1、2020年天津市高考数学模拟试卷（6）一选择题（共9小题，满分45分，每小题5分）1（5分）设全集为R，集合Ax|log2x1，Bx|x21，则A（RB）（）A（1，1）B（1，2）C（0，1）D（0，2）2（5分）下列说法错误的是（）A命题p：“x0R，x02+x0+10”，则p：“xR，x2+x+10”B命题“若x24x+30，则x3”的否命题是真命题C若pq为假命题，则pq为假命题D若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件3（5分）已知alg0.3，b20.2，c0.80.6，则a，b，c的大小关系是（）AacbBcbaCbacDabc4（5分）在等比数列an中，已知a36，a
2、3a5+a778，则a5（）A12B18C24D365（5分）已知抛物线y242x的准线与双曲线x2a2-y21（a0）相交于A、B两点，F为抛物线的焦点，若FAB为直角三角形，则实数a（）A19B29C13D236（5分）将函数f(x)=sin(3x+6)的图象向右平移m（m0）个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，若g（x）为奇函数，则m的最小值为（）A9B29C18D247（5分）将3本不同的书随机分给甲、乙、丙三人，则甲、乙都分到书的概率为（）A19B29C13D498（5分）在ABC中，E、F分别为BC、AB边上的中点，AE与CF相
3、交于点G，设AB=a，AC=b，且BG=a+b，则+的值为（）A-13B13C23D19（5分）已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且f（x）在（，0）上是减函数，f（2）0，则不等式xf（x+2）0的解集是（）A（，22，+）B4，20，+）C（，42，+）D（，40，+）二填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）10（5分）若a，bN，且a+b6，复数a+bi共有 个11（5分）已知（1x）6a0+a1x+a2x2+a6x6，则a2 ，a0a1+a2a3+a4a5+a6 12（5分）已知函数f（x）e2x，则过原点且与曲线yf（x）相切的直线方程为 13（5分）在底面是边长为23的正方
4、形的四棱锥PABCD中，顶点P在底面的射影H为正方形ABCD的中心，异面直线PB与AD所成角的正切值为2，若四棱锥PABCD的内切球半径为r，外接球的半径为R，则Rr 14（5分）要制作一个容积为9m3，高为1m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总价是 元15（5分）若f（x）=sinx6(x0)1-2x(x0)，则ff（3） 三解答题（共5小题）16已知函数f(x)=sinxsin(x+3)-14(xR)（1）求f(3)的值和f（x）的最小正周期；（2）设锐角ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且f(A2)=14，a
5、2，求b+c的取值范围17如图，三棱柱ABCA1BlC1中，BCBB1，BC1B1CO，AO平面BB1C1C（1）求证：ABB1C；（2）若B1BC60，直线A1B1与平面BB1C1C所成的角为30，求二面角ABlC1B的余弦值18已知数列an的前n项和为Sn，a10，Sn+nan+1，nN*（）求证：数列an+1是等比数列，（）设数列bn的首项b11，其前n项和为Tn，且点（Tn+1，Tn）在直线xn+1-yn=12上，求数列bnan+1的前n项和Rn19如图，已知圆G：x2+y22x-2y0，经过椭圆x2a2+y2b2=1（ab0）的右焦点F及上顶点B，过圆外一点M（m，0）（ma）倾斜角
6、为56的直线l交椭圆于C，D两点，（1）求椭圆的方程；（2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围20已知函数f（x）exxlnx+ax，f（x）为f（x）的导数，函数f（x）在xx0处取得最小值（1）求证：lnx0+x00；（2）若xx0时，f（x）1恒成立，求a的取值范围2020年天津市高考数学模拟试卷（6）参考答案与试题解析一选择题（共9小题，满分45分，每小题5分）1（5分）设全集为R，集合Ax|log2x1，Bx|x21，则A（RB）（）A（1，1）B（1，2）C（0，1）D（0，2）【解答】解：全集为R，集合Ax|log2x1x|0x2，Bx|x21x|x1或x1
7、，RBx|1x1，A（RB）x|0x1（0，1）故选：C2（5分）下列说法错误的是（）A命题p：“x0R，x02+x0+10”，则p：“xR，x2+x+10”B命题“若x24x+30，则x3”的否命题是真命题C若pq为假命题，则pq为假命题D若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件【解答】解：命题p：“x0R，x02+x0+10”，则p：“xR，x2+x+10”满足命题的否定形式，所以A正确；命题“若x24x+30，则x3”的否命题是x3，则x24x+30，否命题的真命题，所以B正确；若pq为假命题，至少一个是假命题，当个命题都是假命题是pq为假命题，所以C不正确；若p是q的充分不必
8、要条件，则q是p的必要不充分条件，满足充要条件的定义，所以D正确；故选：C3（5分）已知alg0.3，b20.2，c0.80.6，则a，b，c的大小关系是（）AacbBcbaCbacDabc【解答】解：alg0.30，b20.21，c0.80.6（0，1）acb故选：A4（5分）在等比数列an中，已知a36，a3a5+a778，则a5（）A12B18C24D36【解答】解：根据题意，等比数列an中，设其公比为q，已知a36，a3a5+a778，则66q2+6q478，解可得q24或q23，舍；故a56q224，故选：C5（5分）已知抛物线y242x的准线与双曲线x2a2-y21（a0）相交于A
9、、B两点，F为抛物线的焦点，若FAB为直角三角形，则实数a（）A19B29C13D23【解答】解：抛物线的方程为y242x，抛物线的准线为x=-2，焦点为F（2，0）又直线x=-2交双曲线x2a2-y21于A、B两点，FAB为直角三角形FAB是等腰直角三角形，AB边上的高FF22，由此可得A（-2，22）、B（-2，22），如图所示将点A或点B的坐标代入双曲线方程，得2a2-8=1，解得a=23（负值舍去）故选：D6（5分）将函数f(x)=sin(3x+6)的图象向右平移m（m0）个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，若g（x）为奇函数，则m
10、的最小值为（）A9B29C18D24【解答】解：将函数f(x)=sin(3x+6)的图象向右平移m（m0）个单位长度，可得ysin（3x3m+6）的图象；再将图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数g（x）sin（12x3m+6）的图象，若g（x）为奇函数，则当m的最小时，3m+6=0，m=18，故选：C7（5分）将3本不同的书随机分给甲、乙、丙三人，则甲、乙都分到书的概率为（）A19B29C13D49【解答】解：根据题意，将3本不同的书随机分给甲、乙、丙三人，每本书有3种情况，则一共有33327种分法，若甲、乙都分到书，分2种情况讨论：甲乙丙三人都分到书，有A336种情况，
11、只有甲乙分到书，有C3226种情况，则甲、乙都分到书的的情况有6+612种，故则甲、乙都分到书的概率P=1227=49；故选：D8（5分）在ABC中，E、F分别为BC、AB边上的中点，AE与CF相交于点G，设AB=a，AC=b，且BG=a+b，则+的值为（）A-13B13C23D1【解答】解：E、F分别为BC、AB边上的中点，AE与CF相交于点G，G为ABC的重心，且AB=a，AC=b，BG=13(BA+BC)=13(-AB+AC-AB) =-23AB+13AC =-23a+13b，又BG=a+b，+=-13故选：A9（5分）已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且f（x）在（，0）上是减函数
12、，f（2）0，则不等式xf（x+2）0的解集是（）A（，22，+）B4，20，+）C（，42，+）D（，40，+）【解答】解：根据题意，设g（x）f（x+2），g（x）的图象可以由f（x）的图象向左平移2个单位得到的，函数f（x）是R上的奇函数，则函数g（x）的图象关于点（2，0）对称，则g（0）f（2）0，g（4）f（2）0，则g（x）的草图如图：故xf（x+2）0xg（x）0x0g(x)0或x0g(x)0；则有x4或x2；即x的取值范围为（，42，+）；故选：C二填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）10（5分）若a，bN，且a+b6，复数a+bi共有28个【解答】解：a，bN，且a+
13、b6，当a0时，b0，1，2，3，4，5，6，此时复数共7个；当a1时，b0，1，2，3，4，5，此时复数共6个；当a2时，b0，1，2，3，4，此时复数共5个；当a3时，b0，1，2，3，此时复数共4个；当a4时，b0，1，2，此时复数共3个；当a5时，b0，1，此时复数共2个；当a6时，b0，此时复数共1个；复数a+bi共7+6+5+4+3+2+128个故答案为：2811（5分）已知（1x）6a0+a1x+a2x2+a6x6，则a215，a0a1+a2a3+a4a5+a664【解答】解：由（1x）6的通项为Tr+1=C6r(-x)r可得，令r2，即x2项的系数a2为C62=15，即a215
14、，由（1x）6a0+a1x+a2x2+a6x6，取x1，得a0a1+a2a3+a4a5+a61（1）664，故答案为：15，6412（5分）已知函数f（x）e2x，则过原点且与曲线yf（x）相切的直线方程为2exy0【解答】解：设切点为（m，n），函数f（x）e2x的导数为f（x）2e2x，可得切线的斜率为2e2m，由切线过原点，可得nm=e2mm=2e2m，解得m=12，ne，则切线方程为y2ex故答案为：2exy013（5分）在底面是边长为23的正方形的四棱锥PABCD中，顶点P在底面的射影H为正方形ABCD的中心，异面直线PB与AD所成角的正切值为2，若四棱锥PABCD的内切球半径为r，
15、外接球的半径为R，则Rr32【解答】解：如图，E，F为AB，CD的中点，由题意，PABCD为正四棱锥，底边长为23，BCAD，PBC即为PB与AD所成角，由tanPBC2，可得斜高为23，PEF为正三角形，边长为23，正四棱锥PABCD的内切球半径，即为PEF的内切圆半径，可得r=3tan30=333=1，设O为外接球球心，在RtOHA中，（PHR）2+AH2R2，即(3-R)2+(6)2=R2，解得R=52，Rr=32故答案为：3214（5分）要制作一个容积为9m3，高为1m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总价是300元【解答
16、】解：设长方体容器的长为xm，宽为ym；则xy19，即xy9；则该容器的造价为20xy+10（x+x+y+y）180+20（x+y）180+202xy180+120300；（当且仅当xy3时，等号成立）故该容器的最低总价是300元；故答案为：30015（5分）若f（x）=sinx6(x0)1-2x(x0)，则ff（3）-12【解答】解：f（3）1235ff（3）f（5）sin（-56）=-12故答案为-12三解答题（共5小题）16已知函数f(x)=sinxsin(x+3)-14(xR)（1）求f(3)的值和f（x）的最小正周期；（2）设锐角ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且f(
17、A2)=14，a2，求b+c的取值范围【解答】解：（1）函数f(x)=sinxsin(x+3)-14(xR)所以f(3)=3232-14=12所以f（x）=sinx(12sinx+32cosx)=1-cos2x4+34sin2x-14=12sin(2x-6)，所以函数f（x）的最小正周期为；（2）设锐角ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且f(A2)=14，所以sin(A-6)=12，解得A=3利用正弦定理asinA=bsinB=csinC，解得b=43sinB，c=43sin(23-B)，所以b+c=43sinB+sin(23-B)=4sin(B+6)，由于0B20C=23-B2
18、，解得6B2，所以B+6(3，23)，所以b+c(23，417如图，三棱柱ABCA1BlC1中，BCBB1，BC1B1CO，AO平面BB1C1C（1）求证：ABB1C；（2）若B1BC60，直线A1B1与平面BB1C1C所成的角为30，求二面角ABlC1B的余弦值【解答】解：（1）因为AO平面BBCC，所以AOBC，因为BCBB，所以四边形BBCC为菱形，所以BCBC，因为AOBCO，所以BC平面ABC，AB平面ABC，所以BCAB；（2）直线A1B1与平面BB1C1C所成的角为30，根据题意，ABO30，设BC2，B1BC60，则BC2，OB=3，OAOBtan301，以O为原点，OB，OB
19、，OA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），B（3，0，0），B（0，1，0），A（0，0，1），C（-3，0，0），由AB=B1A1，得A1（-3，1，1，），设平面BCA的法向量我m=(x，y，z)，由mA1B1=-3x+z=0mC1B1=-3x-y=0，得m=(1，-3，3)，平面BCB的法向量为OA=(0，0，1)，由cosm，OA=37=217，故所求二面角的余弦值为-21718已知数列an的前n项和为Sn，a10，Sn+nan+1，nN*（）求证：数列an+1是等比数列，（）设数列bn的首项b11，其前n项和为Tn，且点（Tn+1，Tn）在直线xn+1-yn=12上
20、，求数列bnan+1的前n项和Rn【解答】证明：（）由Sn+nan+1，得Sn1+n1an，n2，得an+12an+1，an+1+12（an+1），a10，a1+11，an+1是以1为首项，以2为公比的等比数列，解：（）由（）可得an+12n1，an2n11，点（Tn+1，Tn）在直线xn+1-yn=12上，Tn+1n+1-Tnn=2，Tnn是以T11=b11=1为首项，公差为12的等差数列，Tnn=1+12（n）=12（n+1）Tn=n(n+1)2，当n2时，bnTnTn1=n(n+1)2-n(n-1)2=n，又b11满足上式，bnn，bnan+1=n（12）n1Rn1（12）0+2（12）
21、1+3（12）2+n（12）n112Rn1（12）1+2（12）2+3（12）3+n（12）n，由可得，-12Rn1+（12）1+（12）2+（12）3+（12）nn（12），=1-12n1-12-n（12）n2（n+2）12n，Rn4-n+22n-119如图，已知圆G：x2+y22x-2y0，经过椭圆x2a2+y2b2=1（ab0）的右焦点F及上顶点B，过圆外一点M（m，0）（ma）倾斜角为56的直线l交椭圆于C，D两点，（1）求椭圆的方程；（2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围【解答】解：（1）x2+y2-2x-2y=0过点F、B，F（2，0），B(0，2)，故椭圆
22、的方程为x26+y22=1（2）直线l：y=-33(x-m)(m6)x26+y22=1y=-33(x-m) 消y得2x22mx+（m26）0由0-23m23，又m66m23设C（x1，y1）、D（x2，y2），则x1+x2m，x1x2=m2-62，y1y2=13x1x2-m3(x1+x2)+m23，FC=(x1-2，y1)，FD=(x2-2，y2)FCFD=(x1-2)(x2-2)+y1y2=2m(m-3)3F在圆E的内部，FCFD00m3，又6m236m320已知函数f（x）exxlnx+ax，f（x）为f（x）的导数，函数f（x）在xx0处取得最小值（1）求证：lnx0+x00；（2）若x
23、x0时，f（x）1恒成立，求a的取值范围【解答】解：（1）证明：函数的定义域为（0，+），f（x）ex（lnx+1）+a，f(x)=ex-1x，易知函数f（x）在（0，+）上为增函数，又f(12)=e-20，f(1)=e-10，故函数f（x）存在唯一零点m(12，1)，使得f(m)=em-1m=0，且当x（0，m）时，f（x）0，f（x）单调递减，当x（m，+）时，f（x）0，f（x）单调递增，故函数f（x）在xm处取得最小值，依题意，mx0，ex0-1x0=0，即ex0=1x0，两边同时取对数得x0=ln1x0=-lnx0，lnx0+x00；（2）由（1）知，当xx0时，f（x）ex（lnx
24、+1）+a的最小值为ex0-(lnx0+1)+a=1x0+x0+a-1，当1x0+x0+a-10，即a1-(1x0+x0)时，此时f（x）为x0，+）上的增函数，f(x)min=f(x0)=ex0-x0lnx0+ax0=1x0+x02+ax01x0+x02+x01-(1x0+x0)=1x0+x0-1，由（1）知，12x01，故1x0+x0-11，即f（x）1，故a1-(1x0+x0)满足题意；当1x0+x0+a-10，即a1-(1x0+x0)时，f（x）有两个不同的零点x1，x2，且x1x0x2，则f(x2)=ex2-(lnx2+1)+a=0，即a=lnx2-ex2+1，当x（x0，x2）时，
25、f（x）0，f（x）为减函数，当x（x2，+）时，f（x）0，f（x）为增函数，f（x）minf（x2），注意到f（1）e+a1时，a1e，且此时f（1）e+a10，（i）当a1e时，f（1）e+a10f（x2），0x21，即1x20，又f(x2)=ex2-x2lnx2+ax2=ex2-x2lnx2+(lnx2-ex2+1)x2=(1-x2)ex2+x2=(1-x2)(ex2-1)+1，而ex2-10，故(1-x2)(ex2-1)+11，即f（x2）1，由于在12x01下，恒有1x0+x0e，故1-e1-(1x0+x0)；（ii）当a1e时，f（1）e+a10f（x2），x21x0，当x（1，x2）时，f（x）为减函数，f（x）f（1）e+a1，与题设不符，故舍去综上，实数a的取值范围为1e，+）
