1、12.3 角的平分线的性质第一课时一、教学目标（一）核心素养（二）学习目标1. 会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性；2. 探索并证明角平分线的性质；3. 能用角的平分线的性质解决简单问题.（三）学习重点角的平分线的性质的证明及应用.（四）学习难点角的平分线的性质的探究.二、教学设计(一)课前设计预习任务用尺规作图作一个角的平分线的方法，其依据是SSS .角的平分线上的点到角的两边的距离相等.预习检测一、填空题1.如图，在ABC中，C90，AD是BAC的角平分线，若BC8cm，BD5cm，则点D到AB的距离为.答案：3cm解析：根据题意画出图形，过点D作DEAB，交AB于点E，D点到AB
2、的距离即为DE的长.BCA=90ACBCACBC，DEAB，AD平分CABCD=DEBC=8cm，BD=5cm，CD=DE，BC=CD+BDDE=3cm即D点到直线AB的距离是3cm.点拨：根据角平分线的性质添加辅助线作答2.AOB的平分线上一点P，P到OA的距离为2.5cm，则P到OB的距离为 cm.答案：2.5解析：P是AOB平分线上一点,点P到OA的距离是2.5cm,P到OB的距离等于点P到OA的距离,为2.5cm.因此，本题正确答案是:2.5.点拨：根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答.二、选择题3.如图，12，PDOA，PEOB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（）A、PDP
3、EB、ODOEC、DPOEPOD、PDOD答案：D解析：A项；由角分线性质，正确B项；由角分线性质知PDPE，由HL知RtOEPODP，则两三角形全等知ODOE，正确.C项；同B项，由两三角形全等知DPOEPOD项；错误点拨：由题设可知OP为AOB的角平分线，PE为P到OB的距离，PD为P到OA的距离，再由角的平分线性质判断即可.可由角分线的性质找出相应的结论. (二)课堂设计1.知识回顾（1）三角形的判断方法有哪些?SSS,SAS,AAS,ASA,HL（2）三角形中有哪些重要线段?三角形中有三条重要线段，它们分别是：三角形的高，三角形的中线，三角形的角的平分线（3）从直线外一点到这条直线的垂
4、线段的长叫做点到直线的距离.2.问题探究探究一 角的平分线的作法活动请同学们拿出准备好的角，用你自己的方法画出它的角平分线，然后与大家交流分享.【设计意图】通过学生动手实践，寻找作已知角的平分线的方法，目的是为了引入尺规作图作已知角的平分线.活动如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，画一条射线AE，AE就是DAB的平分线. 你能说明它的道理吗?ADBCE让同学们把推理过程写在课堂作业本上，老师巡查学生完成情况，对个别学生进行引导，最后教师把有典型错误的解答过程展示出来，让同学们去纠正错误.【设计意图】为如何用尺规作图作已知角的平分线
5、作铺垫.活动 老师提出问题： 通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法自己动手做做看然后与同伴交流操作心得（分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性）讨论结果展示：已知：MAN求作：MAN的角平分线.作法：（1）以A为圆心，适当长为半径画弧，交AM于B，交AN于D.（2）分别以B、D为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在MAN的内部交于点C.（3）画射线AC.射线AC即为所求.CADB MN分组讨论： 1在上面作法的第二步中，去掉“大于BD的长”这个条件行吗？ 2第二步中所作的两弧交点一定在MAN的内部吗？ 学生讨论结果总结： 1
6、去掉“大于BD的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线 2若分别以B、D为圆心，大于BD的长为半径画两弧，两弧的交点可能在MAN的内部，也可能在MAN的外部，而我们要找的是MAN内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是MAN的平分线了 3角的平分线是一条射线它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个限制缺一不可 4这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明练一练： 任意画一角AOB，作它的平分线【设计意图】设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好学习习惯探究二 角的平分线的性质活动如图，将AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条
7、折痕为斜边），然后展开.观察两次折叠形成的三条折痕，三条折痕分别表示什么？你能得出什么结论？学生回答后师生归纳：OC表示AOB的角平分线，PD和PE分别表示P到OA和OB的距离，P到角两边的距离相等（PD=PE）【设计意图】让学生感知角平分线的性质.活动 学生活动：作已知AOB的平分线，过平分线上一点P，作两边的垂线段. 投影出下面两个图形，让学生评一评. 结论：同学乙的画法是正确的同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的画法不符合要求 问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质？ 师生共同归纳：角平分线上的点到角的两边的距离相等 问题2：能否
8、用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话？ 已知事项：OC平分AOB，PDOA，PEOB，D、E为垂足由已知事项推出的事项：PD=PE【设计意图】进一步理解角平分线的题设和结论.活动以上结论成立吗？让同学们独立进行证明，然后展示学生的证明过程： 证明： PDOA，PEOB (已知) PDO = PEO=90(垂直的定义)在PDO和PEO中 PDO = PEO（已证） AOC = BOC （已知） OP=OP （公共边） PDO PEO（AAS） PD=PE（全等三角形的对应边相等）于是我们得角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 符号语言：AOC=BOC,
9、PDOA，PEOB，垂足分别为点D、E.（已知） PD=PE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等） 【设计意图】展示符号语言的目的在于规范学生的书写过程，培养学生严谨的推理能力.探究三 用角的平分线的性质解决简单问题活动 应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，我们可以直接利用性质解决问题例1(1) 下面四个图中,点P都在AOB的平分线上,则图形( )中PDPE. A B C D【知识点】角平分线的性质.【思路点拨】利用角平分线的性质时，非常重要的条件是PD和PE是到角两边的距离.【解答过程】选项A中如果增加一个条件ODO
10、E，就能得出PDPE；选项B和C中PD不是到OA的距离；选项D中P到OA和OB的距离为PD和PE.【答案】D(2)下图中,PDOA,PEOB，垂足分别为点D、E，则图中PDPE吗? 【知识点】角平分线的性质.【思路点拨】已知没有告诉OC为AOB的平分线，由此PD与PE不相等.【解答过程】PD与PE不相等，因为OC不是AOB的平分线.（3）如图,ABC中，C90，BD平分ABC，CD2cm，则点D到AB的距离为 cm【知识点】角平分线的性质.【思路点拨】过D作AB的垂线段DE,垂足为E,由BD平分ABC，可得DC=DE=2.【解答过程】解：过D作AB的垂线段DE,垂足为E,BD平分ABC，CDB
11、C,DEAB,DC=DECD2cm，DE=2cm，即点D到AB的距离为2cm【答案】2练习：如图,ABC中，C90，BD平分ABC，DEAB，垂足为点E，AC=7cm， 则AD+DE= cm. 【知识点】角平分线的性质.【思路点拨】由BD平分ABC，可得DC=DE, AD+DE=AD+DC=AC.【解答过程】解：BD平分ABC，CDBC,DEAB,DC=DEAD+DE=AD+DC=AC.AC=7cm,AD+DE=7cm.【答案】7【设计意图】通过练习，理解角平分线的性质.活动 例2如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在
12、图上标出它的位置，比例尺为1:20 000）？【知识点】角平分线的性质【思路点拨】1这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处2在纸上画图时，我们经常以厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，这就涉及一个单位换算问题了1 m=100 cm，所以比例尺为1:20 000，其实就是图中1 cm表示实际距离200 m的意思作图如下：【答案】第一步：尺规作图法作出AOB的平分线OP第二步：在射线OP上截取OC=2.5 cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了练习：在S区有一个贸易市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路，怎样修
13、才能使路最短？它们有怎样的数量关系呢？S公路铁路P【知识点】角平分线的性质【思路点拨】过P分别作公路和铁路的垂线段，这两条垂线段就是P点到公路和铁路的最短距离.【答案】过P点分别作铁路和公路的垂线段，它们的数量关系为相等.活动3 例3如图,ABC中，C90，BD平分ABC，DEAB于E，F在BC上，AD=DF 求证：CF=EA 【知识点】角平分线的性质和三角形的判定和性质【思路点拨】证CF和EA所在的两个三角形全等【解答过程】证明：C90，BD平分ABC，DEAB于E，DC=DE又AD=DFDCFDEA（HL）CF=EA练习：如图，CDAB于点D，BEAC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分
14、BAC，求证：OB=OC【知识点】角平分线的性质和全等三角形的判定【思路点拨】利用角平分线的性质可得OD=OE，证明BOD COE可得OB=OC【答案】证明：CDAB，BEAC，AO平分BAC，OD=OE，BDO=CEO=90BOD=COE，BOD COEOB=OC3. 课堂总结知识梳理（以课堂内容为根据，结合教学目标的几点要求，对涉及到的知识细致梳理）（1）会用尺规作一个角的平分线，知道作法的理论依据；（2）探索并证明角平分线的性质；（3）能用角的平分线的性质解决简单问题.重难点归纳（本节课的中心知识点在此进行回顾，对课堂上的典型方法、特殊例题进行归纳点拨）（1）角的平分线的性质的探究.（2
15、）角的平分线的性质的证明及应用.（3）证明线段相等通常证明线段所在的两个三角形全等.（三）课后作业基础型 自主突破1如图，OC是AOB的平分线，P是OC上一点，PDOA于点D，PD=4，则点P到边OB的距离为（）A4B3C3D1【知识点】角平分线的性质【思路点拨】因为PDOA，PD=4，即P到OA的距离为4，P是AOB的平分线上一点，P到OA和OB的距离相等，所以P到边OB的距离为4.【解答过程】解：过P做PEOB于E,OC是AOB的平分线，PDOA, PEOB,PD=PE=4即P到OB的距离为4.【答案】A2 .如图，OP平分MON，PAON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=5，则P
16、Q的最小值为 【知识点】角平分线的性质和点到直线的距离【思路点拨】因为Q在OM上，当PQOM时，PQ的长度最小.【解答过程】解：过P作OM的垂线段，垂足为B,因为PQ最小，则B点与Q点重合，OP平分MON，PAON，PQOMPQ=PA=5.【答案】53如图，已知在ABC中，CD是AB边上的高线，AE平分BAC，交CD于点E，AC=6，DE=3，则ACE的面积等于（）A10B9C8D7【知识点】角平分线的性质和三角形的面积公式【思路点拨】过E点作AC的垂线EF,垂足为F，根据角平分线的性质可得EF=ED=3,则ACE的面积等于9.【解答过程】解：过E作AC的垂线段EF垂足为F,AE平分BAC，E
17、FAB,EFAC,DE=EFDE=3，EF=3又AC=6SACE=ACEF=9【答案】B4. 如图，12，PDOA，PEOB，垂足分别为D，E， 则（1）PDPE，（2）ODOE，（3）DPOEPO，（4）PDOD中正确的有（ ）个.A4 B3 C2 D1【知识点】角平分线的性质和三角形全等.【思路点拨】由角平分线的性质可得PE=PD,易证OPEOPD(HL),所以OE=OD, DPOEPO.【解答过程】解：12，PDOA，PEOB，PE=PD,即（1）正确PE=PD,OP=OPOPEOPD(HL),OE=OD, DPOEPO.即（2）（3）正确.【答案】B5如图，在ABC中，DC平分ACB，
18、SACD: SBCD=3:2，则AC：BC=_.【知识点】角平分线的性质和三角形的面积.【思路点拨】已知角平分线常常考虑在角平分线上找一个合适的点，过这个点作角两边的垂线段.【解答过程】解:过D点分别AC和BC作垂线段DE和DF,垂足为E和F,DC平分ACB，DEAB,DFBC,DE=DF【答案】3:26如图，在ABC中，A90，BD平分ABC，DEBC,AB4cm，AC=3cm，BC=5cm，则DCE的周长为_cm【知识点】角平分线的性质和三角形全等.【思路点拨】根据角平分线的性质可得AD=DE,易证ABD和EBD全等，则对应的边AB=EB,EC=BC-BE=BC-AB=1cm，DE+DC=
19、AD+DC=AC=3cm.【解答过程】【答案】4能力型 师生共研1.如图，在ABC中，C=90，AD平分BAC，D到AB的距离为9，BDDC=53试求BC的长【知识点】角平分线的性质.【思路点拨】过D作AB的垂线DE,垂足为E,根据角平分线的性质可得DC=DE, D到AB的距离为9,即DE=9,所以DC=9,因为BDDC=53，所以BD=15,BC=24.【解答过程】解：过D作AB的垂线DE,垂足为E,AD平分BAC，DCAC,DEAB,DC=DED到AB的距离为9，DE=9DC=9BDDC=53，DB=15BC=DC+DB=24.2.通过学习我们已经知道三角形的三条内角平分线是交于一点的如图
20、，P是ABC的内角平分线的交点，已知P点到AB边的距离为1，ABC的周长为10，则ABC的面积为 【知识点】角平分线的性质和三角形的面积公式.【数学思想】等积法.【思路点拨】利用割补法把ABC分成ABP、BCP和ACP，它们的高都为1【解答过程】解：过P分别作AC,BC,AB的垂线段PG,PI,PH.AP平分CAB，PG=PH，同理可得：PG=PI,PI=PHPG=PI=PHPH=1PG=PI=PH=1SABC= SACP +SBCP +SABP【答案】5探究型 多维突破1. 如图，AOB的平分线为OC，将三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边与AOB的两边分别相交于点E
21、、F，试猜想PE、PF的大小关系，并说明理由【知识点】角平分线的性质和三角形全等.【思路点拨】利用角平分线的性质构造PM和PN所在的两个三角形全等.【解题过程】解：PE=PF，理由如下：过点P作PMOA，PNOB，垂足是M，N，则PME=PNF=90，OP平分AOB，PM=PN，AOB=PME=PNF=90，MPN=90，EPF=90，MPE=FPN，PEMPFN，PE=PF2.在ABC中，C=900,AD平分BAC,AB=5,AC=4,BC=3,求BD长.【知识点】角平分线的性质.【数学思想】等积法.【思路点拨】过D点作DEAB于E,根据角平分线的性质可得DC=DE,由 SABC=SACD+
22、SABD,可以求出DC=DE=，所以DB=BC-DC=.【解题过程】解：过D点作DEAB于EAD平分BAC，DEAB，DCACDE=DCSABC=SACD+SABD,DE=DC=DB=BC-DC=自助餐：1如图，在ABC中，A90，BD平分ABC，AD2 cm，则点D到BC的距离为_cm【知识点】角平分线的性质.【思路点拨】过D作BC的垂线DE，垂足为E,由角平分线的性质可以AD=DE【解答过程】解：过D作BC的垂线DE，垂足为E,BD平分ABC，ADAB，DEBC，AD=DE，AD2 cm，DE=2 cm，即D到BC的距离为2cm【答案】22（临沂市）如图，OP平分，垂足分别为A，B下列结论
23、中不一定成立的是（ ）A B平分C D垂直平分【知识点】角平分线的性质和全等三角形的性质.【思路点拨】由角平分线的性质可得AP=BP,易证,所以OA=OB, 平分.【解答过程】 OP平分，PA=PBA正确OP=OP,PA=PB,OA=OB,APO=BPOB和C正确ABOP可以证明，但是AB平分OP无法证明.【答案】D3.如图，在ABC中，C=90，AC=BC，BD平分ABC，交AC于点D，DEAB于点E，且AB=5 cm,则DEA的周长为( ) A.9 cmB.6 cmC.5 cmD.不能确定【知识点】角平分线的性质和全等三角形的性质.【思路点拨】因为BD平分ABC，所以DC=DE，易证BC=
24、BE，AD+DE+AE=AD+DC+AE=BC+AE=BE+AE=AB=5cm.【解答过程】【答案】C4.如图，已知四边形ABCD中，AC平分BAD，DC=BC，求ADC+ABC的度数【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质【数学思想】转化的数学思想.【思路点拨】过C作CFAB于F，CEAD交AD延长线于E，根据角平分线性质求出CE=CF，根据HL证RtDECRtBFC，推出ABC=EDC即可【解答过程】解：过C作CFAB于F，CEAD交AD延长线于E，则E=CFB=90，AC平分BAD，CE=CF，在RtDEC和RtBFC中RtDECRtBFC（HL），ABC=EDC，ADC+EDC=
25、180，ADC+ABC=1805.如图，ABC中，B=60，BAC，ACB的平分线AD，CE交于点O，说明AE+CD=AC的理由【知识点】角平分线的定义；全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理【数学思想】转化的数学思想.【思路点拨】在AC上取AF=AE，连接OF，即可证得AEOAFO，得AOE=AOF；再证得COF=COD，则根据全等三角形的判定方法AAS即可证FOCDOC，可得DC=FC，即可得结论【解答过程】证明：在AC上取AF=AE，连接OF，AD平分BACEAO=FAO则AEOAFO（SAS），AOE=AOF；AD、CE分别平分BAC、ACB，ECA+DAC=（180-B）=60，则
26、AOC=180-ECA-DAC=120；AOC=DOE=120，AOE=COD=AOF=60，（对顶角相等）则COF=60，COD=COF，又FCO=DCO，CO=CO，FOCDOC（ASA），DC=FC，AC=AF+FC，AC=AE+CD6如图，已知ADBC， DAB和ABC的平分线交于E， 过E的直线交AD于D， 交BC于C， 求证: DE=EC【知识点】角平分线的定义和全等三角形的综合应用.【数学思想】转化的数学思想.【思路点拨】构造DE或EC所在边的两个三角形全等（构造一个三角形与ADE全等或BCE）.【解答过程】证明：在AB上截取AF=AD.AE是DAF的平分线(已知)DAE=FAE(角平分线定义)在DAE和FAE中，DAEFAE(SAS)DE=FE(全等三角形对应边相等)D=AFE(全等三角形对应角相等)AFE+BFE=1800(邻补角定义)又ADBC(已知) D+C=1800(两直线平行，同旁内角互补)BFE=C(等角的补角相等)BE是ABC的平分线(已知)FBE=CBE(角平分线定义)在FBE和CBE中FBECBE(AAS)FE=CE(全等三角形对应边相等) DE=EC
