1、 线性代数A 试题（A 卷）试卷类别：闭卷 考试时间：120分钟考试科目：线性代数 考试时间： 学号： 姓名： 题号一二三四五六 七总 分得分阅卷人一 单项选择题（每小题3分，共30分）1设经过初等行变换变为，则（ ）.(下面的分别表示矩阵的秩)。； ； ； 无法判定与之间的关系。2设为阶方阵且，则（ ）。 中有一行元素全为零； 有两行（列）元素对应成比例；中必有一行为其余行的线性组合； 的任一行为其余行的线性组合。3. 设是阶矩阵(), ,则下列结论一定正确的是: ( )4下列不是维向量组线性无关的充分必要条件是（ ）存在一组不全为零的数使得；不存在一组不全为零的数使得的秩等于；中任意一个向
2、量都不能用其余向量线性表示5设阶矩阵，若矩阵的秩为，则必为（ ）。1； ； ； .6四阶行列式的值等于（ ）。； ； .7设为四阶矩阵且，则的伴随矩阵的行列式为（ ）。； ； ； 8设为阶矩阵满足，为阶单位矩阵,则（）； ； ； 9设，是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是（ ）。与的秩相同； 与的特征值相同；与的特征矩阵相同； 与的行列式相同；10设为阶矩阵,则以为特征值是的（ ）。充分非必要条件； 必要非充分条件；既非充分又非必要条件； 充分必要条件； 二填空题（每小题3分，共18分）1计算行列式。2. _。3二次型对应的对称矩阵为 。4已知，是欧氏空间的一组标准正交基，则向量在这组基下的
3、坐标为 。5已知矩阵的特征值为则_。6设均为3维列向量，记矩阵，。如果，则 。三(8分) , 求。四（10分）设向量组，。试求它的秩及一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示。五（12分）讨论线性方程组解的情况，并在有无穷多解时求其解。六（14分）设，（1）、求出的所有特征值和特征向量；（2）、求正交矩阵，使得为对角矩阵。七（8分）对任意的矩阵,证明：(1) 为对称矩阵, 为反对称矩阵；(2) 可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。线性代数A参考答案（A卷）一、单项选择题（每小题3分，共30分）12345678910BCDABDCCCD二、填空题（每小题3分，共18分）1、 25
4、6； 2、 ； 3、；4、 ； 5、 4； 6、 2 。三 解：因为矩阵A的行列式不为零,则A可逆,因此.为了求,可利用下列初等行变换的方法：（6分）所以.（8分）四解：对向量组作如下的初等行变换可得：（5分）从而的一个极大线性无关组为，故秩2（8分）且，（10分）五解：对方程组的增广矩阵进行如下初等行变换：(1) 当即系数矩阵与增广矩阵的秩均为3,此时方程组有唯一解.（5分）(2) 当系数矩阵的秩为1,增广矩阵的秩为2,此时方程组无解.（6分）(3) 当此时方程组有无穷多组解.方程组的增广矩阵进行初等行变换可化为故原方程组与下列方程组同解: 令可得上述非齐次线性方程组的一个特解;它对应的齐次
5、线性方程组的基础解系含有一个元素,令可得为该齐次线性方程组的一个解,它构成该齐次线性方程组的基础解系.此时原方程组的通解为（12分）六解：（1）由于的特征多项式故的特征值为（二重特征值），。（3分）当时，由，即：得基础解系为，故属于特征值的所有特征向量为, 不全为零的任意常数。（6分）当时，由，即：得基础解系为，故属于特征值的所有特征向量为, 为非零的任意常数。-(8分)(2)将正交化可得：。再将其单位化得：将单位化得：。（12分）则是的一组单位正交的特征向量，令则是一个正交矩阵，且。（14分）七证明：(1) 因为, 因此为对称矩阵。（2分）同理,因为,因此为反对称矩阵。（4分）(2) 因为（6分）而由(1) 知为对称矩阵, 为反对称矩阵,因此任何矩阵 都可以表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。（8分）
