1、2021年新高考数学模拟试卷（30）一选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1（5分）已知集合Ax|x2x60，Bx|ylg（x2），则AB（）A（2，3）B（2，3）C（2，2）D2（5分）若z=i2020+3i1+i，则z的虚部是（）AiB2iC1D13（5分）已知向量a，b均为非零向量，（a-2b）a，|a|b|，则a，b的夹角为（）A6B3C23D564（5分）中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半
2、，走了6天后到达目的地”请问第一天走了（）A192里B68里C48里D220里5（5分）在ABC中角A、B、C所对边分别为a、b、c，若acosAsinC（2ba）sinAcosC，则角C的大小为（）A6B4C3D26（5分）过抛物线y22px（p0）的焦点F作倾斜角为60的直线l交抛物线于A，B两点，且|AF|BF|，则|AF|BF|的值为（）A3B2C32D437（5分）第28届金鸡百花电影节将于11月19日至23日在福建省厦门市举办，近日首批影展片单揭晓，南方车站的聚会春江水暖第一次的离别春潮抵达之谜五部优秀作品将在电影节进行展映若从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位，则春潮与抵达
3、之谜至少有一部被选中的概率为（）A12B35C710D458（5分）已知四棱锥PABCD的体积是363，底面ABCD是正方形，PAB是等边三角形，平面PAB平面ABCD，则四棱锥PABCD外接球体积为（）A2821B99211C6327D1083二多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9（5分）“悦跑圈”是一款基于社交型的跑步应用，用户通过该平台可查看自己某时间段的运动情况，某人根据2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）的数据绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是（）A月跑步里程逐月增加B月跑步里程最大值出现在9月C月跑步里程的中位数为8月份对应的里
4、程数D1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小，变化比较平稳10（5分）若函数f（x）满足（1）对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（x）0（2）对于定义域上的任意x1，x2当x1x2时，恒有f（x1）f（x2），则称函数f（x）为“理想函数”，给出下列四个函数中：f(x)=1x； f（x）x3；f(x)=2x-12x+1；f(x)=-x2，x0x2，x0，则被称为“理想函数”的有（）ABCD11（5分）在平面直角坐标系xOy中，如图放置的边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动（无滑动滚动），点D恰好经过坐标原点，设顶点B（x，y）的轨迹方程是yf（x），则对函数yf（x）的判断正确的
5、是（）A函数yf（x）是奇函数B对任意的xR，都有f（x+4）f（x4）C函数yf（x）的值域为0，22D函数yf（x）在区间6，8上单调递增12（5分）如图，正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点将ADE，CDF，BEF分别沿DE、DF、EF折起，使A、B、C重合于点P则下列结论正确的是（）APDEFB平面PDE平面PDFC二面角PEFD的余弦值为13D点P在平面DEF上的投影是DEF的外心三填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5分）定义在R上的偶函数f（x），对任意xR，均有f（x+4）f（x）成立，当x0，2时，f（x）2x+1，则直线y4与yf（x）的图象交点中最近
6、两点的距离为 14（5分）若(3x+1x2)n展开式中的各项系数之和为1024，则n ，常数项为 15（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左右焦点为F1，F2过点F的直线l与双曲线C的左支交于A，B两点，BF1F2的面积是AF1F2面积的三倍，F1AF290，则双曲线C的离心率为 16（5分）已知函数f（x）x2cosx2，数列an中，anf（n）+f（n+1）（nN*），则数列an的前100项之和S100 四解答题（共6小题，满分70分）17（10分）在各项均不相等的等差数列an中，a11，且a1，a2，a5成等比数列，数列bn的前n项和Sn2n+12（1）求数列an
7、、bn的通项公式；（2）设cn2an+log2bn，求数列cn的前n项和Tn18（12分）在b2+2aca2+c2，acosBbsinA，sinB+cosB=2，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_，A=3，b=2，求ABC的面积19（12分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，整理如下：甲公司员工A：410，390，330，360，320，400，330，340，370，350乙公司
8、员工B：360，420，370，360，420，340，440，370，360，420每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件0.65元，乙公司规定每天350件以内（含350件）的部分每件0.6元超出350件的部分每件0.9元（1）根据题中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快件个数的平均数和众数；（2）为了解乙公司员工B每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为（单位：元），求的分布列和数学期望；（3）根据题中数据估算两公司被抽取员工在该月所得的劳务费20（12分）已知ABC的各边长为3，点D，E分别是AB，BC上的点，且满足CEEA=12，D
9、为AB的三等分点（靠近点A），（如图（1），将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使二面角A1DEB的平面角为90，连接A1B，A1C（如图（2）（1）求证：A1D平面BCED；（2）在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由21（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12，点M(3，32)在椭圆C上，R（x0，y0）是椭圆C上的一点，从原点O向圆R：(x-x0)2+(y-y0)2=127作两条切线，分别交椭圆于P，Q（1）求椭圆C的方程；（2）若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，
10、k2，求k1k2的值；（3）试问|OP|2+|OQ|2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由22（12分）设函数f（x）lnxpx+1，其中p为常数（）求函数f（x）的极值点；（）当p0时，若对任意的x0，恒有在f（x）0，求p的取值范围；（）求证：ln2222+ln3232+lnn2n22n2-n-12(n+1)(nN，n2)2021年新高考数学模拟试卷（30）参考答案与试题解析一选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1（5分）已知集合Ax|x2x60，Bx|ylg（x2），则AB（）A（2，3）B（2，3）C（2，2）D【解答】解：Ax|2x3，Bx|x2，AB（2，3）故选：A
11、2（5分）若z=i2020+3i1+i，则z的虚部是（）AiB2iC1D1【解答】解：z=i2020+3i1+i=1+3i1+i=(1+3i)(1-i)(1+i)(1-i)=2+i，z的虚部是1故选：D3（5分）已知向量a，b均为非零向量，（a-2b）a，|a|b|，则a，b的夹角为（）A6B3C23D56【解答】解：由（a-2b）a，得a2-2ab=0，ab=12a2=12|a|2，cos=ab|a|b|=12|a|2|a|a|=12，又0，则a，b的夹角为=3故选：B4（5分）中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得其关，要见次日
12、行里数，请公仔细算相还”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地”请问第一天走了（）A192里B68里C48里D220里【解答】解：由题意得，每天行走的路程成等比数列an，且公比为12，6天后共走了378里，S6=a11-(12)61-12=378，解得a1192，第一天走了192里，故选：A5（5分）在ABC中角A、B、C所对边分别为a、b、c，若acosAsinC（2ba）sinAcosC，则角C的大小为（）A6B4C3D2【解答】解：由acosAsinC（2ba）sinAcosC，得asinB2bsinAcosC，由正弦
13、定理得：ab2abcosC，cosC=12，又C（0，），C=3，故选：C6（5分）过抛物线y22px（p0）的焦点F作倾斜角为60的直线l交抛物线于A，B两点，且|AF|BF|，则|AF|BF|的值为（）A3B2C32D43【解答】解：抛物线y22px（p0）的焦点坐标为（p2，0），直线l倾斜角为60，直线l的方程为：y0=3（x-p2）设直线与抛物线的交点为A（x1，y1）、B（x2，y2），|AF|x1+p2，|BF|x2+p2，联立方程组，消去y并整理，得12x220px+3p20，解得x1=3p2，x2=p6，|AF|x1+p2=2p，|BF|x2+p2=2p3，|AF|：|BF|
14、3：1，|AF|BF|的值为3故选：A7（5分）第28届金鸡百花电影节将于11月19日至23日在福建省厦门市举办，近日首批影展片单揭晓，南方车站的聚会春江水暖第一次的离别春潮抵达之谜五部优秀作品将在电影节进行展映若从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位，则春潮与抵达之谜至少有一部被选中的概率为（）A12B35C710D45【解答】解：从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位的所有情况为：（南方车站的聚会，春江水暖），（南方车站的聚会，第一次的离别），（南方车站的聚会，春潮），（南方车站的聚会，抵达之谜），（春江水暖，第一次的离别），（春江水暖，春潮，（春江水暖，抵达之谜），（第一次的离别
15、，春潮）（第一次的离别，抵达之谜），（春潮，抵达之谜），共10种情况，其中春潮与抵达之谜至少有一部被选中的有7种，故春潮与抵达之谜至少有一部被选中的概率为p=710故选：C8（5分）已知四棱锥PABCD的体积是363，底面ABCD是正方形，PAB是等边三角形，平面PAB平面ABCD，则四棱锥PABCD外接球体积为（）A2821B99211C6327D1083【解答】解：四棱锥PABCD的体积是363，底面ABCD是正方形，如图所示：则：设正方形ABCD的边长为2x，在等边三角形PAB中，过P点作PEAB，由于平面PAB平面ABCD，所以PE平面ABCD由于PAB是等边三角形，解得PE=3x所以
16、V=132x2x3x=363，解得x3设外接球的半径为R，所以R=(32)2+(3)2=21所以V=43(21)3=84213=2821故选：A二多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9（5分）“悦跑圈”是一款基于社交型的跑步应用，用户通过该平台可查看自己某时间段的运动情况，某人根据2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）的数据绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是（）A月跑步里程逐月增加B月跑步里程最大值出现在9月C月跑步里程的中位数为8月份对应的里程数D1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小，变化比较平稳【解答】解：根据题意，依次分析选
17、项：在A中，2月跑步里程比1月的小，7月跑步里程比6月的小，10月跑步里程比9月的小，故A错误；在B中，月跑步里程9月最大，故B正确；在C中，月跑步平均里程的月份从高到底依次为：9月，10月，11月，6月，5月，8月，1月8月恰好在中间位置，故其中位数为8月份对应的里程数，故C正确；在D中，1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确故选：BCD10（5分）若函数f（x）满足（1）对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（x）0（2）对于定义域上的任意x1，x2当x1x2时，恒有f（x1）f（x2），则称函数f（x）为“理想函数”，给出下列四个函数中：f(x)
18、=1x； f（x）x3；f(x)=2x-12x+1；f(x)=-x2，x0x2，x0，则被称为“理想函数”的有（）ABCD【解答】解：函数f（x）同时满足（1）对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（x）0；（2）对于定义域上的任意x1，x2，当x1x2时，恒有f（x1）f（x2），则称函数f（x）为“理想函数”，“理想函数”既是奇函数，又是减函数，f（x）=1x是奇函数，但不是减函数，故不是“理想函数”；，f（x）x3是奇函数，在（，+）内是减函数，故是“理想函数”；f（x）=2x-12x+1，是非奇非偶函数，故不是“理想函数”；f(x)=-x2，x0x2，x0，是奇函数且是减函数，故是“理
19、想函数”故选：BD11（5分）在平面直角坐标系xOy中，如图放置的边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动（无滑动滚动），点D恰好经过坐标原点，设顶点B（x，y）的轨迹方程是yf（x），则对函数yf（x）的判断正确的是（）A函数yf（x）是奇函数B对任意的xR，都有f（x+4）f（x4）C函数yf（x）的值域为0，22D函数yf（x）在区间6，8上单调递增【解答】解：当4x2，B的轨迹是以A为圆心，半径为2的14圆，当2x2时，B的轨迹是以D为圆心，半径为22的14圆，当2x4时，B的轨迹是以C为圆心，半径为2的14圆，当4x6时，B的轨迹是以A为圆心，半径为2的14圆，作出函数的图象如图，函数为偶
20、函数，故A错误；函数的周期是8，故B正确；函数值域为0，22，故C正确；由图可知，函数在6，8上单调递增；故选：BCD12（5分）如图，正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点将ADE，CDF，BEF分别沿DE、DF、EF折起，使A、B、C重合于点P则下列结论正确的是（）APDEFB平面PDE平面PDFC二面角PEFD的余弦值为13D点P在平面DEF上的投影是DEF的外心【解答】解：如图，由已知可得PE、PF、PD三条侧棱两两互相垂直，则PD平面PEF，PDEF，故A正确；PE平面PDF，而PE平面PDE，平面PDE平面PDF，故B正确；取EF中点G，连接PG，DG，可得PGEF，DGE
21、F，得PGD为二面角PEFD的平面角，设正方形ABCD的边长为2，则PD2，PG=12EF=22，DG=322，cosPGD=22322=13，即二面角PEFD的余弦值为13，故C正确；过P作PODG，则O为P在底面DEF上的射影，PEPD，OEOD，则O不是DEF的外心，故D错误故选：ABC三填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5分）定义在R上的偶函数f（x），对任意xR，均有f（x+4）f（x）成立，当x0，2时，f（x）2x+1，则直线y4与yf（x）的图象交点中最近两点的距离为1【解答】解：对任意的xR均有f（x+4）f（x）成立，yf（x）的周期为4，而yf（x）为偶函数
22、，图象关于y轴对称画出函数的图象，将y4代入f（x）2x+1解得x=32，根据图形可知图象关于x2对称，则在2，4上的交点横坐标为52直线y4与函数yf（x）的图象交点中最近两点的距离等于1故答案为：114（5分）若(3x+1x2)n展开式中的各项系数之和为1024，则n5，常数项为405【解答】解：(3x+1x2)n中，令x1得到展开式的各项系数和为4n1024解得n5，其通项公式为：Tr+1=5r（3x）5r（1x2）r35r5rx5-5r2；令5-5r2=0r1；其常数项为：3451=405故答案为：5，40515（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左右焦点为F1
23、，F2过点F的直线l与双曲线C的左支交于A，B两点，BF1F2的面积是AF1F2面积的三倍，F1AF290，则双曲线C的离心率为102【解答】解：设|AF1|m，|BF1|n，由双曲线的定义可得|AF2|2a+m，|BF2|2a+n，由BF1F2的面积是AF1F2面积的三倍，可得12（2a+m）（m+n）-12m（2a+m）312（2a+m）m，化简可得n3m，由直角三角形ABF1可得（m+n）2+（2a+m）2（2a+n）2，代入n3m，化简可得ma，在直角三角形AF1F2中，可得m2+（2a+m）24c2，即为a2+9a24c2，即c=102a，则e=ca=102，故答案为：10216（5
24、分）已知函数f（x）x2cosx2，数列an中，anf（n）+f（n+1）（nN*），则数列an的前100项之和S10010200【解答】解：f（x）x2cosx2，anf（n）+f（n+1）=n2cosn2+(n+1)2cos(n+1)2，a4n3=(4n-3)2cos4n-32+（4n2）2cos4n-22=-（4n2）2，同理可得：a4n2（4n2）2，a4n1（4n）2，a4n（4n）2a4n3+a4n2+a4n1+a4n2（4n2）2+2（4n）28（4n1）数列an的前100项之和S1008（3+7+99）10200故答案为：10200四解答题（共6小题，满分70分）17（10分）
25、在各项均不相等的等差数列an中，a11，且a1，a2，a5成等比数列，数列bn的前n项和Sn2n+12（1）求数列an、bn的通项公式；（2）设cn2an+log2bn，求数列cn的前n项和Tn【解答】解：（1）在各项均不相等的等差数列an的公差设为d，d0，a11，且a1，a2，a5成等比数列，可得a1a5a22即1（1+4d）（1+d）2，解得d2，则an1+2（n1）2n1；数列bn的前n项和Sn2n+12，可得b1S12；n2时，bnSnSn12n+122n+22n，对n1也成立，则bn2n，nN*；（2）cn2an+log2bn22n1+n，则前n项和Tn（2+8+22n1）+（1+
26、2+n）=2(1-4n)1-4+12n（n+1）=23（4n1）+12（n2+n）18（12分）在b2+2aca2+c2，acosBbsinA，sinB+cosB=2，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_，A=3，b=2，求ABC的面积【解答】解：（1）若选择b2+2ac=a2+c2，由余弦定理cosB=a2+c2-b22ac=2ac2ac=22，（4分）因为B（0，），所以B=4；（5分）由正弦定理asinA=bsinB，得a=bsinAsinB=2sin322=3，（7分）因为A=3，B=4，所以C=-3-4=512，（
27、8分）所以sinC=sin512=sin(4+6)=sin4cos6+cos4sin6=6+24（10分）所以SABC=12absinC=12326+24=3+34（12分）（2）若选择acosBbsinA，则sinAcosBsinBsinA，（3分）因为sinA0，所以sinBcosB，（4分）因为B（0，），所以B=4；（5分）由正弦定理asinA=bsinB，得a=bsinAsinB=2sin322=3，（7分）因为A=3，B=4，所以C=-3-4=512，（8分）所以sinC=sin512=sin(4+6)=sin4cos6+cos4sin6=6+24，（10分）所以SABC=12ab
28、sinC=12326+24=3+34（12分）（3）若选择sinB+cosB=2，则2sin(B+4)=2，所以sin(B+4)=1，（3分）因为B（0，），所以B+4(4，54)，所以B+4=2，所以B=4；（5分）由正弦定理asinA=bsinB，得a=bsinAsinB=2sin322=3，（7分）因为A=3，B=4，所以C=-3-4=512，（8分）所以sinC=sin512=sin(4+6)=sin4cos6+cos4sin6=6+24，（10分）19（12分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某
29、月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，整理如下：甲公司员工A：410，390，330，360，320，400，330，340，370，350乙公司员工B：360，420，370，360，420，340，440，370，360，420每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件0.65元，乙公司规定每天350件以内（含350件）的部分每件0.6元超出350件的部分每件0.9元（1）根据题中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快件个数的平均数和众数；（2）为了解乙公司员工B每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为（单位：元），求的分布列
30、和数学期望；（3）根据题中数据估算两公司被抽取员工在该月所得的劳务费【解答】解：（1）由题意知：甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数为：110(410+390+330+360+320+400+330+340+370+350)=360，众数为330（2）设乙公司员工B1天的投递件数为X，则X的可能取值为340，360，370，420，440，当X340时，=3400.6=204，P(=204)=110，当X360时，=3500.6+(360-350)0.9=219，P(=219)=310，当X370时，=3500.6+(370-350)0.9=228，P(=228)=15，当X420时，
31、=3500.6+(420-350)0.9=273，P(=273)=310，当X440时，=3500.6+(440-350)0.9=291，P(=291)=110，的分布列为 204 219 228 273 291 P 110 310 15 310 110E()=204110+219310+22815+273310+291110=242.7（3）由（1）估计甲公司被抽取员工在该月所得的劳务费为360300.657020（元）由（2）估计乙公司被抽取员工在该月所得的劳务费为：242.70.6304368.6（元）20（12分）已知ABC的各边长为3，点D，E分别是AB，BC上的点，且满足CEEA=
32、12，D为AB的三等分点（靠近点A），（如图（1），将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使二面角A1DEB的平面角为90，连接A1B，A1C（如图（2）（1）求证：A1D平面BCED；（2）在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）正ABC的边长为3，且ADDB=CEEA=12，AD1，AE2，ADE中，DAE60，由余弦定理，得DE=12+22-212cos60=3，AD2+DE24AE2，ADDE折叠后，仍有A1DDE二面角A1DEB成直二面角，平面A1DE平面BCDE，又平面A1DE平面BCDEDE，A
33、1D平面A1DE，A1DDE，A1D平面BCED；（2）假设在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60如图，作PHBD于点H，连接A1H、A1P，由（1）得A1D平面BCED，而PH平面BCED，A1DPHA1D、BD是平面A1BD内的相交直线，PH平面A1BD由此可得PA1H是直线PA1与平面A1BD所成的角，即PA1H60设PBx（0x3），则BHPBcos60=x2，PHPBsin60=32x，在RtPA1H中，PA1H60，A1H=x2，在RtDA1H中，A1D1，DH2-12x，由A1D2+DH2A1H2，得12+（2-12x）2（12x）2，解得x=52，满足0
34、x3符合题意在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60，此时PB=5221（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12，点M(3，32)在椭圆C上，R（x0，y0）是椭圆C上的一点，从原点O向圆R：(x-x0)2+(y-y0)2=127作两条切线，分别交椭圆于P，Q（1）求椭圆C的方程；（2）若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，求k1k2的值；（3）试问|OP|2+|OQ|2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由【解答】解：（1）因为离心率为12，所以c2a2=a2-b2a2=14，所以b2=34a2，椭圆方程可化
35、为x2a2+y234a2=1，代入点M(3，32)得a24，所以椭圆方程为x24+y23=1（2）因为直线OP：yk1x和OQ：yk2x都与圆R相切，所以|k1x0-y0|1+k12=847，|k2x0-y0|1+k22=847，所以k1，k2是方程k2(x02-127)-2kx0y0+y02-127=0的两根，所以k1k2=y02-127x02-127，因为点R（x0，y0）在椭圆上所以y02=3-34x02，所以k1k2=y02-127x02-127=-34(x02-127)x02-127=-34（3）当直线OP、OQ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2）联立y=kx3x2
36、+4y2=12得x12=123+4k12，y12=12k123+4k12，所以x12+y12=12(1+k12)3+4k12，同理x22+y22=12(1+k22)3+4k22因为k1k2=-34所以x22+y22=12(1+k22)3+4k22=16k12+93+4k12，所以|OP|2+|OQ|2=x12+y12+x22+y22=7(3+4k12)3+4k12=7，当直线OP、OQ落在坐标轴上时，显然有|OP|2+|OQ|27综上，|OP|2+|OQ|2722（12分）设函数f（x）lnxpx+1，其中p为常数（）求函数f（x）的极值点；（）当p0时，若对任意的x0，恒有在f（x）0，求p
37、的取值范围；（）求证：ln2222+ln3232+lnn2n22n2-n-12(n+1)(nN，n2)【解答】解：（）f（x）lnxpx+1定义域为（0，+），f(x)=1x-p=1-pxx，当p0时，f（x）0，f（x）在（0，+）上无极值点当p0时，令f（x）0，x=1p（0，+），f（x）、f（x）随x的变化情况如下表：x（0，1p） 1p（1p，+）f（x）+0f（x）极大值从上表可以看出：当p0时，f（x）有唯一的极大值点x=1p（）当p0时，在x=1p处取得极大值f(1p)=ln1p，此极大值也是最大值，要使f（x）0恒成立，只需f(1p)=ln1p0，p1p的取值范围为1，+）（）令p1，由（）知，lnxx+10，lnxx1，nN，n2lnn2n21，lnn2n2n2-1n2=1-1n2ln2222+ln3232+lnn2n2(1-122)+(1-132)+(1-1n2)=(n-1)-(122+132+1n2)(n-1)-(123+134+1n(n+1)=(n-1)-(12-13+13-14+1n-1n+1)=(n-1)-(12-1n+1)=2n2-n-12(n+1) 结论成立
