1、2021年新高考数学模拟试卷（19）一选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1（5分）已知AxN*|x3，Bx|x24x0，则AB（）A1，2，3B1，2C（0，3D（3，42（5分）若（4mi）（m+i）0，其中i为虚数单位，则实数m的值为（）A2B4C4D23（5分）已知为任意角，则“cos2=13”是“sin=33”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要4（5分）我国南宋数学家杨辉在所著的详解九章算法一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律，去掉所有为1的项，依次构成2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，6，则此数列的前50项和为（）A202
2、5B3052C3053D30495（5分）已知a，b均为单位向量，若a，b夹角为23，则|a-b|=（）A7B6C5D36（5分）掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷2020次，那么抛掷第2019次时出现正面向上的概率是（）A12019B12C12020D201920207（5分）过点P（5，3）作圆O：（x2）2+（y1）225的切线l，直线m：3xay20与直线l平行，则直线l与m的距离为（）A1B2C5D2958（5分）已知函数f（x）=(1-3a)x+2a(x0)(a-3)x2+2(x0)，在（，+）上是减函数，则实数a的取值范围为（）A（2，3）B1，3）C（1，3）D1，3二多选题（共4
3、小题，满分20分，每小题5分）9（5分）已知某校高三的甲、乙、丙三个班各有50名学生，在一次数学模拟考试中，三个班的学生成绩的各分数段累计人数折线图如图所示根据图中的成绩信息，下列结论中正确的是（）A三个班的成绩的中位数，乙班最高，丙班最低B三个班的平均成绩，丙班最低C三个班中成绩在60分以下的人数，丙班最多；80分以上的人数，乙班最多D模拟考试的最高分出现在乙班10（5分）已知双曲线C过点（3，2）且渐近线为y33x，则下列结论正确的是（）AC的方程为x23-y21BC的离心率为3C曲线yex21经过C的一个焦点D直线x-2y-10与C有两个公共点11（5分）如图，在正方体ABCDA1B1C
4、1D1中，点P是对角线AC1上一动点，在点P从顶点A移动到顶点C1的过程中，下列结论中正确的有（）A二面角PA1DB1的取值范围是0，2B直线AC1与平面A1DP所成的角逐渐增大C存在一个位置，使得AC1平面A1DPD存在一个位置，使得平面A1DP平面B1CD112（5分）设点P是曲线yex-3x+23上的任意一点，P点处的切线的倾斜角为，则角的取值范围包含下列哪些（）A23，）B2，56）C0，2）D0，2）56，）三填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5分）已知cos(x-3)=13，则cos(2x+3)+sin2(3-x)的值为 14（5分）若x2020a0+a1（x1）+a
5、2（x1）2+a2020（x1）2020，则a13+a232+a202032020= 15（5分）已知三棱锥PABC的所有顶点都在球O的球面上，BAC90，AB=AC=22，PA2，PACPAB，则当球O的表面积最小时，三棱锥PABC的体积为 16（5分）已知F是抛物线C：y24x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M为FN的中点，则|FN| 四解答题（共6小题，满分70分）17（10分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ca（cosBsinB）（）求A；（）已知c=10，BC边上的高AD1，求b的值18（12分）设等比数列an的首项为a，公比q0且q1，前n
6、项和为Sn（）当a1时，S1+1，S2+2，S3+1三数成等差数列，求数列an的通项公式；（）对任意正整数n，命题甲：Sn，（Sn+1+1），Sn+2三数构成等差数列 命题乙：Sn+1，（Sn+2+1），Sn+3三数构成等差数列求证：对于同一个正整数n，命题甲与命题乙不能同时为真命题19（12分）已知三棱柱ABCA1B1C1，点O为棱AB的中点（）求证：BC1平面A1CO；（）若ABC是等边三角形，且ABAA1，A1AB60，平面AA1B1B平面ABC，求二面角AA1CB的余弦值20（12分）为了了解某班学生喜好喝奶茶是否与性别有关，得到22列联表，其中数据不完整喜好喝奶茶不喜好喝奶茶合计男生
7、1020女生5合计50（1）请将列联表补充完整；（2）能否有99.5%的把握认为该班学生喜好喝奶茶与性别有关？说明你的理由21（12分）函数f（x）=12x2+（al）xxlnx，（1）若f（x）在定义域内为单调递增函数，求a的取值范围；（2）当a3时，关于x的方程f（x）+b0在区间（1，e上有且只有一实数根，求b的取值范围22（12分）已知椭圆：x24+y2=1，其左右顶点分别为A，B，上下顶点分别为C，D圆O是以线段AB为直径的圆（1）求圆O的方程；（2）若点E，F是椭圆上关于y轴对称的两个不同的点，直线CE，DF分别交x轴于点M、N，求证：OMON为定值；（3）若点P是椭圆上不同于点A
8、的点，直线AP与圆O的另一个交点为Q是否存在点P，使得AP=13PQ？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由2021年新高考数学模拟试卷（19）参考答案与试题解析一选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1（5分）已知AxN*|x3，Bx|x24x0，则AB（）A1，2，3B1，2C（0，3D（3，4【解答】解：由题意得：AxN*|x31，2，3，Bx|x24x0x|0x4，所以AB1，2，3，故选：A2（5分）若（4mi）（m+i）0，其中i为虚数单位，则实数m的值为（）A2B4C4D2【解答】解：（4mi）（m+i）5m+（4m2）i0，m04-m2=0，即m2故选：D3（5分）已知
9、为任意角，则“cos2=13”是“sin=33”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要【解答】解：若cos2=13，则cos212sin2，sin=33，则cos2=13”是“sin=33”的不充分条件；若sin=33，则cos212sin2，cos2=13，则cos2=13”是“sin=33”的必要条件；综上所述：“cos2=13”是“sin=33”的必要不充分条件故选：B4（5分）我国南宋数学家杨辉在所著的详解九章算法一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律，去掉所有为1的项，依次构成2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，6，则此数列的前50项和为
10、（）A2025B3052C3053D3049【解答】解：2+（3+3）+（4+6+4）+（11+112+113+114+115）222+232+2102+12(211-2)=4(29-1)2-1-18+21013049数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，6，则此数列的前50项和为3049故选：D5（5分）已知a，b均为单位向量，若a，b夹角为23，则|a-b|=（）A7B6C5D3【解答】解：|a|=|b|=1，a，b=23，(a-b)2=a2-2ab+b2=1-211(-12)+1=3，|a-b|=3故选：D6（5分）掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷2020次，那么抛掷第2019次
11、时出现正面向上的概率是（）A12019B12C12020D20192020【解答】解：掷一枚均匀的硬币，每次正面向上的概率都是12，连续抛掷2020次，那么抛掷第2019次时出现正面向上的概率是12故选：B7（5分）过点P（5，3）作圆O：（x2）2+（y1）225的切线l，直线m：3xay20与直线l平行，则直线l与m的距离为（）A1B2C5D295【解答】解：点P（5，3）在圆O：（x2）2+（y1）225上，过点P（5，3）圆O：（x2）2+（y1）225切线l方程为：（52）（x2）+（31）（y1）25，即3x4y270，直线m：3xay20与直线l平行，a4，直线m方程为：3x4y
12、20，直线l与m的距离为：|-27+2|32+(-4)2=5，故选：C8（5分）已知函数f（x）=(1-3a)x+2a(x0)(a-3)x2+2(x0)，在（，+）上是减函数，则实数a的取值范围为（）A（2，3）B1，3）C（1，3）D1，3【解答】解：f（x）在（，+）上是减函数，1-3a0a-3022a，解得1a3，a的取值范围为1，3）故选：B二多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9（5分）已知某校高三的甲、乙、丙三个班各有50名学生，在一次数学模拟考试中，三个班的学生成绩的各分数段累计人数折线图如图所示根据图中的成绩信息，下列结论中正确的是（）A三个班的成绩的中位数，乙班最高，丙
13、班最低B三个班的平均成绩，丙班最低C三个班中成绩在60分以下的人数，丙班最多；80分以上的人数，乙班最多D模拟考试的最高分出现在乙班【解答】解：对于A，由折线图得乙班成绩的中位数最大，丙班成绩的中位数最低，故A正确；对于B，由折线图得丙班的平均成绩最低，故B正确；在C中，由折线图得，80分以上的人数甲班最多，故C错误；在D中，由折线图得最高分出现在甲班，故D错误故选：AB10（5分）已知双曲线C过点（3，2）且渐近线为y33x，则下列结论正确的是（）AC的方程为x23-y21BC的离心率为3C曲线yex21经过C的一个焦点D直线x-2y-10与C有两个公共点【解答】解：设双曲线C的方程为x2a
14、2-y2b2=1，根据条件可知ba=33，所以方程可化为x23b2-y2b2=1，将点（3，2）代入得b21，所以a23，所以双曲线C的方程为x23-y2=1，故A对；离心率e=ca=a2+b2a2=3+13=233，故B错；双曲线C的焦点为（2，0），（2，0），将x2代入得ye010，所以C对；联立x23-y2=1x-2y-1=0，整理得y222y+20，则880，故只有一个公共点，故D错，故选：AC11（5分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是对角线AC1上一动点，在点P从顶点A移动到顶点C1的过程中，下列结论中正确的有（）A二面角PA1DB1的取值范围是0，2B直线AC1
15、与平面A1DP所成的角逐渐增大C存在一个位置，使得AC1平面A1DPD存在一个位置，使得平面A1DP平面B1CD1【解答】解：对于A，当P与A重合时，二面角AA1DB1为90，点P由A点移动到AC1中点的过程中，二面角PA1DB1逐渐减小至0，由对称性可知，当P由AC1中点移动到点C1的过程中，二面角PA1DB1由0逐渐增大至90，即A正确；对于B，当点P与A重合时，C1AD1即为所求，此时有tanC1AD1=C1D1AD1=22，当P与C1重合时，连接AD1，A1D相交于点M，则AC1M即为所求，此时有tanAC1M=AMC1M=3322，所以AC1MC1AD1，即直线AC1与平面A1DP所
16、成的角并不是逐渐增大，所以B错误；对于C，当点P为平面A1BD与直线AC1的交点时，连接AD1，则A1DAD1，又因为C1D1平面ADD1A1，A1D平面ADD1A1，所以A1DC1D1，又C1D1AD1D1，所以A1D平面AC1D1，所以AC1A1D同理可得，AC1A1B因为A1DA1BA1，A1D平面A1DP，A1B平面A1DP，所以AC1平面A1DP，即C正确；对于D，当点P为平面A1BD与直线AC1的交点时，因为BDB1D1，BD平面B1CD1，B1D1平面B1CD1，所以BD平面B1CD1，同理可得，A1B平面B1CD1，又因为BDA1BB，BD平面A1DP，A1B平面A1DP，所以
17、平面A1DP平面B1CD1，即D正确故选：ACD12（5分）设点P是曲线yex-3x+23上的任意一点，P点处的切线的倾斜角为，则角的取值范围包含下列哪些（）A23，）B2，56）C0，2）D0，2）56，）【解答】解：yex-3x+23的导数为yex-3，由ex0，可得切线的斜率k-3，由tan-3，可得02或23，则C，D正确，故选：CD三填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5分）已知cos(x-3)=13，则cos(2x+3)+sin2(3-x)的值为53【解答】解：cos（x-3）sin（x+6）=13，cos（2x+3）+sin2（3-x）cos（2x+3）+1-cos(
18、23-2x)2=12cos2x-32sin2x+12+14cos2x-34sin2x=32cos（2x+3）+12=3212sin2（x+6）+12=32（1219）+12 =53故答案为：5314（5分）若x2020a0+a1（x1）+a2（x1）2+a2020（x1）2020，则a13+a232+a202032020=（43）20201【解答】解：x2020a0+a1（x1）+a2（x1）2+a2020（x1）2020，令x1得：a01；令x=43得：（43）2020a0+a13+a232+a202032020；a13+a232+a202032020=(43)2020-1；故答案为：(43
19、)2020-115（5分）已知三棱锥PABC的所有顶点都在球O的球面上，BAC90，AB=AC=22，PA2，PACPAB，则当球O的表面积最小时，三棱锥PABC的体积为433【解答】解：如图所示，当球心O为BC的中点时，球O的半径最小为2，此时球的表面积最小又已知可得：平面OAP平面ABC，OA边的高即为三棱锥PABC的高，高h=3三棱锥PABC的体积V=13312(22)2=433故答案为：43316（5分）已知F是抛物线C：y24x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M为FN的中点，则|FN|3【解答】解：抛物线C：y24x的焦点F（1，0），M是C上一点，FM的延长线交y
20、轴于点N若M为FN的中点，可知M的横坐标为：12，则|FM|=12+1112，|FN|2|FM|2112=3故答案为：3四解答题（共6小题，满分70分）17（10分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ca（cosBsinB）（）求A；（）已知c=10，BC边上的高AD1，求b的值【解答】解：（）ca（cosBsinB），由正弦定理可得sinCsinA（cosBsinB），可得sinAcosB+sinBcosAsinAcosBsinAsinB，可得cosAsinB+sinAsinB0，B为三角形内角，sinB0，tanA1，A（0，），A=34（）S=12bcsinA=12A
21、Da，代入c=10，AD1，sinA=22，可得a=5b，由余弦定理可得a2b2+c22bccosAb2+10+25b，代入a=5b，可得4b225b100，解得b=5，或b=-52（舍去），b=518（12分）设等比数列an的首项为a，公比q0且q1，前n项和为Sn（）当a1时，S1+1，S2+2，S3+1三数成等差数列，求数列an的通项公式；（）对任意正整数n，命题甲：Sn，（Sn+1+1），Sn+2三数构成等差数列 命题乙：Sn+1，（Sn+2+1），Sn+3三数构成等差数列求证：对于同一个正整数n，命题甲与命题乙不能同时为真命题【解答】解：（）数列an是首项为a1，公比q0且q1的等比
22、数列，an=qn-1，S1+11+12，S2+21+q+2q+3，S3+11+q+q2+12+q+q2，又S1+1，S2+2，S3+1三数成等差数列，2（S2+2）（S1+1）+（S3+1），2（q+3）2+2+q+q2，化为q2q20，解得q2，或q1，q0，q2，an=2n-1所以数列an的通项公式为an=2n-1（）对任意正整数n，命题甲：Sn，（Sn+1+1），Sn+2三数构成等差数列，2（Sn+1+1）Sn+Sn+2an+2an+1+2；对任意正整数n，命题乙：Sn+1，（Sn+2+1），Sn+3三数构成等差数列，2（Sn+2+1）Sn+1+Sn+3an+3an+2+2若对于同一个正
23、整数n，命题甲与命题乙同时为真命题，则an+3an+2an+2an+1a1qn+2-2a1qn+1+a1qn=0，又a1qn0，q22q+10，q1与已知q1相矛盾所以对于同一个正整数n，命题甲与命题乙不能同时为真命题19（12分）已知三棱柱ABCA1B1C1，点O为棱AB的中点（）求证：BC1平面A1CO；（）若ABC是等边三角形，且ABAA1，A1AB60，平面AA1B1B平面ABC，求二面角AA1CB的余弦值【解答】解：（）连接AC1交AC于M，连结OM，棱柱ABCA1B1C1知，四边形ACC1A1为平行四边形，M为AC的中点，又O为AB的中点，BC1OM，OM平面A1CO，BC1平面A
24、1CO，BC1平面A1CO，（）ABC是等边三角形，且ABAA1，A1AB60，AOAB，COAB，又平面AA1B1B平面ABC，A1O平面ABC，A1OCO，以O为坐标原点，直线OC，OA，OA1所在方向建立如图所示的空间直角坐标系：设ACABBCAA12，则C（3，0，0），A（0，1，0），B（0，1，0），A1（0，0，3），设平面A1AC的法向量为n1=（x1，y1，z1），则n1AC，n1AA1，n1AC=0n1AA1=0，AC=（-3，1，0），AA1=（0，1，3），3x1-y1=0-y1+3z1=0，令y1=3，得x1，z11，即n1=（1，3，1），设平面A1BC的法向量为
25、n2=（x2，y2，z2），则n2BA1，n2BC，即n2BA1=0，n2BC=0，BC=（3，1，0），BA1=（0，1，3），3x2+y2=0y2+3z2=0，n2=（1，-3，1），所以cosn1，n2=n1n2|n1|n2|=15，由题意可知，二面角AA1CB为锐角，其余弦值为15，20（12分）为了了解某班学生喜好喝奶茶是否与性别有关，得到22列联表，其中数据不完整喜好喝奶茶不喜好喝奶茶合计男生1020女生5合计50（1）请将列联表补充完整；（2）能否有99.5%的把握认为该班学生喜好喝奶茶与性别有关？说明你的理由【解答】解：（1）列联表补充如下：喜好喝奶茶不喜好喝奶茶合计男生102
26、030女生15520合计252550（2）K2=50(50-300)225253020=2538.3337.879，有99.5%的把握认为该班学生喜好喝奶茶与性别有关21（12分）函数f（x）=12x2+（al）xxlnx，（1）若f（x）在定义域内为单调递增函数，求a的取值范围；（2）当a3时，关于x的方程f（x）+b0在区间（1，e上有且只有一实数根，求b的取值范围【解答】解：（1）定义域（0，+），由题意可得，f（x）x+a2lnx0在（0，+）上恒成立，故a2+lnxx在（0，+）上恒成立，令g（x）2+lnxx，x0，则g（x）=1-xx，易得0x1时，g（x）0，g（x）单调递增，
27、当x（1，+）时，函数单调递减，故g（x）maxg（1）1，所以a1；（2）a3时，f（x）=12x2+2xxlnx，f（x）x+1lnx，令h（x）x+1lnx，则h（x）1-1x=x-1x，易得，x（1，e时，h（x）0，函数h（x）单调递增，故h（x）h（1）2，即f（x）0恒成立，故f（x）在（1，e上单调递增，所以52=f（1）f（x）f（e）=12e2+2e-1，故52-b12e2+2e-1，所以12e-12e2b-5222（12分）已知椭圆：x24+y2=1，其左右顶点分别为A，B，上下顶点分别为C，D圆O是以线段AB为直径的圆（1）求圆O的方程；（2）若点E，F是椭圆上关于y轴
28、对称的两个不同的点，直线CE，DF分别交x轴于点M、N，求证：OMON为定值；（3）若点P是椭圆上不同于点A的点，直线AP与圆O的另一个交点为Q是否存在点P，使得AP=13PQ？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由【解答】解：（1）由题意得：A（2，0），B（2，0），圆O的圆心为原点，半径为2，圆O的方程是x2+y24；（2）由题意可知：C（0，1），D（0，1），设E（x0，y0），则F（x0，y0），（x01），直线CE的方程是：y-1y0-1=xx0，点M（-x0y0-1，0），同理点N（x0y0+1，0），又点E（x0，y0）在椭圆x24+y2=1上，x024+y02=1OMO
29、N=x02y02-1=x02-x024=-4，（3）显然直线AP的斜率存在，设其方程为：yk（x+2），联立方程y=k(x+2)x24+y2=1，化简得：（1+4k2）x2+16k2x+16k240，设P（x1，y1），则x1+（2）=-16k21+4k2，所以|AP|=1+k2|x1（2）|=1+k241+4k2，因为圆心O到直线AP的距离d=|2k|1+k2，所以|AQ|24-d2=411+k2，假设存在点P，使得AP=13PQ，则|AQ|4|AP|，所以411+k2=41+k241+4k2，化简得：4+4k21+4k2，此方程在实数范围内无解，故原假设错误，即不存在点P，使得AP=13PQ
