1、 1 常州市教育学会学生学业水平监测 高三数学试题 2018 年 1 月 一、一、填空题：本大题共填空题：本大题共14小题，每小题小题，每小题5 分，共计分，共计70 分请把答案填写在分请把答案填写在答题卡相应位置上答题卡相应位置上 1若集合 2 2,0,1, |1ABxx ，则集合AB 2命题“ 2 0,1,10xx ”是 命题（选填“真”或“假” ） 3若复数z满足 2 2i1(i)zz其中 为虚数单位，则z 4若一组样本数据 2015，2017，x，2018，2016 的平均数为 2017， 则该组样本数据的方差为 5右图是一个算法的流程图，则输出的n的值是 6函数 1 ( ) ln f
2、 x x 的定义域记作集合D随机地投掷一枚质地均匀的 正方体骰子（骰子的每个面上分别标有点数1,2,6） ，记骰子 向上的点数为t，则事件“tD”的概率为 7已知圆锥的高为 6，体积为 8用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的 圆台体积是 7，则该圆台的高为 8各项均为正数的等比数列 n a中，若 234234 a a aaaa，则 3 a的最小值为 9在平面直角坐标系xOy中，设直线:10l xy 与双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的两 条渐近线都相交且交点都在 y 轴左侧，则双曲线 C 的离心率e的取值范围是 注注 意意 事事 项项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及
3、各题答题要求 1 本试卷共 4 页， 包含填空题 （第 1 题第 14 题） 、 解答题 （第 15 题第 20 题） 本 卷满分 160 分，考试时间为 120 分钟考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回 2答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 05 毫米黑色墨水的签字笔填写在 试卷及答题卡的规定位置 3请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答 必须用 05 毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚 4如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗 5请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗 的圆珠笔 nY
4、 2,1An2017AN n AA2nn 2 10已知实数, x y满足 0, 220, 240, xy xy xy 则xy的取值范围是 11 已知函数 ( )lnf xbxx ， 其中bR 若过原点且斜率为k的直线与曲线 ( )yf x 相切， 则kb的值为 12如图，在平面直角坐标系xOy中，函数 sin()(0,0)yx 的图象与x轴的 交点 , ,A B C满足2OAOCOB ，则 13在ABC中，3, 7, 5BCACAB，P为ABC内一点（含边界） ，若满足 )( 4 1 RBCBABP，则BPBA的取值范围为 14 已知ABC中，3ABAC ，ABC所在平面内存在点P使得 222
5、 33PBPCPA， 则ABC面积的最大值为 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分请在分请在答题卡指定区域答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤字说明、证明过程或演算步骤 15 （本小题满分 14 分） 已知ABC中，a b c, , 分别为三个内角A B C, , 的对边，3 sincosbCcBc （1）求角B； （2）若 2 bac，求 11 tantanAC 的值 16 （本小题满分 14 分） 如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，PCABCD平面，PBPD，点Q是 棱PC上异于 P
6、，C 的一点 （1）求证：BDAC； （2）过点Q和AD的平面截四棱锥得到截面ADQF（点F在 棱PB上） ，求证：QF BC 3 17 （本小题满分 14 分） 已知小明 （如图中 AB 所示） 身高 1.8 米， 路灯 OM 高 3.6 米， AB， OM 均垂直于水平地面， 分别与地面交于点 A，O点光源从 M 发出，小明在地面上的影子记作AB （1）小明沿着圆心为 O，半径为 3 米的圆周在地面上走一圈，求AB扫过的图形面积； （2）若3OA米，小明从 A 出发，以 1 米/秒的速度沿线段 1 AA走到 1 A， 3 1 OAA，且 10 1 AA米t秒时，小明在地面上的影子长度记为)
7、(tf（单位：米） ，求)(tf的表达式与 最小值 18 （本小题满分 16 分） 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆)0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x C的右焦点为F，点A是 椭圆的左顶点，过原点的直线MN与椭圆交于NM,两点（M在第三象限） ，与椭圆的右准 线交于P点已知MNAM ，且 2 4 3 OA OMb （1）求椭圆C的离心率e； （2）若 10 3 AMNPOF SSa ，求椭圆C的标准方程 （第 17 题） 4 19 （本小题满分 16 分） 已知各项均为正数的无穷数列 n a的前n项和为 n S，且满足 1 aa（其中a为常数） ， 1 (1)(1) nn
8、nSnSn n * ()nN数列 n b满足 22 1 1 nn n nn aa b a a (*)nN （1）证明数列 n a是等差数列，并求出 n a的通项公式； （2）若无穷等比数列 n c满足：对任意的 * nN，数列 n b中总存在两个不同的项 s b， t b （ * , s tN） ，使得 snt bcb，求 n c的公比q 20 （本小题满分 16 分） 已知函数 2 ln ( ) () x f x xa ，其中a为常数 （1）若0a ，求函数( )f x的极值； （2）若函数( )f x在(0)a，上单调递增，求实数a的取值范围； （3）若1a ，设函数( )f x在(0 1
9、)，上的极值点为 0 x，求证： 0 ()2f x 5 常州市教育学会学生学业水平监测 数学（附加题） 2018 年 1 月 21 【选做题】在 【选做题】在 A、B、C、D 四四小题中小题中只能选做两题只能选做两题 ，每小题，每小题 10 分，共计分，共计 20 分请在分请在 答题卡指定区域答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修 41：几何证明选讲 在ABC中，N 是边 AC 上一点，且2CNAN，AB 与NBC 的外接圆相切，求 BC BN 的值 B选修 42：矩阵与变换 已知矩阵 42 1a A不存在逆矩阵
10、，求： （1）实数 a 的值； （2）矩阵A的特征向量 C选修 44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线 C 的 参数方程为 2cos1, 2sin x y （为参数） ，直线 l 的极坐标方程为 sin()2 4 ，直线 l 与曲线 C 交于 M，N 两点，求 MN 的长 D选修 45：不等式选讲 已知0,0ab，求证： 33 22 ab ab ab 注注 意意 事事 项项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用本试卷第 21 题有 A
11、、B、C、D 4 个小 题供选做，每位考生在 4 个选做题中选答 2 题若考生选做了 3 题或 4 题，则按选 做题中的前 2 题计分第 22、23 题为必答题每小题 10 分，共 40 分考试时间 30 分钟考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回 2 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 05 毫米黑色墨水的签字笔填写在 试卷及答题卡的规定位置 3 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效作 答必须用 05 毫米黑色墨水的签字笔请注意字体工整，笔迹清楚 4 如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗 5 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损一律
12、不准使用胶带纸、修正液、可擦 洗的圆珠笔 6 【必做题】第【必做题】第 22 题、第题、第 23 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分请在分请在答题卡指定区域答题卡指定区域 内作答，解内作答，解 答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） 已知正四棱锥ABCDP的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的 8 条棱中任取两条， 按下列方式定义随机变量的值： 若这两条棱所在的直线相交，则的值是这两条棱所在直线的夹角大小（弧度制） ； 若这两条棱所在的直线平行，则0； 若这两条棱所在的直线异面，则的值是这两条棱所在直线所成角
13、的大小（弧度制） （1）求)0(P的值； （2）求随机变量的分布列及数学期望)(E 23 （本小题满分 10 分） 记 11 (1)()() 2 xxx n （2n且 * nN）的展开式中含x项的系数为 n S，含 2 x项的 系数为 n T （1）求 n S； （2）若 2 n n T anbnc S ，对2,3,4n成立，求实数a b c, ,的值； （3） 对 （2） 中的实数a b c, ,， 用数学归纳法证明： 对任意2n且*nN， 2 n n T anbnc S 都成立 7 常州市教育学会学生学业水平监测 高三数学试题参考答案及评分标准 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 1
14、4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分分 1 2 2真 31 42 57 6 5 6 73 83 9(1, 2) 10 4 ,8 3 11 1 e 12 3 4 13 5 25 , 84 14 5 23 16 二、二、解答题：本大题共解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15解： （1）由正弦定理得3sinsincossinsinBCBCC，ABC中，sin0C ，所以 3sincos1BB，所以 1 sin() 62 B ， 5 666 B ， 66 B ，所以 3 B ； （
15、2）因为 2 bac，由正弦定理得 2 sinsinsinBAC， 11coscoscossinsincossin()sin()sin tantansinsinsinsinsinsinsinsinsinsin ACACACACBB ACACACACACAC 所以， 2 11sin112 3 tantansinsin33 2 B ACBB 16 （1）证明：PCABCD平面，BDABCD平面，所以 BDPC， 记A C B D，交于点O， 平行四边形对角线互相平分， 则O为BD的中点，又PBD中，PBPD，所以BDOP， 又=PCOP P，PCOPPAC，平面，所以BDPAC平面， 又ACPAC
16、平面，所以BDAC； （2）四边形ABCD是平行四边形，所以ADBC，又 ADPBC平面，BCPBC平面，所以ADPBC平面， 又AD ADQF 平面 ， ADQFPBCQF平面平面 ， 所 以 ADQF ， 又ADBC，所以QF BC 17解： （1）由题意ABOM， 1.81 3.62 ABAB OBOM ，3OA，所以6OB ， 小明在地面上的身影AB扫过的图形是圆环，其面积为 22 6327 ()平方米 ； （2）经过t秒，小明走到了 0 A处，身影为 00 A B，由（1）知 00 0 1 2 A BAB OBOM ，所以 22 000000 ( )2cosf tA BOAOAAAO
17、A AAOAA， 化简得 2 ( )39,010f tttt ， 2 327 ( ) 24 f tt ， 当 3 2 t 时，( )f t的最小值为 3 3 2 ， 答： 2 ( )39,010f tttt ，当 3 2 t （秒）时，( )f t的最小值为 3 3 2 （米） 8 18 解：（1） 由题意 22 22 222 1 ()( ) 22 xy ab aa xy ， 消去 y 得 2 22 2 0 c xaxb a ， 解得 2 12 2 ab xa x c ， ， 所以 2 2 (,0) M ab xa c ， 2 2 2 4 3 MA ab OA OMx xab c ， 2 2
18、3 4 c a ，所以 3 2 e ； （2）由（1） 22 2 (,) 33 Mbb，右准线方程为 4 3 3 xb， 直线MN的方程为2yx，所以 4 34 6 (,) 33 Pbb， 2 134 6 =2 2 223 POFP SOF ybbb ， 2 2 24 2 22 33 AMNAOMM SSOAybbb ， 所以 22 4 210 2 2+ 33 bba， 2 10 220 33 bb，所以2,2 2ba， 椭圆C的标准方程为1 28 22 yx 19解： （1）方法一：因为 1 (1)(1) nn nSnSn n ， 所以 21 (1)(2)(1)(2) nn nSnSnn ，
19、 由-得， 211 (1)(2)(1)2(1) nnnn nSnSnSnSn ， 即 21 (1)(22)(1)2(1) nnn nSnSnSn ，又10n ， 则 21 22 nnn SSS ，即 21 2 nn aa 在 1 (1)(1) nn nSnSn n 中令1n 得， 121 22aaa，即 21 2aa 综上，对任意*nN，都有 1 2 nn aa ， 故数列 n a是以 2 为公差的等差数列 又 1 aa，则22 n ana 方法二： 因为 1 (1)(1) nn nSnSn n ， 所以 1 1 1 nn SS nn ， 又 11 Saa， 则数列 n S n 是以a为首项，
20、1为公差的等差数列， 因此1 n S na n ，即 2 (1) n Snan 当2n时， 1 22 nnn aSSna ，又 1 aa也符合上式， 故22 n ana (*)nN， 故对任意*nN，都有 1 2 nn aa ，即数列 n a是以 2 为公差的等差数列 （2）令 1 2 1 22 n n n a e ana ，则数列 n e是递减数列，所以 2 11 n e a 9 考察函数 1 yx x (1)x ，因为 2 22 11 10 x y xx ，所以 1 yx x 在(1,)上递 增 因此 14 22 (2) n n e ea a ，从而 14 2, 2 2) nn n be
21、ea(a 因为对任意的*nN，总存在数列 n b中的两个不同项 s b， t b，使得 snt bcb，所以 对任意的*nN都有 4 2, 2 2) n c a(a ，明显0q 若1q ，当 2 1 log1 (2) q n a a 时，有 11 1 4 22 2) nn n cc qq a(a ，不符 合题意，舍去； 若01q，当 2 2 2 1 log 22 q aa n aa 时，有 11 1 4 22 2) nn n cc qq a(a ， 不符合题意，舍去；故1q 20解： （1）当0a 时， 2 ln ( ) x f x x ，定义域为(0)， 3 12ln ( ) x fx x
22、，令( )0fx，得ex x (0e)， e ( e)， ( )f x 0 ( )fx 极大值 1 2e 当ex 时，( )f x的极大值为 1 2e ，无极小值 （2） 3 12ln ( ) () a x x fx xa ，由题意( )0fx对(0)xa，恒成立 (0)xa， 3 ()0xa， 12ln0 a x x 对(0)xa，恒成立 2 lnaxxx对(0)xa，恒成立 令( )2 lng xxxx，(0)xa， 则( )2ln1g xx， 若 1 2 0ea ，即 1 2 0ea -，则( )2ln10g xx 对(0)xa，恒成立， ( )2 lng xxxx在(0)a，上单调递减
23、， 则2()ln()()aaaa -，ln()a0，1a与 1 2 ea -矛盾，舍去； 若 1 2 ea ，即 1 2 ea ，令( )2ln10g xx ，得 1 2 ex ， 10 当 1 2 0ex 时，( )2ln10g xx ，( )2 lng xxxx单调递减， 当 1 2 exa 时，( )2ln10g xx ，( )2 lng xxxx单调递增， 当 1 2 ex 时， 11111 22222 min ( )(e)2eln(e)e2eg xg ， 1 2 2ea 综上 1 2 2ea （3）当1a 时， 2 ln ( ) (1) x f x x ， 3 12 ln ( ) (
24、1) xxx fx x x 令( )12 lnh xxxx ，(0 1)x， 则( )12(ln1)2ln1h xxx ，令( )0h x，得 1 2 ex 当 1 2 e1x 时，( )0h x，( )12 lnh xxxx 单调递减， 1 2 ( )(0 2e1h x ， 3 12 ln ( )0 (1) xxx fx x x 恒成立， 2 ln ( ) (1) x f x x 单调递减，且 1 2 ( )(e)f xf ， 当 1 2 0ex 时，( )0h x，( )12 lnh xxxx 单调递增， 其中 11114 ( )12ln( )ln0 2222e h ， 又 2222 2
25、5 (e)e12eln(e)10 e h ， 存在唯一 2 0 1 (e, ) 2 x ，使得 0 ()0h x， 0 ()0fx， 当 0 0xx时，( )0fx， 2 ln ( ) (1) x f x x 单调递增， 当 1 2 0 exx 时，( )0fx， 2 ln ( ) (1) x f x x 单调递减，且 1 2 ( )(e)f xf ， 由和可知， 2 ln ( ) (1) x f x x 在 0 (0)x，单调递增，在 0 (1)x ，上单调递减， 当 0 xx时， 2 ln ( ) (1) x f x x 取极大值 0000 ()12ln0h xxxx ， 0 0 0 1
26、ln 2 x x x ， 0 0 2 2 000 0 ln11 () 11 2(1)(1) 2() 22 x f x xxx x ， 又 0 1 (0) 2 x ， 2 0 111 2()(0) 222 x ， 0 2 0 1 ()2 11 2() 22 f x x 11 12 常州市教育学会学生学业水平监测 高三数学（附加题） 参考答案 21、 【选做题】在、 【选做题】在 A、B、C、D 四四小题中小题中只能选做两题只能选做两题 ，每小题，每小题 10 分，共计分，共计 20 分分 A选修 41：几何证明选讲 解：记NBC外接圆为圆 O，AB、AC 分别是圆 O 的切线和割线，所以 2 A
27、BAN AC， 又AA ，所以ABN与ACB相似，所以 BCABAC BNANAB ，所以 2 3 BCABACAC BNANABAN ，3 BC BN B选修 42：矩阵与变换 （2） 42 =0 21 ，即(4)(1)40，所以 2 50，解得 12 0,5 1 0时， 420 20 xy xy ，2yx，属于 1 0的一个特征向量为 1 2 ； 2 5时， 20 240 xy xy ，2xy，属于 1 0的一个特征向量为 2 1 C选修 44：坐标系与参数方程 解 ： 曲 线 22 :(1)4Cxy， 直 线 :20l xy ， 圆 心 (1, 0 )C 到 直 线l的 距 离 为 22
28、 1022 2 11 d ，所以弦长 22 1 22 414 2 MNrd D选修 45：不等式选讲 证明：0,0ab，不妨设0ab ，则 55 22 ab， 11 22 ab，由排序不等式得 51515151 22222222 a ab ba bb a，所以 51515151 22222222 2222 a ab ba bb a ab abab 【必做题】第【必做题】第 22 题、第题、第 23 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分分 22 解： 根据题意， 该四棱锥的四个侧面均为等边三角形， 底面为正方形， 容易得到PAC， PBD为等腰直角三角形的可能取值为： 0, 3 2
29、 ，共 2 8 28C 种情况，其中： 0时，有 2 种； 3 时，有3 4+2 4=20种； 2 时，有2+4=6种； （1） 14 1 28 2 )0(P； （2） 7 5 28 164 ) 3 ( P， 14 3 28 6 ) 2 (P 再根据（1）的结论，随机变量的分布列如下表： 13 0 3 2 P 14 1 7 5 14 3 根据上表， 84 29 14 3 2 7 5 3 14 1 0)(E 23解： （1） 1 12 2 !(1)! n n n S nn （2） 2 2 2 = 3 T S ， 3 3 11 = 6 T S ， 4 4 7 = 2 T S ， 则 2 =42 3
30、 11=9 3 6 7 169 2 abc abc abc ， ， ， 解得 111 4126 abc ， （3）当2n 时，由（2）知等式成立； 假设 * (N ,2)nk kk且 时，等式成立，即 2 111 4126 k k T kk S ； 当1nk时，由 2 111 ( )(1) ()() () 21 111 (1) ()() () 21 11 ()() !1 kk f xxxxx kk xxxx kk S xT xx kk 知2 1 1 11111 2 1() 1(1)!1 4126 kkk k TSTkk kkk ， 所以 2 2 1 1 1 1111 2 1() 32(35)(1)!1 4126 (1) 1 121212 2 ! k k k kk Tkkkkkkk k kSk k ， 又 2 111(35) (1)(1) 412612 kk kk ，等式也成立； 综上可得，对任意2n且*nN，都有 2 n n T anbnc S 成立
