1、第1章 直角三角形的边角关系单元测试卷一选择题（共10小题）1如图，在RtABC中，C90，AB10，AC8，则sinA等于（）ABCD2已知A为锐角，且tanA，则A的取值范围是（）A0A30B30A45C45A60D60A903在RtABC中，若C90，cosA，则sinA的值为（）ABCD4在RtABC中，C90，sinA，则cosB等于（）ABCD5sin30 的值为（）ABCD6下面四个数中，最大的是（）ABsin88Ctan46D7如图是教学用直角三角板，边AC30cm，C90，tanBAC，则边BC的长为（）A30cmB20cmC10cmD5cm8如图，要测量小河两岸相对的两点P
2、，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC100米，PCA35，则小河宽PA等于（）A100sin35米B100sin55米C100tan35米D100tan55米9如图在坡角为a的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）A5cosaBC5sinaD10如图，在一个20米高的楼顶上有一信号塔DC，某同学为了测量信号塔的高度，在地面的A处测得信号塔下端D的仰角为30，然后他正对塔的方向前进了8米到达地面的B处，又测得信号塔顶端C的仰角为45，CDAB于点E，E、B、A在一条直线上信号塔CD的高度为（）A20B208C2028D2020二填
3、空题（共5小题）11如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则ABC的正切值是 12比较下列三角函数值的大小：sin40 sin5013在RtABC中，C90，sinA，则tanA 14已知在RtABC中，C90，sinA，则tanB的值为 15在ABC中，A、B为锐角，且|tanA1|+（cosB）20，则C 三解答题（共6小题）16学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）如图，在ABC中，
4、ABAC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的根据上述对角的正对定义，解下列问题：（1）sad60的值为 A B1 C D2（2）对于0A180，A的正对值sadA的取值范围是 （3）已知sin，其中为锐角，试求sad的值17下列关系式是否成立（090），请说明理由（1）sin+cos1；（2）sin22sin18计算： +（）14cos45（）019在RtABC中，C90（1）已知c25，b15，求a；（2）已知a，A60，求b、c20一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长AB50cm，拉杆最大伸长距离BC35cm，（点A、B、C在同
5、一条直线上），在箱体的底端装有一圆形滚轮A，A与水平地面切于点D，AEDN，某一时刻，点B距离水平面38cm，点C距离水平面59cm（1）求圆形滚轮的半径AD的长；（2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，已知某人的手自然下垂在点C处且拉杆达到最大延伸距离时，点C距离水平地面73.5cm，求此时拉杆箱与水平面AE所成角CAE的大小（精确到1，参考数据：sin500.77，cos500.64，tan501.19）21如图，一辆摩拜单车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于地面的水平线上，A、B之间的距离约为49cm，现测得AC、BC与AB的夹角分别为45与68，若点C到地
6、面的距离CD为28cm，坐垫中轴E处与点B的距离BE为4cm，求点E到地面的距离（结果保留一位小数）（参考数据：sin680.93，cos680.37，cot680.40）2019年北师大版数学下册第1章 直角三角形的边角关系单元测试卷参考答案与试题解析一选择题（共10小题）1如图，在RtABC中，C90，AB10，AC8，则sinA等于（）ABCD【分析】先根据勾股定理求得BC6，再由正弦函数的定义求解可得【解答】解：在RtABC中，AB10、AC8，BC6，sinA，故选：A【点评】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及正弦函数的定义2已知A为锐角，且tanA，则A的取
7、值范围是（）A0A30B30A45C45A60D60A90【分析】首先明确tan451，tan60，再根据正切值随角增大而增大，进行分析【解答】解：tan451，tan60，正切值随角增大而增大，又1，45A60故选：C【点评】熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键3在RtABC中，若C90，cosA，则sinA的值为（）ABCD【分析】先根据特殊角的三角函数值求出A的值，再求出sinA的值即可【解答】解：RtABC中，C90，A是锐角，cosA设AB25x，AC7x，由勾股定理得：BC24x，sinA，故选：A【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，主要考察学生对锐角三
8、角函数的定义的理解能力和计算能力4在RtABC中，C90，sinA，则cosB等于（）ABCD【分析】根据三角函数定义解答【解答】解：在RtABC中，C90，sinA，设BC3x，则AB5x，AC4xcosB故选：C【点评】本题可以考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边5sin30 的值为（）ABCD【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案【解答】解：sin30，故选：A【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键6下面四个数中，最大的是（）ABsin88Ctan46D【分析】利用计算器求出数值，再计算即可【
9、解答】解：A、2.2361.7320.504；B、sin880.999；C、tan461.036；D、0.568故tan46最大，故选：C【点评】本题结合计算器的用法，旨在考查对基本概念的应用能力7如图是教学用直角三角板，边AC30cm，C90，tanBAC，则边BC的长为（）A30cmB20cmC10cmD5cm【分析】因为教学用的直角三角板为直角三角形，所以利用三角函数定义，一个角的正切值等于这个角的对边比邻边可知角BAC的对边为BC，邻边为AC，根据角BAC的正切值，即可求出BC的长度【解答】解：直角ABC中，C90，tanBAC，又AC30cm，tanBAC，BCACtanBAC301
10、0（cm）故选：C【点评】此题考查解直角三角形，锐角三角函数的定义，熟知tanBAC是解答此题的关键8如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC100米，PCA35，则小河宽PA等于（）A100sin35米B100sin55米C100tan35米D100tan55米【分析】根据正切函数可求小河宽PA的长度【解答】解：PAPB，PC100米，PCA35，小河宽PAPCtanPCA100tan35米故选：C【点评】考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）根据
11、题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案9如图在坡角为a的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）A5cosaBC5sinaD【分析】运用余弦函数求两树在坡面上的距离AB即可【解答】解：由于相邻两树之间的水平距离为5米，坡角为，则两树在坡面上的距离AB故选：B【点评】此题主要考查了坡度坡角问题，正确掌握三角函数关系是解题关键10如图，在一个20米高的楼顶上有一信号塔DC，某同学为了测量信号塔的高度，在地面的A处测得信号塔下端D的仰角为30，然后他正对塔的方向前进了8米到达地面的B处，又测得信号
12、塔顶端C的仰角为45，CDAB于点E，E、B、A在一条直线上信号塔CD的高度为（）A20B208C2028D2020【分析】利用30的正切值即可求得AE长，进而可求得CE长CE减去DE长即为信号塔CD的高度【解答】解：根据题意得：AB8米，DE20米，A30，EBC45，在RtADE中，AEDE20米，BEAEAB208（米），在RtBCE中，CEBEtan45（208）1208（米），CDCEDE208202028（米）；故选：C【点评】本题考查了解直角三角形仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形；难点是充分找到并运用题中相等的线段二填空题（共5小题）11如图，在网格中
13、，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则ABC的正切值是【分析】连接AC，根据网格特点和正方形的性质得到BAC90，根据勾股定理求出AC、AB，根据正切的定义计算即可【解答】解：连接AC，由网格特点和正方形的性质可知，BAC90，根据勾股定理得，AC，AB2，则tanABC，故答案为：【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理及其逆定理的应用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边12比较下列三角函数值的大小：sin40 sin50【分析】根据当090，sin随的增大而增大即可得到sin40sin50【解答】解：4050，sin40sin50
14、故答案为【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性：对于正弦函数，当090，sin随的增大而增大13在RtABC中，C90，sinA，则tanA【分析】根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长，再根据勾股定理求出另一直角边的长，运用三角函数的定义解答【解答】解：由sinA知，可设a3x，则c5x，b4xtanA【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值14已知在RtABC中，C90，sinA，则tanB的值为【分析】根据所给的角的正弦值可得两条边的比，进而可得第三边长，tanB的值B的对边与邻边之比
15、【解答】解：在RtABC中，C90，sinA，sinA，设a为3k，则c为5k，根据勾股定理可得：b4k，tanB，故答案为：【点评】考查求锐角的三角函数值的方法通常为：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值15在ABC中，A、B为锐角，且|tanA1|+（cosB）20，则C75【分析】根据非负数的性质求出tanA和cosB的值，然后求出A、B的度数，最后求出C【解答】解：由题意得，tanA1，cosB，则A45，B60，则C180456075故答案为：75【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值三解答题（共6小题）16学习过三角函数，我
16、们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）如图，在ABC中，ABAC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的根据上述对角的正对定义，解下列问题：（1）sad60的值为A B1 C D2（2）对于0A180，A的正对值sadA的取值范围是0sadA2（3）已知sin，其中为锐角，试求sad的值【分析】（1）根据等腰三角形的性质，求出底角的度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对的定
17、义解答；（2）求出0度和180度时等腰三角形底和腰的比即可；（3）作出直角ABC，构造等腰三角形ACD，根据正对的定义解答【解答】解：（1）根据正对定义，当顶角为60时，等腰三角形底角为60，则三角形为等边三角形，则sad601故选B（2）当A接近0时，sad接近0，当A接近180时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sad接近2于是sadA的取值范围是0sadA2故答案为0sadA2（3）如图，在ABC中，ACB90，sinA在AB上取点D，使ADAC，作DHAC，H为垂足，令BC3k，AB5k， 则ADAC4k，又在ADH中，AHD90，sinADHADsinAk，AHk则在CDH中，CHA
18、CAHk，CDk于是在ACD中，ADAC4k，CDk由正对的定义可得：sadA，即sad【点评】此题是一道新定义的题目，考查了正对这一新内容，要熟悉三角函数的定义，可进行类比解答17下列关系式是否成立（090），请说明理由（1）sin+cos1；（2）sin22sin【分析】（1）利用三角函数的定义和三角形的三边关系得到该结论不成立；（2）举出反例进行论证【解答】解：（1）该不等式不成立，理由如下：如图，在ABC中，B90，C则sin+cos+1，故sin+cos1不成立；（2）该等式不成立，理由如下：假设30，则sin2sin60，2sin2sin3021，1，sin22sin，即sin22
19、sin不成立【点评】本题考查了同角三角函数的关系解题的关键是掌握锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值18计算： +（）14cos45（）0【分析】先根据二次根式的化简、负整数指数幂、特殊角的三角函数值及0指数幂把原式化简，再根据实数混合运算的法则进行计算即可【解答】解：原式2+241，2+221，1故答案为：1【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂及二次根式等考点的运算19在RtABC中，C90（1）已知c25，b15，求a；（2）已知a，A60，求b、c【分析】（1）根据勾股定理即可直接求出
20、a的值；（2）根据直角三角形的性质与勾股定理即可求出b、c的值【解答】解：（1）根据勾股定理可得：a20；（2）ABC为Rt，A60，B30，c2b，根据勾股定理可得：a2+b2c2，即6+b2（2b）2，解得b，则c2【点评】考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质，进行逻辑推理能力和运算能力20一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长AB50cm，拉杆最大伸长距离BC35cm，（点A、B、C在同一条直线上），在箱体的底端装有一圆形滚轮A，A与水平地面切于点D，AEDN，某一时刻，点B距离水平面38cm，点C距离水平面59cm（1）求圆形滚轮的半径AD的长；（2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，
21、人感觉较为舒服，已知某人的手自然下垂在点C处且拉杆达到最大延伸距离时，点C距离水平地面73.5cm，求此时拉杆箱与水平面AE所成角CAE的大小（精确到1，参考数据：sin500.77，cos500.64，tan501.19）【分析】（1）作BHAF于点G，交DM于点H，则ABGACF，设圆形滚轮的半径AD的长是xcm，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列方程求得x的值；（2）求得CF的长，然后在直角ACF中，求得sinCAF，即可求得角的度数【解答】解：（1）作BHAF于点G，交DM于点H则BGCF，ABGACF设圆形滚轮的半径AD的长是xcm则，即，解得：x8则圆形滚轮的半径AD的长是8c
22、m；（2）CF73.5865.5（m）则sinCAF0.77，则CAF50【点评】此题考查了三角函数的基本概念，主要是正弦概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算21如图，一辆摩拜单车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于地面的水平线上，A、B之间的距离约为49cm，现测得AC、BC与AB的夹角分别为45与68，若点C到地面的距离CD为28cm，坐垫中轴E处与点B的距离BE为4cm，求点E到地面的距离（结果保留一位小数）（参考数据：sin680.93，cos680.37，cot680.40）【分析】过点C作CHAB于点H，过点E作EF垂直于AB延长线于点F，设CHx，则AHCHx，BHCHcot680.4x，由AB49知x+0.4x49，解之求得CH的长，再由EFBEsin683.72根据点E到地面的距离为CH+CD+EF可得答案【解答】解：过点C作CHAB于点H，过点E作EF垂直于AB延长线于点F，设CHx，则AHCHx，BHCHcot680.4x，由AB49知x+0.4x49，解得：x35，BE4，EFBEsin683.72，则点E到地面的距离为CH+CD+EF35+28+3.7266.7（cm），答：点E到地面的距离约为66.7cm【点评】本题主要考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，解题的关键是理解题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义
