1、 今 天 多 几 分 钟 的 努 力 ， 明 天 多 几 小 时 的 快 乐 ！ 何 乐 而 不 为 ！教 师 辅 导 讲 义学员姓名： 辅导课目：数学 年级：九年级 学科教师：汪老师授课日期及时段课 题初中数学总复习几何三大变化旋转学习目标教学内容初中数学总复习几何三大变化旋转轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。旋转变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体绕一固定点旋转一个定角，这样的图形变换叫做图形的旋转变换，简称旋转。旋转由旋转中心、旋转的方向和角度决定。经过旋转，旋转前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变；旋转前、后图形的对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心在对应
2、点所连线段的垂直平分线上； 旋转前、后的图形对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。把一个图形绕着某一定点旋转一个角度360/n(n为大于1的正整数)后，与初始的图形重合，这种图形就叫做旋转对称图形，这个定点就叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角。 特别地，中心对称也是旋转对称的一种的特别形式。把一个图形绕着某一点旋转180，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形。在初中数学以及日常生活中有着大量的旋转变换的知识，是中考数学的必
3、考内容。结合2011和2012年全国各地中考的实例，我们从下面九方面探讨旋转变换：（1）中心对称和中心对称图形；（2）构造旋转图形；（3）有关点的旋转；（4）有关直线（线段）的旋转；（5）有关等腰（边）三角形的旋转；（6）有关直角三角形的旋转；（7）有关平行四边形、矩形、菱形的旋转；（8）有关正方形的旋转；（9）有关其它图形的旋转。【一、中心对称和中心对称图形：】例1、（2012福建宁德4分）下列两个电子数字成中心对称的是【 】 例2、（2012湖北随州4分）下列图形： 等腰梯形， 菱形， 函数的图象， 函数y=kx+b(k0) 的图象，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有【 】 A B.
4、C. D. 1、（2012黑龙江大庆3分）下列哪个函数的图象不是中心对称图形【 】A. B. C D.2、（2011云南曲靖3分）小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称。如果小明家距学校2公里，那么他们两 家相距 公里；【二、构造旋转图形：】例1、（2012浙江丽水、金华3分）在方格纸中，选择标有序号中的一个小正方形 涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形该小正方形的序号是【 】 A B C D例2、（2012福建福州7分）如图，方格纸中的每个小方格是边长为1个单位长度的正方形 画出将RtABC向右平移5个单位长度后的RtA1B1C1； 再将RtA1B1C1绕点C1顺时针旋转90，画出旋转后的R
5、tA2B2C1，并求出旋转过程中线段A1C1所扫过的面积(结果保留) 例3、（2012四川南充3分）如图，四边形ABCD中，BAD=BCD=900,AB=AD,若四边形ABCD的面积是24cm2 则AC长是 cm. 1、（2011山东烟台4分）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴 影部分的面积是 .2、（吉林省6分）如图所示，在76的正方形网格中，选取14个格点，以其中三个格点为顶点一画出ABC, 请你以选取的格点为顶点再画出一个三角形，且分别满足下列条件：（1）图中所画的三角形与ABC组成的图形是轴对称图形。（2）图中所画的三角形与ABC组成的图形是
6、中心对称图形。（3）图中所画的三角形与ABC的面积相等，但不全等。 图 图 图 【三、有关点的旋转：】 例1、（2012黑龙江牡丹江3分）如图，A(，1)，B(1，)将AOB绕点O旋转l500得到AOB， 则此时点A的对应点A的坐标为【 】 A(，l) B(2，0) C(l，)或（2，0) D(，1)或(2，0)例2、（2012黑龙江大庆9分）在直角坐标系中，C(2，3)，C(4，3)， C(2,1)，D(4，1)，A(0，) B(，O)( 0).（1）结合坐标系用坐标填空：点C与C关于点 对称; 点C与C关于点 对称; 点C与D关于点 对称 （2）设点C关于点(4，2)的对称点是点P，若PA
7、B的面积等于5，求值 1、（2011四川眉山11分）如图，在直角坐标系中，已知点A（0，1），B（4，4），将点B绕点A顺时针方向 旋转90得到点C；顶点在坐标原点的拋物线经过点B （1）求抛物线的解析式和点C的坐标； （2）抛物线上一动点P，设点P到x轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，试说明d2 =d11； （3）在（2）的条件下，请探究当点P位于何处时，PAC的周长有最小值，并求出PAC的周长的最小值 【四、有关直线（线段）的旋转：】例1、（2012黑龙江大庆3分）平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(，1)，将OA绕原点按逆 时针方向旋转30得OB，则点B的坐标为【 】 A
8、. (1，) B. ( 1，) C. (0，2) D. (2，0)例2、（2012江苏镇江6分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，2），直线OP经过原点，且位于一、 三象限，AOP=450（如图1）。设点A关于直线OP的对称点为B。 （1）写出点B的坐标 ； （2）过原点O的直线l从直线OP的位置开始，绕原点O顺时针旋转。 当直线l顺时针旋转100到直线l1的位置时（如图1），点A关于直线l1的对称点为C，则BOC 的度数是 ，线段OC的长为 ； 当直线l顺时针旋转550到直线l2的位置时（如图2），点A关于直线l2的对称点为D，则BOD 的度数是 ； 直线l顺时针旋转n0（0n90
9、0），在这个运动过程中，点A关于直线l的对称点所经过的路径 长为 （用含n的代数式表示）。1、(2011四川德阳3分) 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(，0)，B(0，)，如果将线段AB绕点B顺 时针旋转90至CB，那么点C的坐标是【 】 A B C D2、（2012辽宁营口14分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点A，0)、B(0，3)、 C（1，0）三点 求：（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；（2）如图1，将抛物线的对称轴绕抛物线的顶点D顺时针旋转,与直线交于点N在直线DN上 是否存在点M，使得MON=若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P、Q分别是抛物线和直线
10、上的点，当四边形OBPQ是直角梯形时， 求出点Q的坐标 3、（2011广东台山12分）如图，点A在轴上，点B在轴上，且OA=OB=1，经过原点O的直线L交线段 AB于点C，过C作OC的垂线，与直线=1相交于点P，现将直线L绕O点旋转，使交点C从A向B运动 但C点必须在第一象限内，并记AC的长为，分析此图后，对下列问题作出探究：（1）当AOC和BCP全等时，求出t的值。（2）通过动手测量线段OC和CP的长来判断它们之间的大小关系？并证明你得到的结论。（3） 设点P的坐标为（1, ）,试写出b关于的函数关系式和变量的取值范围。 求出当PBC为等腰三角形时点P的坐标。 【五、有关等腰（边）三角形的旋
11、转：】例1、（2012广东广州3分）如图1，在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，ABD绕点 A旋转后得到ACE，则CE的长度为 图1 图2 图3例2、（2012山东青岛3分）如图2，在ABC中，ACB90，ABC30，AC1现在将ABC绕点C逆时 针旋转至ABC，使得点A恰好落在AB上，连接BB，则BB的长度为 例3、（2012吉林省3分）如图3，在等边ABC中，D是边AC上一点，连接BD将BCD绕点B逆时针旋转 60得到BAE，连接ED若BC=10，BD=9，则AED的周长是 .1、（2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田10分）ABC中，AB=AC，D为BC的中
12、点以D为顶点作MDN=B（1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E不添加辅助线，写出图中所有与ADE相似的三角形（2）如图（2），将MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重 合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当DEF的面积等于ABC的面积的时，求线段EF的长 2、（2012湖北十堰3分）如图，O是正ABC内一点，OA =3，OB =4， OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60得到线段BO， 下列结论： BOA可以由BOC绕点B逆时针旋转60得到；
13、 点O与O的距离为4； AOB=150； ； 其中正确的结论是【 】 A B C D 3、（浙江义乌10分）如图1，在等边ABC中，点D是边AC的中点，点P是线段DC上的动点(点P与点C不 重合)，连结BP. 将ABP绕点P按顺时针方向旋转角（0180），得到A1B1P,连结AA1，射线 AA1分别交射线PB、射线B1B于点E、F. （1）如图1，当060时，在角变化过程中，BEF与AEP始终存在 关系 （填“相似”或“全等”），并说明理由； （2）如图2，设ABP= . 当60180时，在角变化过程中，是否存在BEF与AEP全等？ 若存在，求出与之间的数量关系；若不存在，请说明理由； （3）
14、如图3，当=60时，点E、F与点B重合. 已知AB=4，设DP=，A1BB1的面积为S， 求S关于的函数关系式. 【六、有关直角三角形的旋转：】例1、（2012广东佛山3分）如图，把一个斜边长为2且含有300角的直角三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转 900到A1B1C，则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是【 】 A B C D 例2、（2012四川绵阳3分）如图，P是等腰直角ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90到BP，已知 APB =135，PA：PC =1：3，则PA：PB =【 】 A1： B1：2 C：2 D1：例3、（2012四川成都10分） 如图，ABC和DEF是两个全等
15、的等腰直角三角形，BAC =EDF =90， DEF的顶点E与ABC的斜边BC的中点重合将DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB 相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q （1）如图，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：BPE CQE； （2）如图，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：BPECEQ；并求当BP=a，CQ=时， P、Q两点间的距离 (用含a的代数式表示) 1、（2011湖南株洲10分）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线 的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两 点，请解答以下问题： （
16、1）若测得OA=OB=（如图1），求的值； （2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点旋转到如图2所示位置时，过B作轴于点F，测得OF =1 写出此时点B的坐标，并求点的横坐标； （3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的 点，试说明理由并求出该点的坐标 【七、有关平行四边形、矩形、菱形的旋转：】例1、（2012福建泉州4分）如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，将AD绕点A顺时针旋转，当点D落在BC上 点D时，则AD= ，A DB= . 例2、（2012山东泰安3分）如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，B =120，O
17、A =2， 将菱形OABC绕原点顺时针旋转105至OABC的位置，则点B的坐标为【 】 A（，）B（，） C（，）D（，） 例9、（2012黑龙江哈尔滨3分）如图，平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30 得到平行四边形ABCD（点B与点B是对应点，点C与点C是对应 点，点D与点D是对应点），点B恰好落在BC边上则C = 度1、（2012湖南怀化10分）如图1，四边形ABCD是边长为的正方形，长方形AEFG的宽长 将长方形AEFG绕点A顺时针旋转15得到长方形AMNH (如图2)，这时BD与MN相交于点O （1）求的度数； （2）在图2中，求D、N两点间的距离； （3）若把长方形AMNH绕点A再
18、顺时针旋转15得到长方形ARTZ,请问此时点B在矩形ARTZ的内部、外部、 还是边上？并说明理由 图1 图2【八、有关正方形的旋转：】例1、（2012湖南岳阳3分）如图，两个边长相等的正方形ABCD和EFGH，正方形EFGH的顶点E固定在正 方形ABCD的对称中心位置，正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转，设它们重叠部分的面积为S，旋转 的角度为，S与的函数关系的大致图象是【 】 A BC D例2、（2012青海西宁3分）如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点 BECF，连接AE、BF将ABE绕正方形的对角线的交点O按顺时针方向 旋转到BCF，则旋转角是【 】 A45 B120 C
19、60 D90例3、（2012湖南益阳12分）已知：如图1，在面积为3的正方形ABCD中， E、F分别是BC和CD边上的两点，AEBF于点G，且BE=1 （1）求证：ABEBCF； （2）求出ABE和BCF重叠部分（即BEG）的面积； （3）现将ABE绕点A逆时针方向旋转到ABE（如图2），使点E落在CD边上的点E处，问ABE在 旋转前后与BCF重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由 例4、（2012四川乐山12分）如图1，ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、 AC边上，此时BD=CF，BDCF成立（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转（090）时，如图2，BD=
20、CF成立吗？若成立，请证明； 若不成立，请说明理由 （2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45时，如图3，延长BD交CF于点G 求证：BDCF； 当AB=4，AD=时，求线段BG的长 1、（2012四川资阳8分）（1）(3分)如图（1），正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，直接写出 HDGCEB的结果（不必写计算过程）； （2）(3分)将图（1）中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度，如图（2），求HDGCEB； （3）(2分)把图（2）中的正方形都换成矩形，如图（3），且已知AABHAAEm: n，此时HDGCEB 的值与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的
21、结果（不必写计算过程） 【九、有关其它图形的旋转：】例1、（2012江苏苏州3分）如图，将AOB绕点O按逆时针方向旋转45后得到AOB，若AOB=15， 则AOB的度数是【 】 A. 25 B. 30 C. 35 D. 40 例2、（2012山东日照3分）如图，在44的正方形网格中，若将ABC绕着点A逆时针旋转得到ABC， 则的长为【 】 （A） （B） （C）7 （D）6例3、（2012广西柳州3分）如图，小红做了一个实验，将正六边形ABCDEF绕点F顺时针旋转后到达 ABCDEF 的位置，所转过的度数是【 】 A60 B72 C108 D120 1、（2012浙江义乌10分）在锐角ABC中
22、，AB=4，BC=5，ACB=45，将ABC绕点B按逆时针方向旋转， 得到A1BC1 （1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求CC1A1的度数； （2）如图2，连接AA1，CC1若ABA1的面积为4，求CBC1的面积； （3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中， 点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值 2、（2011河北省10分）如图1至图4中，两平行线AB、CD间的距离均为6，点M为AB上一定点 思考：如图1，圆心为0的半圆形纸片在AB，CD之间（包括AB，CD），其直径MN在AB上，MN=8， 点P为半圆上一点，设MOP=当 = 度时，点P到CD的距离最小，最小值为 探究一：在图1的基础上，以点M为旋转中心，在AB，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转 动为止，如图2，得到最大旋转角BMO= 度，此时点N到CD的距离是 探究二：将如图1中的扇形纸片NOP按下面对的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB，CD之间顺 时针旋转 （1）如图3，当=60时，求在旋转过程中，点P到CD的最小距离，并请指出旋转角BMO的最大值 （2）如图4，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定的取值范围 （参考数椐：sin49=，cos41=，tan37=）
