1、基本知识复习一、 不定积分1 不定积分概念，第一换元积分法（1） 原函数与不定积分概念 设函数与在区间内有定义，对任意的，有 或， 就称是在内的一个原函数。 如果是函数的一个原函数,称的原函数全体为的不定积分,记作（2） 不定积分得基本性质1 2。3。 （3）基本不定积分公式表一 （3） 第一换元积分法（凑微分法） 设具有原函数, 可导,则有换元公式2 第二换元积分法，分部积分法（1） 第二换元积分法 设是单调的、可导的函数,并且.又设具有原函数,则有换元公式其中是的反函数.（2） 分部积分法设函数及具有连续导数,那么,移项,得 对这个等式两边求不定积分,得这个公式称为分部积分公式.它也可以写
2、成以下形式:（3） 基本积分公式表二 （3）有理函数的积分，三角函数有理式的积分，某些简单无理式的积分一、 有理函数的积分两个多项式的商称为有理函数，又称为有理分式.我们总假定分子多项式与分母多项式之间是没有公因式的.当分子多项式的次数小于分母多项式的次数时,称这有理函数为真分式,否则称为假分式.利用多项式的除法,总可以将一个假分式化成一个多项式与一个真分式之和的形式,由于多项式的积分容易求,故我们将重点讨论真分式的积分方法.对于真分式,首先将在实数范围内进行因式分解,分解的结果不外乎两种类型:一种是,另外一种是,其中是正整数且;其次,根据因式分解的结果,将真分式拆成若干个分式之和.具体的做法
3、是:若分解后含有因式,则和式中对应地含有以下个分式之和:其中:为待定常数. 若分解后含有因式,则和式中对应地含有以下个分式之和:其中:为待定常数.以上这些常数可通过待定系数法来确定.上述步骤称为把真分式化为部分分式之和,所以,有理函数的积分最终归结为部分分式的积分.二、 可化为有理函数的积分举例例4 求解 由三角函数知道,与都可以用的有理式表示,即 如果作变换,那么 而从而 于是 例5 求解 设,于是从而所求积分为例6 求解 设,于是从而所求积分为例7 求解 设,于是从而所求积分为例8 求解 设,于是从而所求积分为二、 定积分（1） 定积分概念，微积分基本定理，定积分得基本性质（1） 定积分的
4、概念1。定积分的定义定义(定积分) 设函数在区间上有定义.用分点将区间任意分成个小区间,小区间的长度为记在每个小区间上任取一点,作乘积将这些乘积相加,得到和式这个和称为函数在区间上的积分和.令,若积分和有极限(这个值不依赖于的分法以及中间点的取法),则称此极限值为在上的定积分,记作其中和分别称为定积分的下限与上限，称为积分区间.函数的可积性定理1 若在上连续,则在上可积.定理2 若在上只有有限个间断点,并且有界,则在上可积.定积分的几何定义在上时,我们已经知道,定积分在几何上表示由曲线、两条直线与轴所围成的曲边梯形的面积;在上时, 由曲线、两条直线与轴所围成的曲边梯形位于轴的下方,定积分在几何
5、上表示上述曲边梯形面积的负值;在上既取得正值又取得负值时,函数的图形某些部分在轴的上方,而其它部分在轴下方.此时定积分表示轴上方图形面积减去轴下方图形面积所得之差(图4-2).定积分的基本性质为了以后计算及应用方便起见,对定积分做以下两点补充规定:(1) 当时,;(2) 当时,性质1 性质2 (线性性质) 推论1 推论2 性质3 性质4 若,则推论3 若,则推论4 若,则推论5 性质5(定积分中值定理)（图4-6） 若在上连续,则至少有一点,使得积分上限的函数及其导数定理1 如果函数在区间上连续,则积分上限的函数在上可导,并且它的导数定理2 如果函数在区间上连续,则函数就是在上的一个原函数.一
6、、 牛顿-莱布尼茨公式定理3 如果函数是连续函数在区间上的一个原函数,则通常也把牛顿-莱布尼茨公式叫做微积分基本公式.（2） 定积分的换元积分法与分部积分法在上连续,作变换,其中满足且当时,;(2)在上具有连续导数,则定积分的分部积分法：例28 证明:1. 若在上是连续的偶函数,则2. 若在上是连续的奇函数,则例29 若在上连续,证明:(1)(2)例31 设是连续的周期函数，周期为，证明:(1)(2)例9 证明: 证:令则当时,这样,我们得递推公式:当为正偶数时,当为正奇数时,又故在一些实际问题中,常会遇到积分区间为无穷区间,或者被积函数为无界函数的积分,它反常积分无穷限的反常积分定义1 设函
7、数在区间上连续,取,如果极限存在,则称此极限为函数在无穷区间上的反常积分,记作即这时也称反常积分收敛;如果上述极限不存在,则函数在无穷区间上的反常积分就没有意义,习惯上称为反常积分发散,这时记号不再表示数值了. 类似地, 设函数在区间上连续,取,如果极限存在,则称此极限为函数在无穷区间上的反常积分,记作即这时也称反常积分收敛;如果上述极限不存在,则称反常积分发散.设函数在区间上连续,如果反常积分和都收敛,则称上述两反常积分之和为函数在无穷区间上的反常积分,记作即这时也称反常积分收敛;否则就称反常积分发散.上述反常积分统称为无穷限的反常积分.由上述定义及牛顿-莱布尼茨公式,可得如下结果.设为在上
8、的一个原函数,若存在,则反常积分若不存在,则反常积分发散.如果记则当存在时,当不存在时, 反常积分发散.类似地,若在上,则当存在时,当不存在时, 反常积分发散.若在内,则当与都存在时,当与有一个不存在时, 反常积分发散.例2证明反常积分当时收敛,当时发散.证 当时,当时,因此,当时,这反常积分收敛,其值为;当时,这反常积分发散.一、 无界函数的反常积分现在我们把定积分推广到被积函数为无界函数的情形.如果函数在点的任一邻域内都无界,那么点称为函数的瑕点.无界函数的反常积分又称为瑕积分.定义2 设函数在上连续,点为的瑕点.取,如果极限存在,则称此极限为函数在上的反常积分,仍然记作即这时也称反常积分
9、收敛;如果上述极限不存在,则称反常积分发散.类似地, 设函数在上连续,点为的瑕点.取,如果极限存在,则定义否则,就称反常积分发散.设函数在上除点外连续,点为的瑕点.如果两个反常积分和都收敛,则定义否则就称反常积分发散.计算无界函数的反常积分,也可借助于牛顿-莱布尼茨公式.设为的瑕点,在上,如果极限存在,则反常积分如果不存在,则反常积分发散.我们仍用记号来表示,从而形式上仍有对于在上连续,为瑕点的反常积分,也有类似的计算公式,这里不再详述.例5 证明反常积分当时收敛,当时发散. 微分方程微分方程的基本概念一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程.未知函数是一元
10、函数的，叫做常微分方程；未知函数是多元函数的，叫做偏微分方程.微分方程有时也简称方程.微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶. 设函数在区间上有阶连续导数，如果在区间上，那么函数就叫做微分方程（10）在区间上的解.如果微分方程的解中含有相互独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解.设微分方程中的未知函数为，如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常数的条件是：时，或写成 ，其中都是给定的值；如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的条件是：时，.或写成 ，其中和都是给定的值.上述这种条件叫做初始条件.确定了通解中的任意常数以后，就
11、得到微分方程的特解.一阶微分方程的初值问题，记作 （12）微分方程的解的图形是一族曲线，叫做微分方程的积分曲线.初值问题（12）的几何意义，就是求微分方程的通过点的那条积分曲线.二阶微分方程的初值问题的几何意义，是求微分方程的通过点且在该点处的切线斜率为的那条积分曲线. 可分离变量的微分方程如果一个一阶微分方程能写成 （5）的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含的函数和，另一端只含的函数和，那么原方程就称为可分离变量的微分方程.设及依次为及的原函数，于是有. （6）齐次方程一、齐次方程如果一阶微分方程中的函数可写成的函数，即，则称这方程为齐次方程，引进新的未知函数, （2）就可化为可分离变量
12、的方程.因为由（2）有，代入方程（1），便得方程，即 .分离变量，得.两端积分，得.求出积分后，再以代替，便得所给齐次方程的通解.可化为齐次的方程方程 (3)当时是齐次的，否则不是齐次的.在非齐次的情形，可用下列变换把它化为齐次方程：令，其中及是待定的常数.于是，从而方程(3)成为.如果方程组的系数行列式，即，那么可以定出及使它们满足上述方程组.这样，方程(3)便化为齐次方程.求出这齐次方程的通解后，在通解中以代，代，便得方程(3)的通解.当时，及无法求得，因此上述方法不能应用.但这时令，从而方程(3)可写成.引入新变量，则，或.于是方程(3)成为，这是可分离变量的方程.以上所介绍的方法可以应
13、用于更一般的方程.一阶线性微分方程一、 线性方程方程 (1)叫做一阶线性微分方程，因为它对于未知函数及其导数是一次方程.如果,则方程(1)称为齐次的；如果不恒等于零，则方程(1)称为非齐次的.设(1)为非齐次线性方程.为了求出非齐次线性方程(1)的解，我们先把换成零而写出 （2）方程（2）叫做对应于非齐次线性方程(1)的齐次线性方程.方程（2）是可分离变量的，分离变量后得，两端积分，得，或 ，这是对应的齐次线性方程（2）的通解.这里记号表示的某个确定的原函数.现在我们使用所谓常数变易法来求非齐次线性方程（1）的通解.这方法是把（2）的通解中的换成的未知函数，即作变换， （3）于是 . （4）将
14、（3）和（4）代入方程（1）得，即 .两端积分，得 .把上式代入（3），便得非齐次线性方程（1）的通解. （5）将（5）式改写成两项之和，上式右端第一项是对应的齐次线性方程（2）的通解，第二项是非齐次线性方程（1）的一个特解（在（1）的通解（5）中取便得到这个特解）.由此可知，一阶非齐次线性方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和.二、 伯努利方程方程 （13）叫做伯努利（Bernoulli）方程.当或时，这是线性微分方程.当时，这方程不是线性的，但是通过变量的代换，便可把它化为线性的.事实上，以除方程（13）的两端，得 （14）容易看出，上式左端第一项与只差一个常数因子，
15、因此我们引入新的未知函数，那么 .用乘方程（14）的两端，再通过上述代换便得线性方程.求出这方程的通解后，以代便得到伯努利方程的通解.利用变量代换（因变量的变量代换或自变量的变量代换），把一个微分方程化为变量可分离的方程，或化为已经知其求解步骤的方程，这是解微分方程最常用的方法.下面再举一个例子.例5 解方程.解 若把所给方程变形为，即为一阶线性方程，则按一阶线性方程的解法可求得通解. 也可用变量代换来解所给方程： 令，则，.代入原方程，得.分离变量得，两端积分得 .以代入上式，即得，或 .可降阶的高阶微分方程一、 型的微分方程微分方程 (2)的右端仅含有自变量.容易看出，只要把作为新的未知函
16、数，那么(2)式就是新未知函数的一阶微分方程.两边积分，就得到一个阶的微分方程.同理可得 .依此法继续进行，接连积分次，便得方程(2)的含有个任意常数的通解.二、 型的微分方程 方程 (7)的右端不显含未知函数.如果我们设，那么，而方程 (7)就成为.这是一个关于变量、的一阶微分方程.设其通解为.但是，因此又得到一个一阶微分方程.对它进行积分，便得方程(7)的通解为.三、 型的微分方程方程 (11)中不明显地含自变量.为了求出它的解，我们令，并利用复合函数的求导法则把化为对的导数，即.这样，方程(11)就成为.这是一个关于变数、的一阶微分方程.设它的通解为，分离变量并积分，便得方程 (11)的
17、通解为.题型分析1 简单积分法例：2 抽象函数结合分部积分例：_。3 三角函数有理式积分例。 4 三角代换去根号例： 5 简单无理式积分例： 6 分段函数的定积分例： 7.变限函数求导法.例:7.函数光滑性的关系.可导比连续强,连续比可积强.8.参数方程结合变上限函数求导.例: 9.积分的对称性的应用.例. 10.广义积分的计算例. 11.可降阶方程的解法例: 求微分方程满足条件的特解。令令，得，由条件得由，得特解为： 例: 求微分方程的通解。令即令，得12.在方程中对称地位的应用.例. 求微分方程的通解。解得或13.积分方程求解例. 已知，求。两边关于求导得即由，求得故原方程的解为：14.微分方程的简单几何应用例. 求过点的一条曲线，使其上任一点处的切线在轴上的截距等于该点的横坐标的一半。由题意思得方程即积分得：由，得曲线为：15.定积分与周期函数的相关证明.例. ，其中，为某常数。
