1、 安康市安康市 2019-2020 学年度高三年级教学质量学年度高三年级教学质量第四次联考第四次联考 理科数学理科数学 一、选择题一、选择题 1已知集合 120Ax xx，Bx xa，若ABA，则a的取值范围是（ ） A, 1 B2, C1,2 D2, 2已知i为虚数单位，复数 5 12 zi i 的模为（ ） A1 B2 C2 D4 3已知向量2,ABm ，1,2BC ， 3ACABAC，则实数m的值为（ ） A3 B1 C1 D2 4已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数 RO.它指的是，在自然情况下（没有外力介入，同时 所有人都没有免疫力） ， 一个感染到某种传染病的人， 会把疾病
2、传染给多少人的平均数.它的简单计算公式是： 1RO 确认病例增长率系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时间（单 位：天）.根据统计，确认病例的平均增长率为40%，两例连续病例的间隔时间的平均数为5天，根据以上 RO 数据计算，若甲得这种传染病，则5轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（ ） A81 B243 C248 D363 5已知 2 3 log 4 a ， 4 4 log 5 b ， 8 8 log 9 c ，则（ ） Acba Babc Ccab Dacb 62019 年 10 月 07 日，中国传统节日重阳节到来之际，某县民政部门随机抽取30个乡村，统计六址岁以
3、 上居民占村中居民的百分比数据，得到如图所示茎叶图，若将所得数据整理为频率分布直方图，数据被分 成7组，则茎叶图的中位数位于（ ） A第3组 B第4组 C第5组 D第6组 7 把 函 数 s i n2 6 fxx 的 图 象 向 右 平 移0 个 单 位 长 度 得 到 g x的 图 象 ， 2 3 gxg x ，则的值不可能为（ ） A17 12 B 12 C 5 12 D11 12 8 已知O为等腰直角三角形POD的直角顶点， 以OP为旋转轴旋转一周得到几何体，CD是底面圆O上 的弦，COD为等边三角形，则异面直线OC与PD所成角的余弦值为（ ） A 1 4 B 2 4 C 3 4 D 2
4、 2 9已知椭圆 22 1: 1 84 xy C的左，右焦点分别为 12 ,F F，抛物线 2 2: 20Cypx p的准线l过点 1 F， 设P是直线l与椭圆 1 C的交点，Q是线段 2 PF与抛物线 2 C的一个交点，则 2 QF （ ） A 12 32 2 B 12 42 2 C2 D2 2 10 若0,，, 4 4 ，R， 且 3 c o s20， 3 22sincos20 2 ， 若 3 cos 5 ，则tan（ ） A 1 3 B 1 2 C3 D3 11设双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的左，右焦点分别为 12 ,F F，过 1 F的直线l分别与双曲线左右两
5、支交于,M N两点，以MN为直径的圆过 2 F，且 2 2 1 2 MFMNMN，则以下结论正确的个数是（ ） 双曲线C的离心率为3；双曲线C的渐近线方程为2yx ；直线l的斜率为1. A0 B1 C2 D3 12若函数 2x e f xm x x 恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围为（ ） A1,4 B 1 ,1 4 C 1 , 4 D4, 二、填空题二、填空题 13在 1 2 n x x 的展开式中二项式系数之和为256，则 2 x项的系数为_. 14已知函数 2, 1 ,1 mxx f x x x 的图象过点1,1，则 4f x 的解集是_. 15 已知ABC的内角, ,A B C的
6、对边分别为, ,a b c， 周长为5，cos2cosbCacB， 则B_， 若2b，则ABC的面积为_. 16在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六、八是中国人的吉利数字，所以好多瓷器都做成 六棱形和八棱形.数学李老师有一个正六棱柱形状的笔筒，如图，底面边长为6 cm，高为17 cm（底部及筒 壁厚度忽略不计）.一根长度为2 85 cm的圆铁棒l（粗细忽略不计）斜放在笔筒内部，l的一端置于正六 棱柱某一侧棱的底端，另一端置于和该侧棱正对的侧棱上.一位小朋友玩耍时，向笔筒内注水，恰好将圆铁 棒淹没，又将一个圆球放在笔筒口，球面又恰好接触水面，则球的表面积为_ 2 cm. 三、解答题三、
7、解答题 17如图，已知RtPCD，PDCD，,A B分别为,PD PC的中点，22PDDC，将PAB沿AB 折起，得到四棱锥PABCD ，E为P D的中点. （1）证明：P D平面ABE； （2）当正视图方向与向量BA的方向相同时，PABCD 的正视图为直角三角形，求此时二面角 ABEC的余弦值. 18已知数列 n b的前n项和 * 2 nn Tbn nN，数列 n a满足 2 2log 11 nn ab. （1）证明：1 n b 是等比数列，并求 n b； （2） 若数列 n a中去掉与数列 n b中相同的项后， 余下的项按原顺序排列成数列 n c， 求 125 0 .ccc 的值. 192
8、020 年春季，某出租汽车公司决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车，现有采购成本分别 为11万元/辆和8万元/辆的,A B两款车型，根据以往这两种出租车车型的数据，得到两款出租车车型使用 寿命频数表如下： 使用寿命年数 5 年 6 年 7 年 8 年 总计 A型出租车(辆) 10 20 45 25 100 B型出租车(辆) 15 35 40 10 100 （1）填写下表，并判断是否有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车型有关？ 使用寿命不高于6年 使用寿命不低于7年 总计 A型 B型 总计 （2）从A和B的车型中各随机抽取1车，以X表示这2车中使用寿命不低于7年的车数，求X的分
9、布列 和数学期望； （3）根据公司要求，采购成本由出租公司负责，平均每辆出租车每年上交公司6万元，其余维修和保险等 费用自理.假设每辆出租车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆出租车使用寿命的概率，分别以这10辆 出租车所产生的平均利润作为决策依据，如果你是该公司的负责人，会选择采购哪款车型？ 附： 2 2 n adbc K abcdacbd ，nabcd . 2 P Kk 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 20已知函数 1 ln1f xx 在0,1处的切线方程为ykxb. （1）证明： x ef x. （2）当0x时， kxb f xnx恒成立，求
10、正整数n的最大值. 21 已知直线 2 :0 2 m l ymxm与椭圆 22 :1C axby交于不同的两点,A B， 线段AB的中点为D， 且直线l与直线OD的斜率之积为 1 4 .若直线xt与直线l交于点P，与直线OD交于点M，且M点为 直线 1 4 y 上一点. （1）求P的轨迹方程； （2）若 1 0, 2 F 为椭圆C的上顶点，直线l与y轴交点G，记S表示面积，求 PFG PDM S S 的最大值. 22在平面直角坐标系xOy中，已知曲线 1 C的参数方程： 2 2 2 4 1 1 2 1 1 k x k k y k （k为参数） ，以坐标原点为极 点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐
11、标系，曲线 2 C的极坐标方程为sin2 2 4 . （1）求曲线 1 C的普通方程； （2）过曲线 2 C上一点P作直线l与曲线 1 C交于,A B两点，中点为D，2 3AB ，求PD的最小值. 23已知函数 345f xxx. （1）求 f x的最小值M； （2）若正实数, ,a b c满足 222 111abcM，求证：12abc . 2020 届普通高中教育教学质量监测考试届普通高中教育教学质量监测考试 理科数学参考答案理科数学参考答案 1D【解析】 12012Ax xxxx ，ABA，AB，2a. 2B【解析】 5 1 25 11 21 1 25 i ziiii i ，所以2z .
12、3A【解析】因为 1 223ACABACAC CBm ，所以3m. 4D【解析】总人数为3 927 81 243363 人，D 正确. 5 B 【 解 析 】 1 2 2 42 2 4 log 44 5 loglog 5log 45 b ， 1 2 3 822 3 2 8 log 882 9 logloglog 9log 899 c ， 3 944 16581 ， 1 2 3 342 459 ，所以abc. 6C【解析】数据的极差为15.1 8.86.3，分成7组，组距为0.9，第5组的范围是12.4,13.3，中位 数为12.5应位于第5组内. 7B【解析】函数 sin 2 6 f xx 向
13、右平移个单位长度得到 sin 22 6 g xx 的图象，由 题意， g x关于点,0 3 对称， 则 2 2 36 k ，kZ， 5 122 k ，kZ， 当0k ， 5 12 ； 1k ， 11 12 ；2k ， 17 12 ，故 B 不可能. 8 B 【解析】 设OPr， 过点D作OC的平行线交与CD平行的半径于点E， 则O E O C C D O D r， 2PCPDr，所以PDE（或其补角）为异面直线OC与PD所成的角，在三角形PDE中， 2PEPDr，DEr，所以 2 2 cos 42 r PDE r . 9 A 【 解 析 】 由 题 意 ， 1 2,0F ， 抛 物 线 2 2
14、: 8Cyx， 计 算 可 得 1 2PF ， 2 224 223 2PFa，过Q作QM 直线l于M，由抛物线定义知 2 QFQM， 12 2 FFMQ PFPQ ， 4 3 23 2 MQ MQ ， 12 32 2MQ . 10 A 【 解 析 】 由 3 32sincos20 2 得 3 2cos220 22 ， 设 3 c o s2fxxx，因为 2 3sin0fxxx，0,x，所以 f x在0,上单调递增，可 得又20, 2 ，2 2 ，2 2 ， 3 coscos2sin2 25 ， 4 cos2 5 ， sin21 tan 1 cos23 . 11C【解析】由MN为直径的圆过 2
15、F，由 2 2 1 2 MFMNMN知， 22 MFNF，且 22 MFNF，设 22 MFNFm， 则2MNm， 由 21 2MFMFa， 12 2NFNFa， 两 式 相 加 可 得 11 4NFMFMNa，即有2 2ma，设H为MN的中点，在直角三角形 12 HFF中，可得 2 22 4422 22caaaa，化为 22 3ca，即3 c e a ，故正确；又 2 13 bc aa ， 2 b a ，故正确；因为 2 1 2 2 HFMNa，所以 22 22 1122 2HFFFHFca，所以直线l 的斜率为 2 22 1 22 2 2 HFa HF ca ，故错误. 12 C 【解析】
16、 由 2 0 x e f xm x x 可得， 2 2 x e m x ， 构造函数 2 2 x e g x x ， 2 3 2 x ex gx x ， 令 0g x得到2x或0x， 令 0g x得到02x， 画出函数 2 2 x e g x x 的图象， 可知当0m 时， 直线ym与 g x的图象无交点； 当0m时， 函数 2 2 x e g x x 在2x时取得极小值， 且 1 2 4 g. 当 1 4 m 时， 2 2 x e g x x 的图象与ym有三个不同的交点，即函数 2x e f xm x x 恰有三个不同 的零点，所以m的取值范围为 1 , 4 . 131120【解析】因为
17、1 2 n x x 中的二项式系数之和为 01 .2256 nn nnn CCC，8n，根据 题意， 3 8 8 8 2 88 1 212 r r rr rrr CxCx x ，所以4r ，所以 2 x项的系数为 4 44 8 121120C. 142,2【解析】因为函数 2, 1 ,1 mxx f x x x 的图象过点1,1，所以1 1m ，解得0m，所 以 2, 1 ,1 xx f x x x 当 2 1 4 x x ，21x 或12x，当 1 4 x x ，11x ，综上可得 22x . 15 3 ； 5 3 12 【 解 析 】 由 正 弦 定 理 可 得sincos2sinsinc
18、osBCACB， 得 s i nc o sc o ss i n2 s i nc o sBCBCAB，所以sin2sincosBCAB，因为 sinsinsinBCAA，sin0A，所以 1 cos 2 B .因为0B，所以 3 B .又2b， 3ac ， 所以 222 2cosacacBb， 2 34acac， 5 3 ac ， 15 3 sin 212 ABC SacB . 16144【解析】六棱柱笔筒的边长为6 cm，高17 cm，铁棒与底面六边形的最长对角线、对棱的部分 长h构成直角三角形，所以 22 2 8512h，14h，所以容器内水面的高度为14 cm.设球的半径为 R， 则球被六
19、棱柱体上面截得圆的半径为3 3， 球心到截面圆的距离为3R， 则 2 2 2 33 3RR， 解得6R ，球的表面积为 22 46144cm. 17 【解析】 （1）由平面图可知，ABP A，ABAD，PAADA， 所以AB 平面P AD，所以ABP D. 因为E为P D的中点，P AAD ，AEP D. 因为AEABA，所以P D平面ABE. （2）因为PABCD 的正视图与PAD全等，所以PAD为直角三角形，故P AAD . 以A为原点，AB为x轴，AD为y轴， AP 为z轴建立空间直角坐标系， 则0,0,0A，0,1,0D，0,0,1 P ， 1 ,0,0 2 B ，1,1,0C， 1
20、1 0, 2 2 E ， 所以0,1, 1P D， 1 1 1 , 2 2 2 BE ， 1 ,1,0 2 BC ， 设平面BEC的一个法向量为, ,nx y z，则 0 0 BE n BC n ， 111 0 222 1 0 2 xyz xy ， 令2x，2, 1,3n ， 因为P D为平面ABE的一个法向量，设二面角ABEC为， 所以 2 7 cos, 7 P D n P D n P Dn ， 因为二面角ABEC为钝角，所以 2 7 cos 7 ，故二面角ABEC的余弦值为 2 7 7 . 18 【解析】 （1）由 11 21Tb得： 1 1b ，因为 11 221 nnnn TTbnbn
21、 2n，所以 1 21 nn bb ，从而由 1 121 nn bb 得 1 1 22 1 n n b n b ，所以1 n b 是以2为首项，2为公比的 等比数列.故21 n n b . （2）由题意， 2 2log 1121 nn abn ， 1 1a ， 1 1b ，所以 1 2 nn aa ，所以数列 n a是以1为 首项，2为公差的等差数列. 又因为 1 1b ， 2 3b ， 3 7b ， 4 15b ， 5 31b ， 6 63b ， 7 127b ， 56 111a， 57 113a， 所以 126 12501256126 56 1 111 .22.26 2 cccaaabbb
22、 27 56283016. 19 【解析】 （1）填表如下： 使用寿命不高于6年 使用寿命不低于7年 总计 A型 30 70 100 B型 50 50 100 总计 80 120 200 由列联表可知 2 2 200 50 7030 50 8.336.635 100 100 80 120 K ， 故有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车型有关. （2）由题意可知，A型车使用寿命不低于7年的车数占 7 10 ，低于7年的车数占 3 10 ；B型车使用寿命不低 于7年的车数占 1 2 ，低于7年的车数占 1 2 .且X可能的取值为0,1,2. 313 0 10220 P X ， 71311
23、 1 1021022 P X ， 717 2 10220 P X ， X的分布列为： X 0 1 2 P 3 20 1 2 7 20 其数学期望 317 0121.2 20220 E X . （3）用频率估计概率，这100辆A款出租车的平均利润为： 1 19 1025 2031 4537 25 100 30.1（万元） ， 这100辆B款出租车的平均利润为： 1 22 1528 3534 4040 10 100 30.7（万元） ， 故会选择采购B款车型. 20 【解析】 （1）证明：根据题意，设 ln11 x h xex， 111 11 x x ex h xe xx ， 设 11 x g x
24、ex，则 10 xx g xexe， 所以 g x在1, 上为增函数， 又 00g，所以当0x时， 0g x ，即 0h x； 当10x 时， 0g x ， 0h x. 所以 h x在1,0上为减函数；在0,上为增函数； 因此， h x的最小值为 00h，所以 0h x ，即 x ef x. （2） 1 1 fx x ， 01 f ，所以切线方程为1yx， 由 1 11 ln1kxb f xnxxn x ， 设 1 11ln1F xx x ， 2 1 ln1xx Fx x ， 设 1 ln1G xxx ， 0 1 x Gx x ， 因此 G x在0,上单调递增， 因为 21 ln30G ， 3
25、2 1 ln20G， 即 0G x 存在唯一的根 0 2,3x ， 且当 0 0xx时， 0G x ， 0Fx；当 0 xx时， 0G x ， 0Fx， 因此当 0 xx时， F x取得最小值 00 0 1 11 ln1F xx x ， 由 0 0G x，得 00 1 ln10xx 即 00 1 ln1xx ， 于是 000 0 1 11 ln11F xxx x ，又由 0 2,3x ，得 0 3,4F x，从而3n，故正整 数n的最大值为3. 21 【解析】 （1）设 11 ,A x y， 22 ,B x y， 00 ,D xy，联立方程 2 22 2 1 m ymx axby ， 得 4
26、223 10 4 bm bma xm bx ，由0 ，且 3 12 2 m b xx bma ， 因此 3 12 0 2 222 xxm b x bma ，将其代入 2 2 m ymx得 2 0 2 22 m a y bma ， 因为 0 0 ya m xb ，所以 1 4 a b ，4ba， 所以直线OD方程为 1 4 yx m ，可得 11 44 t m ，tm， 代入 2 2 m ymx，得 2 , 2 m P m ，消去m，可得P点的轨迹方程为 2 20xy x. （2）根据题意，4b，所以椭圆C的方程为 22 41xy. 由（1）知， 3 12 0 2 2 241 xxm x m ，
27、 2 0 2 2 41 m y m ， 对于直线l，令0x， 2 2 m y ，所以 2 0, 2 m G ，所以 2 , 2 m P m ， 1 0, 2 F ， 32 2 2 2 , 412 41 mm D mm ， 1 , 4 M m ， 所以 2 11 1 24 PFG SGF mm m ， 2 2 0 2 21 1 28 41 PDM mm SPMmx m ， 所以 22 2 2 2 411 21 PFG PDM mm S S m ，令 2 21nm，则 22 21111 2 PFG PDM nnS Snnn ， 当 11 2n ，即2n时， PFG PDM S S 取得最大值 9
28、4 ，此时 2 2 m ，满足0. 22 【解析】 （1）由 2 2 2 1 1 k y k ，得 2 2 12 21 y y k ，即 2 2 1 21 y k ， 又 2 4 1 1 k x k ，两式相除得 1 2 x k y ，代入 2 4 1 1 k x k ，得 2 1 4 2 1 1 1 2 x y x x y ， 整理得 2 2 142xyy ，即为曲线 1 C的普通方程. （2）设圆心 1 1,0C 到直线l的距离为d，则 2 2 42 3ABd，1d . 2 1 1PDPC， 当 1 PC最小时，PD最小，因为 1 PC的最小值为圆心 1 C到直线 2 C的距离， 所以 1min 1 045 2 22 CP ， 所以 min 2546 1 22 PD . 23 【解析】 （1）因为 34534527f xxxxx，所以27M . （2）由（1）知， 222 11127abc. 因为 2 111bc 222 111211211211abcabbcac 222 311181abc ， 所以 111939abcabc ， 故339abcabc ， 12abc .
