1、2021年新高考数学模拟试卷（35）一选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1（5分）已知集合A=x|y=lg(x+2)，B=y|y=x2+1，则A（RB）（）AB1，+）C（2，1D（2，1）2（5分）已知i是虚数单位，复数z满足zi3+2i=1-i，则z=（）A1+5iB15iC15iD1+5i3（5分）某车间生产A，B，C三种不同型号的产品，产量之比分别为5：k：3，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本进行检验，已知B种型号的产品共抽取了24件，则C种型号的产品抽取的件数为（）A12B24C36D604（5分）两个实习生每人加工一个零件加工为一等品的概率分别
2、为56和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）A12B13C512D165（5分）已知向量a=(m，2)，b=(2，-2)，且ab，则|a-b|a(a+b)等于（）A-12B12C0D16（5分）已知a=312，b=log23，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）AabcBacbCbacDcba7（5分）函数f（x）x2+e|x|的图象只可能是（）ABCD8（5分）已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若(F2F1+F2A)F1A=0，则此双曲线的标准
3、方程可能为（）Ax2-y212=1Bx23-y24=1Cx216-y29=1Dx29-y216=1二多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9（5分）若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=13，E（X）、D（X）分别为随机变量X均值与方差，则下列结论正确的是（）AP（X1）E（X）BE（3X+2）4CD（3X+2）4DD(X)=4910（5分）下列选项中说法正确的是（）A若非零向量a，b满足ab0，则a与b的夹角为锐角B若命题P存在x0R，使得x02-x0+10，则p：对任意xR，都有x2x+10C已知yf（x）是R上的可导函数，则“f（x0）0”是“x0是函数yf（x）的极值点”的必
4、要不充分条件D在ABC中，“若sinAsinB，则AB”的逆否命题是真命题11（5分）在正三棱锥ABCD中，侧棱长为3，底面边长为2，E，F分别为棱AB，CD的中点，则下列命题正确的是（）AEF与AD所成角的正切值为32BEF与AD所成角的正切值为23CAB与面ACD所成角的余弦值为7212DAB与面ACD所成角的余弦值为7912（5分）将函数f（x）sin2x的图象向右平移4个单位后得到函数g（x）的图象，则函数g（x）具有性质（）A在(0，4)上单调递增，为偶函数B最大值为1，图象关于直线x=-32对称C在(-38，8)上单调递增，为奇函数D周期为，图象关于点(34，0)对称三填空题（共4
5、小题，满分20分，每小题5分）13（5分）已知函数f（x）alnxbx2图象上一点（2，f（2）处的切线方程为y3x+2ln2+2，则a+b 14（5分）设x1，则当yx+4x+1取最小值时，x的值为 15（5分）已知抛物线C：y24x的焦点为F，斜率为1的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P，若AP=3PB，则|AF|+|BF| ，|AB| 16（5分）在三棱锥PABC中，PAPC23，BABC=3，ABC90，若PA与底面ABC所成的角为60，则三棱锥PABC的外接球的表面积 四解答题（共6小题，满分70分）17（10分）在ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，且A、B、C成等
6、差数列ABC的面积为32（ 1 ）求：ac的值； （ 2 ）若b=3，求：a，c 的值18（12分）已知公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn，若S530，且a1，a2，a4成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）若bn=1(an-1)(an+1)，求数列bn的前n项和Tn19（12分）如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，PAD是等边三角形，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，ABBC=12AD，E为CD中点（1）求证：平面PAB平面PAD；（2）求二面角PAEB的余弦值20（12分）已知椭圆C：x2a2+y2=1（a1）的离心率是22（）求椭圆C的方程；（）
7、已知F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，过F2作斜率为k的直线l，交椭圆C于A，B两点，直线F1A，F1B分别交y轴于不同的两点M，N如果MF1N为锐角，求k的取值范围21（12分）已知函数f(x)=ex-1x+a（1）判断f（x）极值点的个数；（2）若x0时，exf（x）恒成立，求实数a的取值范围22（12分）某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格“不合格“两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如图：等级不合格合格得分20，40）40，60）60，80）
8、80，100频数6a24b（1）由该题中频率分布直方图求测试成绩的平均数和中位数；（2）其他条件不变，在评定等级为“合格”的学生中依次抽取2人进行座谈，每次抽取1人，求在第1次抽取的测试得分低于80分的前提下，第2次抽取的测试得分仍低于80分的概率；（3）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈，现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为，求的数学期望E（）2021年新高考数学模拟试卷（35）参考答案与试题解析一选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1（5分）已知集合A=x|y=lg(x+2)，B=y|y=x2+1，则A（RB）（）AB1，+）C（
9、2，1D（2，1）【解答】解：集合Ax|ylg（x+2）（2，+），By|y11，+），RB（，1）；则A（RB）（2，1），故选：D2（5分）已知i是虚数单位，复数z满足zi3+2i=1-i，则z=（）A1+5iB15iC15iD1+5i【解答】解：因为zi3+2i=1-i，所以zi（1i）（3+2i）5i，所以z=-1-5i，z-1+5i，故选：D3（5分）某车间生产A，B，C三种不同型号的产品，产量之比分别为5：k：3，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本进行检验，已知B种型号的产品共抽取了24件，则C种型号的产品抽取的件数为（）A12B24C36D60【解答】
10、解：由题意可得24120=k5+k+3，求得k2则C种型号的产品抽取的件数为 12035+2+3=36，故选：C4（5分）两个实习生每人加工一个零件加工为一等品的概率分别为56和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）A12B13C512D16【解答】解：由于两个零件是否加工为一等品相互独立，所以两个零件中恰有一个一等品为：两人一个为一个为一个一等品，另一个不为一等品P=56(1-34)+(1-56)34=13，故选：B5（5分）已知向量a=(m，2)，b=(2，-2)，且ab，则|a-b|a(a+b)等于（）A-12B12C0D1【解答】解：向量a=(
11、m，2)，b=(2，-2)，且ab，所以ab=2m40，解得m2；所以a=（2，2），所以(a-b)2=a2-2ab+b2=80+816，所以|a-b|4，所以a（a+b）=a2+ab=8+08，所以|a-b|a(a+b)=48=12故选：B6（5分）已知a=312，b=log23，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）AabcBacbCbacDcba【解答】解：31230=1，12=log22log23log22=1，log32log33=12，abc故选：A7（5分）函数f（x）x2+e|x|的图象只可能是（）ABCD【解答】解：因为对于任意的xR，f（x）x2+e|x|0恒成立，所
12、以排除A，B，由于f（0）02+e|0|1，则排除D，故选：C8（5分）已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若(F2F1+F2A)F1A=0，则此双曲线的标准方程可能为（）Ax2-y212=1Bx23-y24=1Cx216-y29=1Dx29-y216=1【解答】解：若（F2F1+F2A）F1A=0，即为若（F2F1+F2A）（-F2F1+F2A）0，可得AF22=F2F12，即有|AF2|F2F1|2c，由双曲线的定义可得|AF1|2a+2c，在等腰三角形AF1F2中，tanAF2F1=-247，
13、cosAF2F1=-725=4c2+4c2-(2a+2c)222c2c，化为3c5a，即a=35c，b=45c，可得a：b3：4，a2：b29：16故选：D二多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9（5分）若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=13，E（X）、D（X）分别为随机变量X均值与方差，则下列结论正确的是（）AP（X1）E（X）BE（3X+2）4CD（3X+2）4DD(X)=49【解答】解：随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=13，P（X1）=23，E（X）=013+123=23，D（X）（0-23）213+（1-23）223=29，在A中，P（X1）E（X），故A正确
14、；在B中，E（3X+2）3E（X）+2323+2=4，故B正确；在C中，D（3X+2）9D（X）929=2，故C错误；在D中，D（X）=29，故D错误故选：AB10（5分）下列选项中说法正确的是（）A若非零向量a，b满足ab0，则a与b的夹角为锐角B若命题P存在x0R，使得x02-x0+10，则p：对任意xR，都有x2x+10C已知yf（x）是R上的可导函数，则“f（x0）0”是“x0是函数yf（x）的极值点”的必要不充分条件D在ABC中，“若sinAsinB，则AB”的逆否命题是真命题【解答】解：对于A，a，b同向时，a与b的夹角为0，不是锐角，故不正确；对于B，根据命题的否定可知P：对任意
15、xR，都有x2x+10，可知不正确；对于C，已知yf（x）是 R上的可导函数，则“f（x0）0”函数不一定有极值，“x0是函数yf（x）的极值点”必要不充分条件，正确；对于D，sinAsinB由正弦定理可得ab，由于大边对大角，AB即原命题正确，逆否命题是真命题，故正确，故选：CD11（5分）在正三棱锥ABCD中，侧棱长为3，底面边长为2，E，F分别为棱AB，CD的中点，则下列命题正确的是（）AEF与AD所成角的正切值为32BEF与AD所成角的正切值为23CAB与面ACD所成角的余弦值为7212DAB与面ACD所成角的余弦值为79【解答】解：取BD中点M，BC中点N，连结EM，FM，AN，DN
16、，在正三棱锥ABCD中，侧棱长为3，底面边长为2，E，F分别为棱AB，CD的中点，ANBC，DNBC，又ANDNN，BC平面ADN，AD平面ADN，ADBC，EMAD，且EM=12AD=32，EFBC，EF=12BC=1，EMMF，EF与AD所成角为FEM，EF与AD所成角的正切值为tanFEM=MFEM=132=23，故A错误，B正确；连结BF，AF，则AFCD，BFCD，又AFBFF，CD平面ABF，过点B作BPAF，交AF于P，则BPCD，CDAFF，BP平面ACD，BAF是AB与面ACD所成角，AB3，AF=9-1=22，BF=4-1=3，cosBAF=AB2+AF2-BF22ABAF
17、=9+8-32322=7212AB与面ACD所成角的余弦值为7212，故C正确，D错误故选：BC12（5分）将函数f（x）sin2x的图象向右平移4个单位后得到函数g（x）的图象，则函数g（x）具有性质（）A在(0，4)上单调递增，为偶函数B最大值为1，图象关于直线x=-32对称C在(-38，8)上单调递增，为奇函数D周期为，图象关于点(34，0)对称【解答】解：将函数f（x）sin2x的图象向右平移4个单位后得到函数g（x）的图象，则g（x）sin2（x-4）sin（2x-2）cos2x，则函数g（x）为偶函数，当0x4时，02x2，此时g（x）为增函数，故A正确，函数的最大值为1，当x=-
18、32时，g（x）cos（3）cos1，为最大值，则函数图象关于直线x=-32对称，故B正确，函数为偶函数，故C错误，函数的周期T=22=，g（34）cos（342）cos32=0，即图象关于点(34，0)对称，故D正确故正确的是ABD，故选：ABD三填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5分）已知函数f（x）alnxbx2图象上一点（2，f（2）处的切线方程为y3x+2ln2+2，则a+b3【解答】解：将x2代入切线得f（2）2ln24所以2ln24aln24b，又f(x)=ax-2bx，f(2)=a2-4b=-3，联立解得a2，b1所以a+b3故答案为：314（5分）设x1，则当y
19、x+4x+1取最小值时，x的值为1【解答】解：x1，x+10，则yx+4x+1=x+1+4x+1-13，当且仅当x+1=4x+1即x1时取等号，故答案为：115（5分）已知抛物线C：y24x的焦点为F，斜率为1的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P，若AP=3PB，则|AF|+|BF|12，|AB|82【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），斜率为1的直线l的方程为xy+m，则P（m，0），联立x=y+my2=4x，得y24y4m0，y1+y2=4y1y2=-4m，AP=3PB，y13y2，又y1+y24，y16，y22，从而x19，x21，故|AF|+|BF|x1+x2+21
20、2由A（9，6），B（1，2），得|AB|=82故答案为：12；8216（5分）在三棱锥PABC中，PAPC23，BABC=3，ABC90，若PA与底面ABC所成的角为60，则三棱锥PABC的外接球的表面积15【解答】解：因为PAPC23，BABC=3，所以P在底面的投影在ABC的角平分线上，设为E，再由若PA与底面ABC所成的角为60可得AEPAcos602312=3，可得E，B重合，PBPAsin602332=3，即PB面ABC，由ABC90可得，将三棱锥PABC放在长方体中，由长方体的对角线为外接球的直径2R可得：4R232+（3）2+（3）215，所以外接球的表面积S4R215，故答案
21、为：15四解答题（共6小题，满分70分）17（10分）在ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，且A、B、C成等差数列ABC的面积为32（ 1 ）求：ac的值； （ 2 ）若b=3，求：a，c 的值【解答】解：（1）A、B、C成等差数列2BA+CB=3，S=12acsinB=32ac2 （ 2 ）b2a2+c22accosB，a2+c25ac2a=2c=1或a=1c=218（12分）已知公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn，若S530，且a1，a2，a4成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）若bn=1(an-1)(an+1)，求数列bn的前n项和Tn【解答】解：（1）设等差数列a
22、n的公差为d，d0由S530，得305a1+10d，a1，a2，a4成等比数列，a22=a1a4，则(a1+d)2=a1(a1+3d)，由解得：a1=2d=2，数列an的通项公式为an2+2（n1）2n；（2）由bn=1(an-1)(an+1)，得bn=1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1)数列bn的前n项和Tnb1+b2+bn=12(1-13+13-15+12n-1-12n+1)=n2n+119（12分）如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，PAD是等边三角形，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，ABBC=12AD，E为CD中点（1）求证：平面P
23、AB平面PAD；（2）求二面角PAEB的余弦值【解答】（1）证明：ABAD，侧面PAD底面ABCD，侧面PAD底面ABCDAD，AB侧面PAD，又AB平面ABCD，平面PAB平面PAD（2）解：如图所示，建立空间直角坐标系不妨设AB1A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，1，3），E（12，32，0），AP=（0，1，3），AE=（12，32，0），设平面PAE的法向量为n=（x，y，z），则nAP=nAE=0，y+3z0，12x+32y0，取n=（33，-3，1）取平面ABE的法向量为m=（0，0，1）cosm，n=131=3131由图可得：二面角PAEB的平面角为钝角，可得余弦值为-
24、313120（12分）已知椭圆C：x2a2+y2=1（a1）的离心率是22（）求椭圆C的方程；（）已知F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，过F2作斜率为k的直线l，交椭圆C于A，B两点，直线F1A，F1B分别交y轴于不同的两点M，N如果MF1N为锐角，求k的取值范围【解答】解：（）由题意，ca=22b2=1a2=b2+c2，解得a22椭圆C的方程为x22+y2=1；（）由已知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为yk（x1），直线l与椭圆C的交点A（x1，y1），B（x2，y2），联立y=k(x-1)x22+y2=1，得（2k2+1）x24k2x+2k220由已知，0恒成立，且x1+x2=4k2
25、2k2+1，x1x2=2k2-22k2+1，直线F1A的方程为y=y1x1+1(x+1)，令x0，得M（0，y1x1+1），同理可得N（0，y2x2+1）F1MF1N=1+y1y2(x1+1)(x2+1)=1+k2(x1-1)(x2-1)(x1+1)(x2+1)=(1+k2)x1x2+(1-k2)(x1+x2)+1+k2x1x2+x1+x2+1，将代入并化简得：F1MF1N=7k2-18k2-1，依题意，MF1N为锐角，则F1MF1N=7k2-18k2-10，解得：k217或k218综上，直线l的斜率的取值范围为（，-77）（-24，0）（0，24）（77，+）21（12分）已知函数f(x)=
26、ex-1x+a（1）判断f（x）极值点的个数；（2）若x0时，exf（x）恒成立，求实数a的取值范围【解答】解：（1）由f（x）=ex-1x+a，得f（x）=(x-1)ex+1x2x0；设g（x）（x1）ex+1，则g（x）xex，当x（，0）时，g（x）0，所以g（x）在（，0）上是减函数，当x（0，+）时，g（x）0，所以g（x）在（0，+）上是增函数，所以g（x）g（0）0，所以f（x）0，所以f（x）在定义域上是增函数，f（x）极值点个数为0（2）exf（x）（x0），可化为（1x）ex+ax10令h（x）（1x）ex+ax1，（x0），则问题等价于当x0时，h（x）0h（x）xex+
27、a，令m（x）xex+a，则m（x）在（0，+）上是减函数当a0时，m（x）m（0）a0所以h（x）0，h（x）在（0，+）上是减函数所以h（x）h（0）0当a0时，m（0）a0，m（a）aea+aa（1ea）0，所以存在x0（0，a），使m（x0）0当x（0，x0）时，m（x）0，h（x）0，h（x）在（0，x0）上是增函数因为h（0）0，所以当x（0，x0）时，h（x）0，不满足题意综上所述，实数a的取值范围是（，022（12分）某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格“不合格“两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格
28、”记0分现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如图：等级不合格合格得分20，40）40，60）60，80）80，100频数6a24b（1）由该题中频率分布直方图求测试成绩的平均数和中位数；（2）其他条件不变，在评定等级为“合格”的学生中依次抽取2人进行座谈，每次抽取1人，求在第1次抽取的测试得分低于80分的前提下，第2次抽取的测试得分仍低于80分的概率；（3）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈，现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为，求的数学期望E（）【解答】解：由题意知，样本容量为60.00520=60，b60（0.012
29、0）12，a606122418，c=186020=0.015（1）平均数为（300.005+500.015+700.02+900.01）2064设中位数为x，0.00520+0.015200.40.5，0.00520+0.01520+0.02200.80.5x（60，80），则0.00520+0.01520+（x60）0.020.5，解得x65；（2）由题意可知，分数在60，80）内的学生有24人，分数在80，100内的学生有12人设“第1次抽取的测试得分低于80分”为事件A，“第2次抽取的测试得分低于80分”为事件B，则P（A）=2436=23，P（AB）=24233635=46105，P（
30、B|A）=P(AB)P(A)=2335；（3）从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中用分层抽样的方法抽取10人，则“不合格”的学生人数为为246010=4，“合格”的学生人数为1046人由题意可得的所有可能取值为0，5，10，15，20，P（0）=C44C104=1210，P（5）=C43C61C104=24210，P（10）=C42C62C104=90210，P（15）=C41C63C104=80210，P（20）=C64C104=15210的分布列为： 05101520 P 121024210 90210 80210 15210E（）0+24210+1090210+1580210+2015210=12
