1、二次函数与方程（不等式）综合练习题一、单选题1.抛物线如图所示，则关于x的不等式的解集是（ ）A. B. C. D.或2.对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点如果二次函数c有两个相异的不动点，且，则c的取值范围是( )A. B. C. D.3.一次函数（）与二次函数交于x轴上一点，则当时二次函数的最小值为( )A.15 B.-15 C.-16 D.04.二次函数的图象如图,对称轴为直线.若关于x的一元二次方程(t为实数)在的范围内有实数解,则t的取值范围是( )A. B. C. D.5.“如果二次函数的图象与x轴有两个公共点,那么一元二次方程有两个不相等的
2、实数根.”请根据你对这句话的理解,解决下面问题:若是关于x的方程的两根,且,则的大小关系是( )A. B.C. D.6.如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：；方程的两个根是；当时，x的取值范围是；当时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是( )A4个 B3个 C2个 D1个7.二次函数的图象如图所示，则下列结论： 其中正确的个数是( ）A、1个 B、2个 C、3个 D、4个8.已知二次函数的图象如图所示,关于x的方程有两个实数根,则下列选项正确的是( )A.B.C.D.和9.二次函数与一次函数的图象如图所示，则满足的x的取值范围是( )A.B.或C
3、.D.10.如图，抛物线与交于点，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于两点，且分别为顶点则下列结论:；是等腰直角三角形；当时，其中正确结论的个数是（ ）A.1B.2C.3D.411.在平面直角坐标系中，已知点的坐标分别为，若抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是（）A BC D12.二次函数的图象如图，对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（）A.B.C.D. 13.在平面直角坐标系中，已知函数，其中是正实数，且满足.设函数的图象与轴的交点个数分别为，( )A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则14.二次函数的图象与一次函数的图象有且仅有一
4、个交点，则实数a的取值范围是( )A B. C.或 D.或二、解答题15.如图，二次函数的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点已知一次函数的图象经过该二次函数图象上点及点B(1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)根据图象，直接写出满足的x的取值范围(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P使得最小，求P点坐标及最小值16.如图.在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于点 (点B在点C左侧).(1)求该抛物线的解析式及点的坐标;(2)抛物线的对称轴与x轴交于点D，若直线经过点D和点，求直线的解析式;(3)在(2)的条件下，已知点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物
5、线于点M，交直线于点N，若点M和点N中至少有一个点在x轴下方.直接写出t的取值范围.三、填空题17.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线于点，则的长为 .18.如图，直线与抛物线交于两点，则关于的不等式的解集是_.19.如图，以扇形的顶点O为原点，半径所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为，若抛物线与扇形的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是 .20.抛物线过两点，点B到抛物线对称轴的距离记为d，满足，则实数m的取值范围是 .21.如图,抛物线与直线的两个交点坐标分别为.则方程的解是 .22.抛物线（为常数，）经过，两点.下列四个结论：
6、一元二次方程的根为；若点在该抛物线上，则；对于任意实数，总有；对于的每一个确定值，若一元二次方程（为常数，）的根为整数，则的值只有两个.其中正确的结论是_（填写序号）.23.如图，抛物线 (是常数，)与x轴交于两点，顶点.给出以下结论：; 若，在抛物线上，则；关于有实数解，则；当时，为等腰直角三角形.其中正确的结论是_ (填写序号）.参考答案1.答案：C解析：抛物线与x轴的交点坐标为，关于x的不等式的解集是，故选C2.答案：B解析：由题意知是方程的两个实数根，且，整理得，解得，故选B. 3.答案：C解析：一次函数（）与二次函数交于x轴上一点把代入得，解得交点为代入得，解得二次函数为二次函数对称
7、轴为当时，时，故选C.4.答案：B解析：抛物线的对称轴直线，解得，所以抛物线解析式为，则顶点坐标为，当时，；当时，而关于x的一元二次方程(t为实数)在的范围内有实数解可看作二次函数与直线有交点,所以.故选B.5.答案：A解析：依据题意，画出函数的图象，如图所示.函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为.方程,转化为，方程的两根是抛物线与直线的两个交点.由，可知对称轴左侧交点横坐标为m，右侧为n.由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y随x增大而减少，则有;在对称轴右侧，y随x增大而增大，则有.综上所述，可知.故选:A.6.答案：B解析：抛物线与x轴有2个交点，所以正确；抛物线的对称
8、轴为直线，而点关于直线的对称点的坐标为，方程的两个根是，所以正确；，即，而时，即，所以错误；抛物线与x轴的两点坐标为，当时，所以错误；抛物线的对称轴为直线，当时，y随x增大而增大，所以正确。故选B.7.答案：D解析：如图，抛物线开口方向向下，则，故正确；如图，抛物线对称轴，则.即，故错误；如图，抛物线与y轴交于正半轴，则，故正确；如图，当时，即，故错误；由抛物线对称轴得到故正确；如图，抛物线与x轴有2个交点，则综上所述，正确的结论有4个。故选：D.8.答案：D解析：从题图中可知二次函数图象的对称轴为直线与x轴的一个交点坐标是，与x轴的另一 个交点坐标是，的根可以看作二次函 数图象与直线的交点的
9、横坐标，如图，可知和.9.答案：A解析：根据函数图象写出二次函数图象在一次函数图象上方部分的x的取值范围即可解：由图可知，时二次函数图象在一次函数图象上方，所以，满足的x的取值范围是故选：A.10.答案：C解析：抛物线过点，解得，故正确；由题意可知，点、C关于直线对称，故，故错误；易得点D的坐标为，由抛物线的对称性可知，又，是等腰直角三角形，故正确；两个函数比较大小，首先要知道这两个函数图象的交点，则，解得，所以当时，.11.答案：A解析：抛物线的解析式为观察图象可知当时，时，时，满足条件，即，即；当时，时，且抛物线与直线有交点，满足条件，直线MN的解析式为，由消去得到，满足条件，综上所述，满
10、足条件的的值为，故选：A12.答案：D解析：如图，二次函数的对称轴为，解得，二次函数解析式为，当时，当时，由图象可知关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，直线在直线和直线之间，包括直线，所以.故选:D13.答案：B解析：本题考查抛物线与轴的交点、一元二次方程的根的判别式.选项A，因为，所以.因为，设，则，此时，所以，故选项A不正确；选项B，因为，所以，所以（舍负），.因为，所以，此时.因为，所以，所以，故选项B正确；选项C，因为，所以.因为，设，则，此时，所以，故选项C不正确；选项D，因为，所以.因为，设，则，此时，所以，故选项D不正确，故选B.14.答案：D解析：二次函数的图象与一
11、次函数的图象有且仅有一个交点，可转化为方程在上有且只有一个解（1）当时，即，所以，当时，方程解得，不合题意当时，方程解得，符合题意（2）当时，令令，则令，则，则，解得当时，令，解得，符合题意.当时，令，解得，不符题意，故所以综上所述，当或时满足题意.故选D.15.答案：(1)抛物线经过点，抛物线解析式为，点C坐标，对称轴，关于对称轴对称，点B坐标，经过点，解得，一次函数解析式为；(2)由图象可知，满足的x的取值范围为：；(3)存在，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点，直线与对称轴的交点即为点P，则最小值，把代入得，最小值解析： 16.答案：(1)抛物线与y轴交于点，抛物线的表达式为.
12、抛物线与x轴交于点，令，即解得又点B在点C左侧，点B的坐标为，点C的坐标为;(2)抛物线的对称轴为直线.抛物线的对称轴与x轴交于点D，点D的坐标为.直线经过点和点，解得直线的表达式为;(3)如图，当P点在两点之间时，都在x轴上方，点至少有一个点在x轴下方的t的范围为:或.解析： 17.答案：6解析：抛物线与y轴交于点A,A点坐标为.当时, ,解得.B点坐标为,C点坐标为.18.答案：或解析：由函数图象可知，在点A的左侧和点B的右侧，一次函数的函数值都大于二次函数的函数值.，关于x的不等式的解集是或.19.答案：解析：由图可知，,直线的解析式为，联立，消去y，得，解得，即时，抛物线与有一个交点，
13、该交点的横坐标为1.点B的坐标为,点A的坐标为，交点在线段上;当抛物线经过点时，合，解得.要使抛物线与扇形的边界总有两个公共点，实数k的取值范围是.20.答案：或解析：把代入抛物线得：，对称轴，且点B到抛物线对称轴的距离记为d，满足，或把代入得：或或，故答案为或. 21.答案：解析：抛物线与直线的两个交点坐标分别为，方程组的解为或，即关于x的方程的解为.22.答案：解析：本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系.抛物线（为常数，）经过两点，当时，方程的两个根为，故正确；该抛物线的对称轴为，函数图象开口向下，若点在该抛物线上，则，故错误；当时，函数取得最大值，故对于任意实数，总
14、有，即对于任意实数，总有，故正确；对于的每一个确定值，若一元二次方程（为常数，）的根为整数，则两个根为和1或和0或和，故的值有三个，故错误，故正确的结论是.23.答案：解析：由图像知对称轴，且开口向上可知，所以.当时，由图像知，所以，所以，所以，故错误；若，在抛物线上，由图像可知.故正确；若抛物线与直线有交点，即有解，所以有解，所以直线一定过点P或在点P上方，所以.因为关于x的方程有实数解，所以有实数解.即抛物线与直线有交点即直线一定过点P或在点P上方，所以，所以，故错误；如图所示，连接,设对称轴交x轴于点H，即。抛物线与x轴交点横坐标因为B在A左侧，所以所以因为，所以所以由对称性可得,所以由三角形一边上的中线等于这条边的一半知是直角三角形.因为,所以是等腰直角三角形.故正确.故填.
