+1)=1990+1
6、989+1988+1987+2+1=19810452逆用完全平方公式例4 计算1.23452+0.76552+2.4690.7655解 原式=1.23452+21.23450.7655+0.76552=(1.2345+0.7655)2=22=4 例5 已知a=123456789，b=123456785，c=123456783，则a2+b2+c2-ab-bc-ca的值是_ 解 逆用完全平方公式得3逆用立方和（差）公式例6 已知a+b=2，那么a3+6ab+b3=_ 解 原式=a3+b3+6ab =(a+b)(a2-ab+b2)+6ab =2(a2-ab+b2)+6ab =2a2+4ab+b2=2
7、(a+b)2=222=8解 设a=11111，则4逆用多个公式例8 若a=19952+1995219962+19962求证：a是一个完全平方数证明 a=19952+1995219962+19962=1995219962+19952-1+19962+1=1995219962+19961994+19962+1=1995219962+1996(1994+1996)+1=(19951996)2+219951996+1=(19951996+1)2a是一个完全平方数例9 已知724-1可被40至50之间的两个整数整除，这两个数是 A41,48 B45,47C43,48 D41,47解 724-1=(712
8、+1)(76+1)(73+1)(73-1)=(712+1)(76+1)(7+1)(72-7+1)(7-1)(72+7+1)=(712+1)(76+1)843657=(712+1)(76+1)434857故应选(C)活用乘法公式的“八先” 运用乘法公式可使乘法运算简捷，但有些多项式相乘不能直接运用公式计算，这时若能先适当变形，使之便于运用公式，则往往可化难为易、避繁就简一、先结合后用公式例1 计算(a-b+c-d)(a+b-c-d)分析：两因式中的a，-d分别相同，而b，c分别相反，因而可把第一、四项结合为一组，第二、三项结合为另一组，再用平方差公式计算解： 原式=(a-d)-(b-c)(a-d
9、)+(b-c)=(a-d)2 -(b-c)2 =a2 -2ad+d2 -b2 +2bc-c2 二、先活用运算律后用公式分析：本题虽可利用平方差公式计算，但若能利用乘法交换律与结合律适当变形，改用立方和与立方差公式计算较简便三、先逆用法则后用公式例3 计算(x-y)2 (x+y)2 (x2 +y2 )2 分析：若顺向先平方展开再相乘将不胜其繁，倒不如逆用积的乘方法则(abc)2 =a2 b2 c2 ，再利用平方差公式计算较简捷解： 原式=(x-y)(x+y)(x2 +y2 )2 =(x2 -y2 )(x2 +y2 )2 =(x4 -y4 )2 =x8-2x4 x4 +y8四、先拆项后用公式例4
10、计算(2x+5y-3)(-2x+5y+5)分析：初看两个因式不符合平方差公式的结构特征，难以运用公式求解，但若把“-3”拆为“-4+1”，把“5”拆为“4+1”，则运用公式的前景依稀可见解：原式=(2x+5y-4+1)(-2x+5y+4+1)=(5y+1)+(2x-4)(5y+1)-(2x-4)=(5y+1)2 -(2x-4)2 =25y2 +10y-4x2 +16x-15五、先增添因式后用公式例5 计算(22 +2+1)(26+23 +1)(218+29+1)分析：若直接相乘将繁杂冗长，注意到各因式具有立方差公式中第二个因式的结构特征，因而先增添因式(2-1)，再用公式简捷运算解：原式=(2
11、-1)(22 +2+1)(26+23 +1)(218+29+1)=(23 -1)(26+23 +1)(218+29+1)=(29-1)(218+29+1)=22 7-1六、先换元后用公式例6 计算(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)分析：注意到1+4=2+3这个特征，因而可先换元然后运用公式计算解：原式=(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)=(x2 +5x+4)(x2 +5x+6)设a=x2 +5x+5，则原式=(a-1)(a+1)=a2 -1=(x2 +5x+5)2 -1=x4 +10x3 +35x2 +50x+24说明：本解法用到了公式(a+b+c)2 =a2 +b2 +c2 +2
12、ab+2ac+2bc七、先变换所求式后用公式例7 a=1998x+1997，b=1998x+1998，c=1998x+1999，那么a2 +b2 +c2 -ab-bc-ca的值是_分析：注意到所求式的2培具有完全平方公式的特征，因而先变换所求式然后应用公式计算解：由已知，得a-b=-1，b-c=-1，c-a=2，则八、先添项后用公式例8 若(z-x)2 -4(x-y)(y-z)=0，则x+z-2y+1999=_分析：注意到已知式中4(x-y)(y-z)具有完全平方公式中2ab的形式，因而在(z-x)2 中添项“-y+y”，把它变形为(z-y)+(y-x)2 ，然后运用公式计算解：(z-x)2 -4(x-y)(y-z)=(z-y)+(y-z)2 -4(z-y)(y-x)=(z-y)2 -2(z-y)(y-x)+(y-x)2 =(z-y)-(y-x)2 =(x+z-2y)2 =0，x+z-2y=0x+z-2y+1999=0+1999=1999
