1、中考一轮复习：二次函数一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项例1、已知函数y=(m1)xm2 +1+5x3是二次函数，求m的值。巩固练习：1、若函数y=(m2+2m7)x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为 。2、若函数y=(m2+2m7)x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为 。3、已知函数y=(m+3)xm 7+
2、1是二次函数，则m 。4、若函数y=(m2)xm 2+5x+1是关于的二次函数，则m的值为 。5、已知函数y=(m1)xm +1+5x3是二次函数，求m的值。二、二次函数的图像和性质1. 二次函数基本形式：的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值2. 的性质：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值3. 的性质：的符号开口方向顶点坐标对称
3、轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值4. 的性质：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值5、二次函数的性质 1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值 2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值6、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一： 将抛物线解析式转
4、化成顶点式，确定其顶点坐标； 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减” 方法二：沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）7、二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，
5、与轴的交点，与轴的交点.例1、已知二次函数（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。（3）x为何值时，y随的增大而减少，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？（4）x为何值时，y0？例2、 已知抛物线，（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴并用五点法作图（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长例3、通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：（1）y=x22x+1 ； （2）y=3x2+8x2； （3）y=x2+x4例4、已知函数y=3(x2)2+9。（1） 确定该抛物线的开口方向
6、、对称轴和顶点坐标；（2） 当x 时，抛物线有最 值，是 。（3） 当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小。（4） 求出该抛物线与x轴的交点坐标；（5） 求出该抛物线与y轴的交点坐标；（6） 该函数图象可由y=3x2的图象经过怎样的平移得到的？例5、把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x23x+5，试求b、c的值。巩固练习：1(2012年广西北海)已知二次函数yx24x5的顶点坐标为()A(2，1) B(2,1) C(2，1) D(2,1)2(2012年贵州黔东南州)抛物线yx24x3的图象向右平移2个单位长度后所得新
7、的抛物线的顶点坐标为()A(4，1) B(0，3) C(2，3) D(2，1)3(2011年浙江温州)已知二次函数的图象(0x3)如图344.关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是()A有最小值0，有最大值3 B有最小值1，有最大值0 C有最小值1，有最大值3 D有最小值1，无最大值5(2012年陕西)在平面直角坐标系中，将抛物线yx2x6向上(下)或向左(右)平移了m个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则的最小值为()A1 B2 C3 D66(2011年江苏盐城)已知二次函数yx2x.(1)在如图348中的直角坐标系中，画出这个函数的图象；(2)根据图象，写出当y0时，x的取
8、值范围；(3)若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式7、 体育测试时，初三一名高个学生推铅球，已知铅球所经过的路线为抛物线y= x2+x+2的一部分，根据关系式回答：(1)该同学的出手最大高度是多少？(2)铅球在运行过程中离地面的最大高度是多少？(3)该同学的成绩是多少？三、求抛物线解析式的三种方法1、一般式：已知抛物线上的三点，通常设解析式为_y=ax2+bx+c(a0) 2,顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设抛物线解析式为_求出表达式后化为一般形式.y=a(x-h)2+k(a0) 3,交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0)
9、,通常设解析式为_求出表达式后化为一般形式.y=a(x-x1)(x-x2) (a0)例1已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。例2已知二次函数的图象经过A（0，3）、B（1，3）、C（1，1）三点，求该二次函数的解析式。例3已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点且BC5，求该二次函数的解析式。例4已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，6），且经过点（2，8），求该二次函数的解析式。例5二次函数的图象经过A（1，0），B（3，0），函数有最小值8，求该二次函数的解析式。巩固练习：1抛物线y=2x2+bx
10、+c与x 轴交于（2，0）、（3，0），则该二次函数的解析式 。2若抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，3），且与y=2x2的开口大小相同，方向相反，则该二次函数的解析式 。3抛物线y=2x2+bx+c与x 轴交于（1,0）、（3,0），则b ，c .4若抛物线与x 轴交于(2，0)、（3，0），与y轴交于(0，4)则该二次函数的解析式 。5根据下列条件求关于x的二次函数的解析式（1） 当x=3时，y最小值=1，且图象过（0，7）（2） 图象过点（0，2）（1，2）且对称轴为直线x=（3） 图象经过（0，1）（1，0）（3，0）（4） 当x=1时，y=0; x=0时,y= 2，x=2
11、时，y=3（5） 抛物线顶点坐标为（1，2）且通过点（1，10）6当二次函数图象与x轴交点的横坐标分别是x1= 3，x2=1时，且与y轴交点为（0，2），求这个二次函数的解析式7已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴交于(2，0)、（4，0），顶点到x 轴的距离为3，求函数的解析式。8若二次函数y=ax2+bx+c经过（1，0）且图象关于直线x= 对称，那么图象还必定经过哪一点？9抛物线y= (k22)x2+m4kx的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线y= +2上，求函数解析式。四、二次函数a，b，c符号的确定抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：（1）a的符号：由抛物线的开口方向
12、确定（2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定.（3）b的符号：由对称轴的位置确定的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”（4）b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定（5）a+b+c的符号：因为x=1时,y=a+b+c,所以a+b+c的符号由x=1时，对应的y值决定。当x=1时，y0,则a+b+c0当x=1时，y0，则a+b+c0,则a-b+c0当x=-1，y0,则a-b+c0当x=-1，y=0,则a-b+c=0例1. 已知抛物线如图，试确定： （1）及的符号；（2）与的符号。例2.（2009年南宁市）已知二次函数（）的图象如图所示，有下列四个结论：，
13、其中正确的个数有（ ）A1个B2个C3个D4个例3、（2009年黄石市）已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：；其中所有正确结论的序号是（ ）ABCD11Oxy yxO11例4、（2009年枣庄市）二次函数的图象如图所示，则下列关系式中错误的是（ ）Aa0Bc0C0D0例5、（2009年甘肃庆阳）图12为二次函数的图象，给出下列说法：；方程的根为；当时，y随x值的增大而增大；当时，其中，正确的说法有 （请写出所有正确说法的序号）例6、(2009年鄂州)已知=次函数yax+bx+c的图象如图则下列5个代数式：ac，a+b+c，4a2b+c，2a+b，2ab中，其值大于0的个数为（ ） A2 B
14、 3 C、4 D、5巩固练习：、二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示，则a、b、c的符号为（） A、a0,c0 B、a0,c0 C、a0,b0 D、a0,b0,c0,b0,c=0 B、a0,c=0 C、a0,b0,c0,b0,b=0,c0,0 B、a0,c0,b=0,c0 D、a0,b=0,c0,0，b0，c 0(2)有一个交点b2 4ac= 0(3)没有交点 b2 4ac0，b24ac0 B.a0 C.a0，b24ac0 D.a0，b24ac06、若二次函数y-x2+4x-2的图象全在x轴的下方，则m的取值范围为 。7、若二次函数y(m+5)x2+2(m+1)x+m的图象全部在
15、x轴的上方，则m 的取值范围是 六、直线与二次函数的问题例1 、 已知：二次函数为y=x2x+m，（1）写出它的图像的开口方向，对称轴及顶点坐标；（2）m为何值时，顶点在x轴上方，（3）若抛物线与y轴交于A，过A作ABx轴交抛物线于另一点B，当SAOB=4时，求此二次函数的解析式例2、 （2006，山东枣庄）已知关于x的二次函数y=x2mx+与y=x2mx，这两个二次函数的图像中的一条与x轴交于A，B两个不同的点 （1）试判断哪个二次函数的图像经过A，B两点； （2）若A点坐标为（1，0），试求B点坐标； （3）在（2）的条件下，对于经过A，B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而
16、减小？例3、 （2006，重庆市）已知：m，n是方程x26x+5=0的两个实数根，且mn，抛物线y=x2+bx+c的图像经过点A（m，0），B（0，n），如图所示 （1）求这个抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标和BCD的面积；（3）P是线段OC上的一点，过点P作PHx轴，与抛物线交于H点，若直线BC把PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标巩固练习：1、抛物线y=x2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为 。2、直线y=7x+1与抛物线y=x2+3x+5的图象有 个交点。3、在同一坐标系中，一次函数yax1与二次
17、函数yx2a的图象可能是()4、(2012年广东深圳)如图3411，已知ABC的三个顶点坐标分别为A(4,0)，B(1,0)，C(2,6)(1)求经过A，B，C三点的抛物线解析式；(2)设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AECE；(3)设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A，B，F为顶点的三角形与ABC相似吗？ 请说明理由 图3411七、二次函数最值问题及其应用例1 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：x（元）152030y（件）252010 若日销售量y是销售价x的一次函数 （1）求出日销售量y（件）与销售价x
18、（元）的函数关系式； （2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？ 【解析】（1）设此一次函数表达式为y=kx+b则 解得k=-1，b=40，即一次函数表达式为y=-x+40 （2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元 w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225 产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（
19、2）问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程例2.你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、25 m处绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶已知学生丙的身高是15 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)( )A15 m B1625 mC166 m D167 m分析：本题考查二次函数的应用答案：B例3(2012年黑龙江哈尔滨)小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(单位：cm)的边与这条边上的高之和为40 cm，这个三角形的
20、面积S(单位：cm2)随x(单位：cm)的变化而变化(1)请直写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；(2)当x是多少时，这个三角形面积S最大？最大面积是多少？巩固练习：1.如图，某建筑物从10m高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面数 m，求水流落点B离墙的距离OB的长。2、已知某绿色蔬菜生产基地收获的大蒜，从四月一日起开始上市的30天内，大蒜每10千克的批发价y（元）是上市时间x (天)的二次函数，有近几年的行情可知如下信息：x（天）51525 y（元）151015（1） 求y与x的函数关系式；（2） 大蒜每10千克的批发价为
21、10.8元时，问此时是在上市的多少天？3、一男生推铅球，成绩为10米，已知该男生的出手高度为 米，且当铅球运行的水平距离为4米时达到最大高度，试求铅球运行的抛物线的解析式。4、某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高销售价格。经检验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件。假定每月销售件数y(件）是价格X的一次函数.(1)试求y与x的之间的关系式. (2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润，每月的最大利润是多少？（总利润=总收入总成本）5、有一种螃
22、蟹，从海上捕获后不放养最多只能活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，以后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元。（1）设X天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于X的函数关系式。（2）如果放养X天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售额为Q元，写出Q关于X的函数关系式。（2）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润
23、（利润=销售总额收购成本费用），最大利润是多少？6、（2006，太原市）某地计划开凿一条单向行驶（从正中通过）的隧道，其截面是抛物线拱形ACB，而且能通过最宽3m，最高3.5m的厢式货车按规定，机动车通过隧道时车身距隧道壁的水平距离和铅直距离最小都是0.5m为设计这条能使上述厢式货车恰好完全通过的隧道，在图纸上以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，求抛物线拱形的表达式，隧道的跨度AB和拱高OC7、甲，乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一十分关键的球，出手点为P，羽毛球飞行的水平距离s（m）与其距地面高度h（m）之间的关系式为h=s2+s+如下左图所示，已知球网AB距原点5m，乙（用线段CD表示）扣球的最大高度为m，设乙的起跳点C的横坐标为m，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m的取值范围是_
