1、高三数学参考答案第 1 页（共 9 页） 扬州市 20172018 学年度第一学期期末调研测试试题 高高 三三 数数 学学 参参 考考 答答 案案2018.2 第一部分 1. 2 26 3. 2 4. 240 5.94 6. 2 3 7. 2 2 3 8. 144 ,25 25 9. 13 27 10. 3 (1, ) 2 11.(2,3) 12. 131 2 13. 1 ( ,2 2 14. 7 3 15 证明：在直三棱柱 111 ABCABC中，四边形 11 B BCC是平行四边形，所以 11/ BCBC，.2 分 在ABC中，,D E分别为,AB AC的中点，故/BCDE，所以 11/
2、BCDE，.4 分 又 11 BC 平面 1 ADE，DE 平面 1 ADE， 所以 11/ BC平面 1 ADE .7 分 在平面 11 ABB A内，过A作 1 AFAD于F， 因为平面 1 ADE 平面 11 A ABB，平面 1 A DE平面 111 A ABBAD，AF 平面 11 A ABB，所以AF 平面 1 ADE， .11 分 又DE 平面 1 ADE，所以AFDE， 在直三棱柱 111 ABCABC中， 1 A A平面ABC，DE 平面ABC，所以 1 A ADE， 因为 1 AFA AA，AF 平面 11 A ABB， 1 A A平面 11 A ABB，所以DE 平面 1
3、1 A ABB， 因为AB 平面 11 A ABB，所以DE AB。 .14 分 注：作 1 AFAD时要交代在平面内作或要交代垂足点，否则扣 1 分 16 解：因为 SABC= 1 sin9 2 ABBCB=创 ，又 AB=6，BC=5，所以 3 sin 5 B ，2 分 又B(0, )，所以 2 4 cos1 sin 5 BB ， 3 分 当 cosB= 4 5 时， 22 4 2cos36252 6 513 5 ACABBCAB BCB 5 分 当 cosB= 4 5 时， 22 4 2cos36252 6 5109 5 ACABBCAB BCB 所以13AC 或109 .7 分 注：少
4、一解的扣 3 分 高三数学参考答案第 2 页（共 9 页） 由ABC为锐角三角形得 B 为锐角，所以 AB=6，AC=13，BC=5， 所以 36 13252 cos 2 61313 A ， 又(0, )A，所以 2 3 sin1 cos 13 AA， 9 分 所以 3212 sin22 131313 A= 创=， 22 235 cos2()() 131313 A=-=-， 12 分 所以 5 3 12 cos(2)cos2 cossin2 sin 66626 AAA ppp- +=-= .14 分 17. 解：因为 MN 与扇形弧 PQ 相切于点 S，所以 OSMN. 在RTOSM 中，因为
5、 OS=1，MOS=，所以 SM=tan， 在RTOSN 中，NOS= 2 3 ，所以 SN= 2 tan() 3 ， 所以 2 23(tan1) tantan() 33tan1 MN ， .4 分 其中 62 6 分 因为 62 ，所以3tan10 ， 令3tan10t ，则 3 tan(1) 3 t， 所以 34 (2) 3 MNt t ， . .8 分 由基本不等式得 34 (22)2 3 3 MNt t ， 10 分 当且仅当 4 t t 即2t 时取“=” . .12 分 此时tan3，由于 62 ，故 3 . . .13 分 答： 2 23(tan1) tantan() 33tan
6、1 MN ，其中 62 当 3 时，MN长度的最小值为2 3千米 .14 分 注：第问中最小值对但定义域不对的扣 2 分 高三数学参考答案第 3 页（共 9 页） 18 解：设椭圆 2 E的方程为 22 1 2 xy mm ，代入点( 2,1)得2m， 所以椭圆 2 E的方程为 22 1 42 xy 3 分 因为椭圆 1 E的离心率为 2 2 ，故 22 2ab，所以椭圆 222 1: 22Exyb 又椭圆 2 E与椭圆 1 E“相似” ，且4m，所以椭圆 222 1: 28Exyb， 设 112200 ( ,), (,), (,)A x yB xyP xy， 方法一：由题意得2b，所以椭圆
7、22 1: 28Exy，将直线:2l ykx， 代入椭圆 22 1: 28Exy得 22 (1 2)80kxkx， 解得 12 2 8 ,0 12 k xx k ，故 2 12 2 24 ,2 1 2 k yy k ， 所以 2 22 824 (,) 1 21 2 kk A kk 5 分 又2APAB，即B为AP中点，所以 2 22 82 12 (,) 1212 kk P kk ， 6 分 代入椭圆 22 2: 232Exy得 2 22 22 82 12 ()2()32 1 21 2 kk kk ， 即 42 20430kk，即 22 (103)(21)0kk，所以 30 10 k 所以直线l
8、的方程为 30 2 10 yx 8 分 方法二：由题意得2b，所以椭圆 22 1: 28Exy， 22 2: 232Exy 设( , ), (0,2)A x y B，则(,4)Pxy， 代入椭圆得 22 22 28 2(4)32 xy xy ，解得 1 2 y ，故 30 2 x 6 分 所以 30 10 k ， 所以直线l的方程为 30 2 10 yx 8 分 方法一： 由题意得 222222222 001122 28,22,22xybxybxyb， 高三数学参考答案第 4 页（共 9 页） 01 01 1 2 yy xx ，即 0 101 20x xy y， APAB，则 01012121
9、 (,)(,)xx yyxx yy，解得 01 2 01 2 (1) (1) xx x yy y 12 分 所以 222 0101 (1)(1) ()2()2 xxyy b 则 22222222 00110011 2(1)(1)24(1)2(1)2xx xxyy yyb 2222222 00010111 (2)2(1)(2)(1) (2)2xyx xy yxyb 所以 22222 8(1)22bbb，即 22 4(1)，所以 5 2 .16 分 方法二：不妨设点P在第一象限，设直线:(0)OP ykx k，代入椭圆 222 2: 28Exyb， 解得 0 2 2 2 12 b x k ，则 0
10、 2 2 2 12 bk y k ， 直线,OP OA的斜率之积为 1 2 ，则直线 1 : 2 OA yx k ，代入椭圆 222 1: 22Exyb， 解得 1 2 2 12 bk x k ，则 1 2 12 b y k APAB，则 01012121 (,)(,)xx yyxx yy，解得 01 2 01 2 (1) (1) xx x yy y ， 所以 222 0101 (1)(1) ()2()2 xxyy b 则 22222222 00110011 2(1)(1)24(1)2(1)2xx xxyy yyb 2222222 00010111 (2)2(1)(2)(1) (2)2xyx
11、xy yxyb 所以 22222 2222 2 222 2 82(1)()2)(1)22 12121212 bbkbkb bbb kkkk ， 即 22222 8(1)22bbb，即 22 4(1)，所以 5 2 19 解：（1）由( 1)0g 知，( )g x的图象直线过点( 1,0)， 设切点坐标为 00 (,)T xy，由( ) x fxe得切线方程是 00 0 () xx yeexx 此直线过点( 1,0)，故 00 0 0( 1) xx eex ，解得 0 0x ， 高三数学参考答案第 5 页（共 9 页） 所以(0)1af .3 分 （2）由题意得 2, (0,) x mexx恒成
12、立， 令 2 ( ),(0,) x m xex x，则( )2 x m xex，再令( )( )2 x n xm xex，则( )2 x n xe， 故当(0,ln2)x时，( )0n x ，( )n x单调递减；当(ln2,)x时，( )0n x ，( )n x单调递增， 从而( )n x在(0,)上有最小值(ln2)22ln20n， 所以( )m x在(0,)上单调递增， .6 分 所以(0)mm，即1m .8 分 注：漏掉等号的扣 2 分 （3）若0a ，( )( )( ) x F xf xg xeaxb在(0,)上单调递增， 故( )( )( )F xf xg x在(0,)上总有零点的
13、必要条件是(0)0F，即1b ， 10 分 以下证明当1b 时，( )( )( )F xf xg x在(0,)上总有零点。 若0a ， 由于 (0)10Fb ，()()0 bb aa bb Feabe aa ，且 ( )F x在(0,)上连续 故( )F x在(0,) b a 上必有零点； 12 分 若0a ，(0)10Fb ， 由（2）知 22 1 x exx 在(0,)x上恒成立， 取 0 xab，则 0 ()()() a b F xF abea abb 22 ()(1)0abaabbabb b 由于 (0)10Fb ， ()0F ab ，且 ( )F x在(0,)上连续 故( )F x在
14、(0,)ab上必有零点， 综上得：实数b的取值范围是(1,)。 .16 分 20. 解： （1） 2 2 nnn Saa ， 2 111 2 nnn Saa ， -得： 22 111 2 nnnnn aaaaa ，即 11 ()(1)0 nnnn aaaa 因为 n a是正数数列，所以 1 10 nn aa ，即 1 1 nn aa ， 所以 n a是等差数列，其中公差为 1， 在 2 2 nnn Saa中，令1n ，得 1 1a 所以 n an 2 分 由 1 2 n nn n b bb a 得 1 1 12 nn bb nn ， 高三数学参考答案第 6 页（共 9 页） 所以数列 n b
15、n 是等比数列，其中首项为 1 2 ，公比为 1 2 ， 所以 1 ( ) , 22 n n n n bn b n 即. 5 分 注：也可累乘求 n b的通项 （2） 2 21 2 ()2 n n n n bn c Snn ，裂项得 1 11 2(1)2 n nn c nn 7 分 所以 12 1 11 2(1)2 n n ccc n 9 分 （3）假设存在正整数, , ()p q r pqr，使得, pqr b b b成等差数列，则2 prq bbb，即 2 222 prq prq ， 因为 1 11 11 222 nn nnn nnn bb ，所以数列 n b从第二项起单调递减， 当1p
16、时， 12 222 rq rq ， 若2q ，则 1 22 r r ，此时无解； 若3q ，则 1 24 r r ，因为 n b从第二项起递减，故4r ，所以1,3,4pqr符合要求11 分 若4q ，则 11 4 2 q bb bb ，即 1 2 q bb，不符合要求，此时无解； 当2p 时，一定有1qp，否则若2qp，则 2 44 2 2 2 1 pp qP bb p bbp p ，即2 pq bb，矛盾， 所以1qp，此时 1 22 rp r ，令1rpm，则 1 2mr ，所以 1 21 m pm ， 1 2mqm ， 综上得：存在1,3,4pqr或 1 21 m pm ， 1 2mq
17、m ， 1 2mr 满足要求16 分 高三数学参考答案第 7 页（共 9 页） 第二部分（加试部分）答案 21A解：因为 13 15 A，即 213 315 x y ，即 23 35 x y ，解得 1 2 x y ， 所以 21 32 A，5 分 法法 1：设 1 ab cd A，则 1 2110 3201 ab cd AA，即 21 320 20 321 ac ac bd bd ，7 分 解得 2 1 3 2 a b c d ，所以 1 21 32 A.10 分 法法 2：因为 1 db ab adbcadbc cdca adbcadbc ，且 21 det( )2 2 1 31 32 A
18、， 所以 1 1 2121 3232 A.10 分 注：法 2 中没有交待逆矩阵公式而直接写结果的扣 2 分 B解： （1）因为直线l的参数方程是: 2 2 2 2 xmt yt (t是参数)， 所以直线l的普通方程为0xym -2 分 因为曲线C的极坐标方程为6cos，故 2 6 cos ，所以 22 6xyx 所以曲线C的直角坐标方程是 22 (3)9xy -5 分 (2)设圆心到直线l的距离为d，则 22 312 2d ， 又 3 2 2 2 m d ， -8 分 所以34m，即 1m或7m -10 分 高三数学参考答案第 8 页（共 9 页） 22解：记 “6 名大学生中至少有 1 名
19、被分配到甲学校实习” 为事件A，则 6 163 ( )=1 264 P A-. 答：6 名大学生中至少有 1 名被分配到甲学校实习的概率为 63 64 3 分 所有可能取值是 0,2,4,6，记“6 名学生中恰有i名被分到甲学校实习”为事件 i A(01,6i ，)，则 33 63 3 6 5 (0)() 216 C C PP A， 2442 6462 2424 66 15 (2)()()() 2232 C CC C PP AAP AP A， 1551 6561 1515 66 3 (4)()()() 2216 C CC C PP AAP AP A， 0660 6666 0606 66 1 (
20、6)()()() 2232 C CC C PP AAP AP A， 7 分 所以随机变量的概率分布为： 0 2 4 6 P 5 16 15 32 3 16 1 32 所以随机变量的数学期望 5153115 ( )024+6 163216328 E .9 分 答：随机变量的数学期望 15 ( ) 8 E .10 分 23解（1）因为 55 (,)2M a b，所以 5 b为 5 位数且与 5 a有 2 项不同， 又因为首项为 1，故 5 a与 5 b在后四项中有两项不同，所以 5 b的个数为 2 4 6C .3 分 （2）当(,) nn M a b=0 时， n b的个数为 0 1n C ； 当
21、(,) nn M a b=1 时， n b的个数为 1 1n C ， 当(,) nn M a b=2 时， n b的个数为 2 1n C ， 当(,)n 1 nn M a b 时， n b的个数为 1 1 n n C ， 设(,) nn M a b的和为S， 则 0121 1111 012(1) n nnnn SCCCnC ， .6 分 倒序得 1210 1111 (1)210 n nnnn SnCCCC ， 倒序相加得 0111 111 2(1)(1) 2 nn nnn SnCCCn ，即 2 (1) 2nSn ， 高三数学参考答案第 9 页（共 9 页） 所以(,) nn M a b的和为 2 (1) 2nn .10 分
