1、2020年上海市高考数学模拟试卷（3）一填空题（共12小题，满分54分）1（4分）已知集合M1+a，a2+a，3，Na23a+8，b3，0，且MN2，则a+b的值为 2（4分）已知函数f（x）=x+kx在区间（0，+）上有最小值4，则实数k 3（4分）计算tan54tan362tan18 4（4分）已知定义在R上的单调函数f（x）的图象经过点A（3，2）、B（2，2），若函数f（x）的反函数为f1（x），则不等式|2f1（x2）+1|5的解集为 5（4分）（理） 已知函数f（x）x3+x，关于x的不等式f（mx2）+f（x）0在区间1，2上有解，则实数m的取值范围为 6（4分）函数y2sin（
2、2x+6）+1的最小正周期是 ，最小值是 7（5分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：x=3cosy=sin（为参数），P为曲线C上的动点，直线的方程：x+y4，则点P到直线的距离d的最小值为 8（5分）从边长为1的正方体12条棱中任取两条，则这两条棱所在直线为异面直线的概率是 （用数值表示结果）9（5分）函数y=(2x+1)2(x+1)(4x+1)（x0）的最小值为 10（5分）如图，在ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，AC2，BE2EA，AD与CE的交点为O若AOBC=-2，则AB的长为 11（5分）log212x-140，则x 12（5分）甲、乙、丙三个同学同时做标号为A、
3、B、C的三个题，甲做对了两个题，乙做对了两个题，丙做对了两个题，则下列说法正确的是 三个题都有人做对；至少有一个题三个人都做对；至少有两个题有两个人都做对二选择题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5分）由两个14圆柱组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A3B2CD214（5分）已知F为抛物线y24x的焦点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，则|FA|FB|的值等于（）A82B8C42D415（5分）已知xR，则条件“|x1|1”是条件“x24”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件16（5分）设集合Ax|1x6，xN，对于A
4、的每个非空子集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数（如：1，2，5的“交替和”是52+14，6，3的“交替和”就是633，3的“交替和”就是3）则集合A的所有这些“交替和”的总和为（）A128B192C224D256三解答题（共5小题，满分76分）17（14分）已知向量m=(3cosx，-1)，n=(sinx，cos2x)（1）当x=3时，求mn的值；（2）若x0，4，且mn=33-12，求cos2x的值18（14分）如图，在三棱锥PABC中，PAPBAB2，BC3，ABC90，平面PAB平面ABC，D，E分别为AB，AC中点（1）求证：A
5、BPE；（2）求三棱锥PBEC的体积19（14分）某公司为了应对金融危机，决定适当进行裁员，已知这家公司现有职工2m人（60m150，且m为10的整数倍），每人每年可创利100千元，据测算，在经营条件不变的前的提下，若裁员人数不超过现有人数的30%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利1千元（即若裁员a人，留岗员工可多创利润a千元）；若裁员人数超过现有人数的30%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利2千元（即若裁员a人，留岗员工可多创利润2a千元），为保证公司的正常运转，留岗的员工数不得少于现有员工人数的50%，为了保障被裁员工的生活，公司要付给被裁员工每人每年20千元的生活费（1）
6、设公司裁员人数为x，写出公司获得的经济效益y（千元）关于x的函数（经济效益在职人员创利总额被裁员工生活费）；（2）为了获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？20（16分）已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左顶点为A，右焦点为F，右准线为l，l与x轴相交于点T，且F是AT的中点（1）求椭圆的离心率；（2）过点T的直线与椭圆相交于M，N两点，M，N都在x轴上方，并且M在N，T之间，且NF2MF记NFM，NFA的面积分别为S1，S2，求S1S2；若原点O到直线TMN的距离为204141，求椭圆方程21（18分）设等差数列an的前n项和为Sn，且S44S2，2a1+1a2（） 求数列an的通
7、项公式；（） 若数列bn满足anlog2（bnn），求bn的前n项和Tn2020年上海市高考数学模拟试卷（3）参考答案与试题解析一填空题（共12小题，满分54分）1（4分）已知集合M1+a，a2+a，3，Na23a+8，b3，0，且MN2，则a+b的值为3【解答】解：集合M1+a，a2+a，3，Na23a+8，b3，0，且MN2，2M，2N，若1+a2，则a2+a2，不符合条件，若a2+a2，则a1，（舍），或a2，2N，且a23a+818，b32，解得b5，a+b3故答案为：32（4分）已知函数f（x）=x+kx在区间（0，+）上有最小值4，则实数k4【解答】解：依题意，k0，则f(x)=x
8、+kx2k，则2k=4，解得k4故答案为：43（4分）计算tan54tan362tan180【解答】解：因为tan18tan（5436）=tan54-tan361+tan54tan36，所以tan54tan36tan18（1+tan54tan36）tan18（1+tan54cot54）2tan18所以tan54一tan36一2tan180故答案为：04（4分）已知定义在R上的单调函数f（x）的图象经过点A（3，2）、B（2，2），若函数f（x）的反函数为f1（x），则不等式|2f1（x2）+1|5的解集为（0，4）【解答】解：不等式|2f1（x2）+1|5可化为3f1（x2）2，由f（x）是定
9、义在R上的减函数，以及函数与反函数的关系得：f（3）x2f（2），即2x22，0x4，不等式|2f1（x2）+1|5的解集为（0，4）故答案为：（0，4）5（4分）（理） 已知函数f（x）x3+x，关于x的不等式f（mx2）+f（x）0在区间1，2上有解，则实数m的取值范围为m1【解答】解：f（x）（x）3xf（x）函数f（x）是奇函数f（x）x3+x，则f（x）3x2+10函数f（x）在R上单调递增f（mx2）+f（x）0f（mx2）f（x）f（x）即mx2x，（m+1）x2在区间1，2上有解m+12或（m+1）22即m1故答案为：m16（4分）函数y2sin（2x+6）+1的最小正周期是，
10、最小值是1【解答】解：函数y2sin（2x+6）+1的最小正周期是22=，最小值为2+11，故答案为：，17（5分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：x=3cosy=sin（为参数），P为曲线C上的动点，直线的方程：x+y4，则点P到直线的距离d的最小值为2【解答】解：设P（3cos，sin），可得d=|3cos+sin-4|2=|2sin(+3)-4|2=4-2sin(+3)2，当sin（+3）1时，d取得最小值22=2，故答案为：28（5分）从边长为1的正方体12条棱中任取两条，则这两条棱所在直线为异面直线的概率是411（用数值表示结果）【解答】解：12条棱中任选一条，剩下11条，
11、在这11条中，有3条与这条平行，有4条与这条垂直，只有4条与选中的这条异面从边长为1的正方体12条棱中任取两条，则这两条棱所在直线为异面直线的概率是411故答案为：4119（5分）函数y=(2x+1)2(x+1)(4x+1)（x0）的最小值为89【解答】解：y=(2x+1)2(x+1)(4x+1)=4x2+4x+14x2+5x+1=1-x4x2+5x+1，当x0时，y1；当x0时，y1-x4x2+5x+11-14x+1x+5，4x+1x24=4，（当且令当x=12时，等号成立）；故014x+1x+514+5=19，故891-14x+1x+51，综上所述，函数y=(2x+1)2(x+1)(4x+
12、1)（x0）的最小值为89，故答案为：8910（5分）如图，在ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，AC2，BE2EA，AD与CE的交点为O若AOBC=-2，则AB的长为23【解答】解：D是BC的中点，BE2EA，BE=23BA，BC=2BD，E，O，C三点共线，设BO=BE+(1-)BC=23BA+2(1-)BD，且三点A，O，D共线，23+2(1-)=1，解得=34，BO=12BA+14BC，AO=AB+BO=AB+12BA+14BC=14(AB+AC)，AOBC=14(AB+AC)(AC-AB)=14(AC2-AB2)=14(4-AB2)=-2，AB2=12，|AB|=23故答案为：2
13、311（5分）log212x-140，则x22，2【解答】解：log212x-140，log212x14，-12log12x12，log122log12xlog1222，22x2，x22，2，故答案为：22，212（5分）甲、乙、丙三个同学同时做标号为A、B、C的三个题，甲做对了两个题，乙做对了两个题，丙做对了两个题，则下列说法正确的是三个题都有人做对；至少有一个题三个人都做对；至少有两个题有两个人都做对【解答】解：若甲做对A，B，乙做对A，B，丙做对A，B，则C无人做对，所以错误；若甲做对A，B，乙做对A，C，丙做对B，C，则没有一个题被三个人都做对，所以错误；做对的情况可分为三种情况：三个
14、人做对的都相同；三个人中有两个人做对的相同；三个人每个人做对的都不完全相同，分类可知三种情况都满足的说法故答案为：二选择题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5分）由两个14圆柱组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A3B2CD2【解答】解：由两个14圆柱组合而成的几何体的直观图如图：所以几何体的体积为：12122=故选：C14（5分）已知F为抛物线y24x的焦点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，则|FA|FB|的值等于（）A82B8C42D4【解答】解：F（1，0），故直线AB的方程为yx1，联立方程组y2=4xy=x-1，可得x26x+10，设A（x1，
15、y1），B（x2，y2），由根与系数的关系可知x1+x26，x1x21由抛物线的定义可知：|FA|x1+1，|FB|x2+1，|FA|FB|x1x2|=(x1+x2)2-4x1x2=36-4=42故选：C15（5分）已知xR，则条件“|x1|1”是条件“x24”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：由|x1|1，解得0x2，由x24解得2x2，故由|x1|1，成立，可以推出x24成立，即充分性成立；当x24时，无法推出|x1|1成立，即必要性不成立；所以“|x1|1”是条件“x24”的充分不必要条件，故选：A16（5分）设集合Ax|1x6，xN，对于
16、A的每个非空子集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数（如：1，2，5的“交替和”是52+14，6，3的“交替和”就是633，3的“交替和”就是3）则集合A的所有这些“交替和”的总和为（）A128B192C224D256【解答】解：由题意，S2表示集合N1，2的所有非空子集的“交替和”的总和，又1，2的非空子集有1，2，2，1，S21+2+214；S31+2+3+（21）+（31）+（32）+（32+1）12，S41+2+3+4+（21）+（31）+（41）+（32）+（42）+（43）+（32+1）+（42+1）+（43+1）+（43+2）
17、+（43+21）32，根据前4项猜测集合N1，2，3，n的每一个非空子集的“交替和”的总和Snn2n1，所以S66261625192，故选：B三解答题（共5小题，满分76分）17（14分）已知向量m=(3cosx，-1)，n=(sinx，cos2x)（1）当x=3时，求mn的值；（2）若x0，4，且mn=33-12，求cos2x的值【解答】解：（1）当x=3时，m=（32，1），n=（32，14），mn=34-14=12（2）mn=3sinxcosxcos2x=32sin2x-12cos2x-12=sin（2x-6）-12，若mn=33-12，则sin（2x-6）=33，x0，4，2x-6-6
18、，3，cos（2x-6）=63cos2xcos（2x-6+6）cos（2x-6）cos6-sin（2x-6）sin6=6332-3312=32-3618（14分）如图，在三棱锥PABC中，PAPBAB2，BC3，ABC90，平面PAB平面ABC，D，E分别为AB，AC中点（1）求证：ABPE；（2）求三棱锥PBEC的体积【解答】解：（1）连结PD，D，E分别是AB，AC的中点，DEBC，又ABC90，DEAB又PAPB，D为AB中点，PDAB又PD平面PDE，DE平面PDE，PDDED，AB平面PDE，PE平面PDE，ABPE（2）平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABCAB，PDAB，PD
19、平面PAB，PD平面ABC，PAPBAB2，D是AB中点，BD1，PD=3，又SBCE=12BCBD=1231=32VPBCE=13SBCEPD=13323=3219（14分）某公司为了应对金融危机，决定适当进行裁员，已知这家公司现有职工2m人（60m150，且m为10的整数倍），每人每年可创利100千元，据测算，在经营条件不变的前的提下，若裁员人数不超过现有人数的30%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利1千元（即若裁员a人，留岗员工可多创利润a千元）；若裁员人数超过现有人数的30%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利2千元（即若裁员a人，留岗员工可多创利润2a千元），为保证公司
20、的正常运转，留岗的员工数不得少于现有员工人数的50%，为了保障被裁员工的生活，公司要付给被裁员工每人每年20千元的生活费（1）设公司裁员人数为x，写出公司获得的经济效益y（千元）关于x的函数（经济效益在职人员创利总额被裁员工生活费）；（2）为了获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？【解答】解：（1）设公司裁员人数为x，获得的经济效益为y千元，则由题意得当0x3102m时，y（2mx）（100+x）20x；当3102mx122m时，y（2mx）（100+2x）20x；y=(100+x)(2m-x)-20x，0x0.6m(100+2x)(2m-x)-20x，0.6mxm，xN*；（2）当0x0.
21、6m时，y（2mx）（100+x）20xx22（m60）x+200m；由得对称轴xm600，当0m600.6m时，即60m150时，当x60m时，y有最大值，y1m2+80m+3600；当0.6mxm时，y（2mx）（100+2x）20x2x22（m30）x+200m；由得对称轴xm30，60m150，当0.6mm30m时，即75m150时，xm30，y有最大值，y22m2+80m+1800；当m300.6m时，即60m75时，x0.6m时，y有最大值，y31.68m2+128m；当60m75时，y3y10.68m2+48m3600；y3y1在（60，75上单调递增，当m60时，（y3y1）m
22、in17280当75m150时，y2y1m2180038250，即当60m150时，y2最大即当公司应裁员数为m30，即公司应裁员m30人时，获得的经济效益最大20（16分）已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左顶点为A，右焦点为F，右准线为l，l与x轴相交于点T，且F是AT的中点（1）求椭圆的离心率；（2）过点T的直线与椭圆相交于M，N两点，M，N都在x轴上方，并且M在N，T之间，且NF2MF记NFM，NFA的面积分别为S1，S2，求S1S2；若原点O到直线TMN的距离为204141，求椭圆方程【解答】解：（1）由F是AT的中点，可得-a+a2c=2c，即（a2c）（a+c）0，又a、
23、c0，则a2c，可得e=ca=12；（2）解法一：过M，N作直线l的垂线，垂足分别为M1，N1，依题意，NFNN1=MFMM1=e，又NF2MF，故NN12MM1，故M是NT的中点，可得SMNFSTNF=12，又F是AT中点，即有SANFSTNF，故S1S2=12；解法二：有a2c，即为b=3c，椭圆方程为x24c2+y23c2=1，F（c，0），T（4c，0），设M（x1，y1），N（x2，y2），点M在椭圆x24c2+y23c2=1上，即有y12=3c2-34x12，MF=(x1-c)2+y12=(x1-c)2+3c2-34x12=14x12-2cx1+4c2=|12x1-2c|=2c-1
24、2x1，同理NF=2c-12x2，又NF2MF，故2x1x24c，得M是N，T的中点，可得SMNFSTNF=12，又F是AT中点，可得SANFSTNF，则S1S2=12；解法一：设F（c，0），则椭圆方程为x24c2+y23c2=1，由知M是N，T的中点，不妨设M（x0，y0），则N（2x04c，2y0），又M，N都在椭圆上，即有x024c2+y023c2=1(2x0-4c)24c2+4y023c2=1即x024c2+y023c2=1(x0-2c)24c2+y023c2=14，两式相减得：x024c2-(x0-2c)24c2=34，解得x0=74c，可得y0=358c，故直线MN的斜率为k=3
25、58c74c-4c=-56，直线MN的方程为y=-56(x-4c)，即5x+6y-45c=0，原点O到直线TMN的距离为d=45c5+36=4541c，依题意4541c=204141，解得c=5，故椭圆方程为x220+y215=1解法二：设F（c，0），则椭圆方程为x24c2+y23c2=1，由知M是N，T的中点，故2x1x24c，直线MN的斜率显然存在，不妨设为k，故其方程为yk（x4c），与椭圆联立，并消去y得：x24c2+k2(x-4c)23c2=1，整理得：（4k2+3）x232ck2x+64k2c212c20，（*）设M（x1，y1），N（x2，y2），即有x1+x2=32ck23+
26、4k2x1x2=64k2c2-12c23+4k2，由x1+x2=32ck23+4k22x1-x2=4c解得x1=16ck2+4c3+4k2x2=16ck2-4c3+4k2，即有16ck2+4c4k2+316ck2-4c4k2+3=64k2c2-12c24k2+3，解之得k2=536，即k=-56直线MN的方程为y=-56(x-4c)，即5x+6y-45c=0，原点O到直线TMN的距离为d=45c5+36=45c41，依题意45c41=204141，解得c=5，故椭圆方程为x220+y215=121（18分）设等差数列an的前n项和为Sn，且S44S2，2a1+1a2（） 求数列an的通项公式；（） 若数列bn满足anlog2（bnn），求bn的前n项和Tn【解答】解：（1）由已知S44S2，2a1+1a2可得4a1+6d4a1+4d，2a1+1a1+d，解得a11，d2，.（4分）则an2n1.（6分）（2）数列bn满足anlog2（bnn），bn=2an+n=22n-1+n，（8分）则Tn=b1+b2+bn=21+23+22n-1+1+2+n=2(1-4n)1-4+n(n+1)2=23(4n-1)+n(n+1)2.（12分）
