1、2.2函数的单调性与最值2014高考会这样考1.以选择或填空题的形式考查函数的单调性；2.考查求函数最值的几种常用方法；3.利用函数的单调性求参数的取值范围复习备考要这样做1.从数、形两种角度理解函数的单调性与最值；2.判断复合函数的单调性；3.含参函数的最值，对参数进行讨论1 函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是
2、下降的(2)单调区间的定义若函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数yf(x)的单调区间2 函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M.(3)对于任意xI，都有f(x)M；(4)存在x0I，使得f(x0)M.结论M为最大值M为最小值难点正本疑点清源1 函数的单调性是局部性质函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调2 函数的单调区间的求法函数的单调区间是函数定
3、义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间3 单调区间的表示单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“”联结，也不能用“或”联结1 (2012安徽)若函数f(x)|2xa|的单调递增区间是3，)，则a_.答案6解析f(x)|2xa|作出函数图象，由图象知：函数的单调递增区间为，3，a6.2 (2011江苏)函数f(x)
4、log5(2x1)的单调增区间是_答案3 (课本改编题)函数f(x)在1,2的最大值和最小值分别是_答案，1解析f(x)2在1,2上是增函数，f(x)maxf(2)，f(x)minf(1)1.4 已知函数yf(x)在R上是减函数，A(0，2)、B(3,2)在其图象上，则不等式2f(x) BaCa0 Da0答案D解析当a0时，f(x)2x3，在定义域R上是单调递增的，故在(，4)上单调递增；当a0时，二次函数f(x)的对称轴为x，因为f(x)在(，4)上单调递增，所以aa.综合上述a0.题型一函数单调性的判断例1试讨论函数f(x) (a0)在(1,1)上的单调性思维启迪：可利用定义或导数法讨论函
5、数的单调性解设1x1x20时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上递减；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)0，函数f(x)x (x0)，证明函数f(x)在(0，上是减函数，在，)上是增函数；(2)求函数y的单调区间解(1)设x1，x2是任意两个正数，且0x1x2，则f(x1)f(x2)(x1x2a)当0x1x2时，0x1x2a，又x1x20，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在(0，上是减函数；当x1a，又x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在，)上是增函数(2)令ux2x6，y可以看作有y与u
6、x2x6的复合函数由ux2x60，得x3或x2.ux2x6在(，3上是减函数，在2，)上是增函数，而y在(0，)上是增函数y的单调减区间为(，3，单调增区间为2，)题型二利用函数单调性求参数例2若函数f(x)在(，1)上是减函数，求实数a的取值范围思维启迪：利用函数的单调性求参数的取值范围，解题思路为视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参解f(x)a，设x1x20，由于x1x21，所以x1x20，x110，x210，所以a10，即a1.故a的取值范围是(，1)探究提高已知函数的单调性确定参数的值或范围，可以通过解不等式或转化为不等式恒成立问题求解
7、；需注意的是，若函数在区间a，b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的 (1)若函数f(x)(2a1)xb是R上的减函数，则a的取值范围为_(2)函数y在(1，)上单调递增，则a的取值范围是 ()Aa3 Ba3Ca3 Da3答案(1)(2)C解析(1)因为函数f(x)(2a1)xb是R上的减函数，所以2a10，解得a0时，f(x)x2，则x1x20，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)又当x0时，f(x)0，f(x1x2)0，即f(x1)x2，则f(x1)f(x2)f(x1x2x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2)又当x0时，f(x)0，
8、f(x1x2)0，即f(x1)1时，f(x)0，代入得f(1)f(x1)f(x1)0，故f(1)0.(2)任取x1，x2(0，)，且x1x2，则1，由于当x1时，f(x)0，所以f0，即f(x1)f(x2)0，因此f(x1)0，得x3，即函数的定义域为(，0)(3，)2分函数t的对称轴为直线x，故t在(，0)上单调递减，在(3，)上单调递增6分而函数ylogt为单调递减函数，由复合函数的单调性可知，函数ylog(x23x)的单调递增区间是(，0)，单调递减区间是(3，)10分温馨提醒函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域如果是复合函数，应该根据复合函
9、数单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，根据同增异减的法则求解函数的单调区间由于思维定势的原因，容易忽视定义域，导致错误2.函数的单调性与最值典例：(14分)(2012太原模拟)函数f(x)对任意的m、nR，都有f(mn)f(m)f(n)1，并且x0时，恒有f(x)1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)2.审题视角(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义应该构造出f(x2)f(x1)并与0比较大小(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本小题的切入点要构造出f(M)f(N)的形式规范解答(1)证明设x10，当x0时，
10、f(x)1，f(x2x1)1.2分f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)1，4分f(x2)f(x1)f(x2x1)10f(x1)f(x2)，f(x)在R上为增函数7分(2)解m，nR，不妨设mn1，f(11)f(1)f(1)1f(2)2f(1)1，9分f(3)4f(21)4f(2)f(1)143f(1)24，f(1)2，f(a2a5)2f(1)，12分f(x)在R上为增函数，a2a513a2，即a(3,2)14分解函数不等式的问题一般步骤：第一步：确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：将函数不等式转化为f(M)0时，f(x)1.构造不出f(x2)f(x1)f(x2x1)1
11、的形式，找不到问题的突破口第二个关键应该是将不等式化为f(M)f(N)的形式解决此类问题的易错点：忽视M、N的取值范围，即忽视f(x)所在的单调区间的约束.方法与技巧1 可以根据定义判断或证明函数的单调性2 求函数的单调区间首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间常用方法：根据定义，利用图象和单调函数的性质；利用导数的性质3 复合函数的单调性对于复合函数yfg(x)，若tg(x)在区间(a，b)上是单调函数，且yf(t)在区间(g(a)，g(b)或者(g(b)，g(a)上是单调函数，若tg(x)与yf(t)的单调性相同(同时为
12、增或减)，则yfg(x)为增函数；若tg(x)与yf(t)的单调性相反，则yfg(x)为减函数简称：同增异减失误与防范1 函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减单调区间要分开写，即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示2 两函数f(x)、g(x)在x(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)g(x)也为增(减)函数，但f(x)g(x)，等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比.(时间：60分钟)A组专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分)1 下列函数中，在(，0)上为增函数的是 ()Ay1x2 Byx22xCy Dy答案A解析y1x2的对称轴为x0，且开口向下，
13、(，0)为其单调递增区间2 (2012徐州模拟)已知函数f(x)2ax24(a3)x5在区间(，3)上是减函数，则a的取值范围是 ()A. B.C. D.答案D解析当a0时，f(x)12x5，在(，3)上是减函数；当a0时，由，得0a.综上，a的取值范围是0a.3 已知f(x)是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为 ()A(1，) B4,8)C(4,8) D(1,8)答案B解析因为f(x)是R上的单调递增函数，所以可得解得4a1，函数f(x)的单调递减区间为.7 若函数f(x)a|xb|2在0，)上为增函数，则实数a、b的取值范围是_答案a0且b0解析要使f(x)在0，)上为增函数，则a0
14、且xb0恒成立，即bx，b0.三、解答题(共25分)8 (12分)已知函数f(x) (a0，x0)，(1)求证：f(x)在(0，)上是单调递增函数；(2)若f(x)在上的值域是，求a的值(1)证明设x2x10，则x2x10，x1x20，f(x2)f(x1)0，f(x2)f(x1)，f(x)在(0，)上是单调递增函数(2)解f(x)在上的值域是，又f(x)在上单调递增，f，f(2)2.易得a.9 (13分)已知函数f(x)x2(x0，aR)(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)若f(x)在区间2，)上是增函数，求实数a的取值范围解(1)当a0时，f(x)x2(x0)为偶函数；当a0时，f(x)f
15、(x)，f(x)f(x)，f(x)既不是奇函数也不是偶函数(2)设x2x12，则f(x1)f(x2)xxx1x2(x1x2)a，由x2x12，得x1x2(x1x2)16，x1x20.要使f(x)在区间2，)上是增函数，只需f(x1)f(x2)0恒成立，则a16.B组专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1 已知函数f(x)x22axa，在区间(，1)上有最小值，则函数g(x)在区间(1，)上一定 ()A有最小值 B有最大值C是减函数 D是增函数答案D解析由题意知a1，g(x)x2a，当a0时，g(x)在，)上是增函数，故在(1，)上为增函数，g(x)在(1，)上一定是增函数2 已知定义
16、在R上的增函数f(x)，满足f(x)f(x)0，x1，x2，x3R，且x1x20，x2x30，x3x10，则f(x1)f(x2)f(x3)的值 ()A一定大于0 B一定小于0C等于0 D正负都有可能答案A解析f(x)f(x)0，f(x)f(x)又x1x20，x2x30，x3x10，x1x2，x2x3，x3x1.又f(x1)f(x2)f(x2)，f(x2)f(x3)f(x3)，f(x3)f(x1)f(x1)，f(x1)f(x2)f(x3)f(x2)f(x3)f(x1)f(x1)f(x2)f(x3)0.3 已知函数f(x)若f(2a2)f(a)，则实数a的取值范围是 ()A(，1)(2，) B(1
17、,2)C(2,1) D(，2)(1，)答案C解析由题意知f(x)在R上是增函数，由题意得2a2a，解得2a1.二、填空题(每小题4分，共12分)4 设函数f(x)在区间(2，)上是增函数，那么a的取值范围是_答案1，)解析f(x)a，其对称中心为(2a，a)a1.5 已知f(x)为R上的减函数，则满足ff(1)的实数x的取值范围是_答案(1,0)(0,1)解析由f1，1或1，0x1或1x0；(x1x2)f(x1)f(x2)0；0成立(1)判断f(x)在1,1上的单调性，并证明它；(2)解不等式：f(x)f()；(3)若f(x)m22am1对所有的a1,1恒成立，求实数m的取值范围解(1)任取x1，x21,1，且x10，x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)f(x)在1,1上单调递增(2)f(x)在1,1上单调递增，x1.(3)f(1)1，f(x)在1,1上单调递增在1,1上，f(x)1.问题转化为m22am11，即m22am0，对a1,1恒成立设g(a)2mam20.若m0，则g(a)00，对a1,1恒成立若m0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)0，对a1，1恒成立，必须有g(1)0且g(1)0，m2或m2.m的取值范围是m0或m2或m2.
