1、2020年全国统一高考数学试卷（理科）(新课标） 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A=(x,y)|x,y,yx,B=(x,y)|x+y=8,则AB中元素数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 62. 复数的虚部是( )A. -B. -C. D. 3. 在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为,且=1,则下面四种情形中, 对应样本的标准差最大的一组是( )A. ,=0.1,=0.4B. =0.4,=0.1C. ,=0.2,=0.3D. =0.3,=0.24. Logistic 模型是常用数学模型之一, 可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建
2、立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=,其中K为最大确诊病例数.当I()=0.95K时,标志着已初步遏制疫情, 则约为（ ）(193)A. 60B. 63C. 66D. 695. 设O为坐标原点, 直线x=2与抛物线C:=2px(p0)交于D,E两点,若ODOE, 则C的焦点坐标为( )A. (,0)B. (,0)C. (1,0)D. (2,0)6. 已知向量,满足|=5, |=6,=-6, 则=( )A. -B. -C. D. 7. 在ABC中,C=,AC=4,BC=3,则B=( )A. B. C. D. 8. 下图为某几何体的三视图, 则
3、该几何体的表面积是( )A. 6+4B. 4+4C. 6+2D. 4+29. 已知2-(+)=7,则=( )A. -2B. -1C. 1D. 210. 若直线l与曲线y=和圆+=都相切，则l的方程为( )A. y=2x+1B. y=2x+C. y=x+1D. y=x+11. 设双曲线C:-=1(a0,b0)的左、右焦点分别为,离心率为.P是C上一点, 且PP.若的面积为4, 则a=( )A. 1B. 2C. 4D. 812. 已知,.设a=3,b=5,c=8，则（ ）A. abcB. bacC. bcaD. cab二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若x,y满足约束条件则z=3x
4、+2y的最大值为_.14. 的展开式中常数项是_(用数字作答).15. 已知圆锥的底面半径为1, 母线长为3, 则该圆锥内半径最大的球的体积为 .16. 关于函数f(x)=x+有如下四个命题:f(x)的图像关于y轴对称.f(x)的图像关于原点对称,f(x)的图像关于直线x=对称.f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是_.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 设数列满足=3,=-4n.(1) 计算, 猜想的通项公式并加以证明;(2)求数列的前n项和.18. 某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园的人次,整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次空气质
5、量等级0,200(200,400(400,6001（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）720(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率;(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)(3)若某天的空气质量等级为1或2:则称这天空气质量好若某天的空气质量等级为3成4,则称这天空气质量不好根据所给数据,完成下面的22列联表并根据列联表,判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关?人次400人次400空气质量好空气质量不好19. 如图，在长方体ABCD-中，点E ,F分别在棱D,B
6、.上,且2DE=E，BF=2F.(1)证明:点在平面AEF内;(2)若AB=2，AD=1,，求二面角A-EF-的正弦值.20. 已知椭圆C:的离心率为，A，B分别为C的左右顶点.（1）求C的方程；（2）若点P在C上,点Q在直线x=6上,且|BP|=|BQ|,BPBQ,求APQ的面积.21. 设函数f(x)=x3+bx+c,曲线y=f(x)在点处的切线与y轴垂直(1)求b;(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点,证明:f(x)所有零点的绝对值都不大于1.22. 在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数且t1),C与坐标轴交于A,B两点.(1)求|AB|;(2)以坐标原点为极点,x轴
7、正半轴为极轴建立极坐标系,求直线AB的极坐标方程.23. 设a,b,cR,a+b+c=0,abc=1.(1)证明:ab+bc+ca0;(2)用maxa,b,c表示a,b,c的最大值,证明:maxa,b,c.答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题.【解答】解：在集合B中，x+y=8，当x，y是正整数且yx时，有（1，7），（2，6），（3，5），（4，4）等4个元素，则AB中元素个数为4个.故选C.2.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查复数的运算以及复数虚部的判断，属于基础题.【解答】解：因为，所以其虚部为，故选D.3.【答案】B【解析】【分析】本题主
8、要考察样本标准差的计算，属于基础题根据各项数据，先求样本平均数，再计算标准差【解答】解：A中，平均数为，标准差为同理可得B中，平均数为2.5，标准差为，C中，平均数为2.5，标准差为，D中，平均数为2.5，标准差为故选B4.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查指数式与对数式的互化，属于基础题.根据题意可得，解出的值.【解答】解：由题可知，所以，解得故选C5.【答案】B【解析】【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系及抛物线的性质，基础题根据直线x=2与抛物线交于D、E两点，确定D、E两点坐标，由ODOE可得，可确定p的值，从而得到抛物线的焦点坐标【解答】解：根据题意得D（2，2p）,E（2，-
9、2p）,因为ODOE，可得，所以4-4p=0，故p=1，所以抛物线C：y2=2x，所以抛物线的焦点坐标为(,0).故选B6.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查平面向量的模长、数量积、夹角问题，基础题根据平面向量的夹角定义可知，由可得的值，由可得的值，从而可得答案.【解答】解：因为，所以，,所以，因为，所以，故选D.7.【答案】A【解析】【分析】本题考查余弦定理，考查运算求解能力，难度一般.先由已知条件应用余弦定理求出AB，再利用余弦定理即可求出cosB.【解答】解：由余弦定理可得，解得AB=3.在ABC中，由余弦定理可得故选A.8.【答案】C【解析】【分析】本题考查由三视图求几何体的表面积
10、，考查空间想象能力，难度一般.先由三视图还原几何体，即可求出表面积.【解答】解：由三视图可知该几何体是底面为腰长2的等腰直角三角形，一侧棱长为2且垂直底面的三棱锥，如图故其表面积为故选C.9.【答案】D【解析】【分析】本题考查两角和的正切公式的应用，属于基础题.【解答】解：，整理得，故选D.10.【答案】D【解析】【分析】本题考查了导数几何意义的应用以及直线和圆相切问题，考查了运算能力，属于中档题.【解答】解：根据条件，设直线l与曲线相切于点，因为的导函数，所以切线l斜率，所以可得直线l的方程为，即，又因为直线l与圆，而圆的圆心（0,0），半径,则圆心到直线l的距离，因为，解得，把带入，化简可
11、得直线l的方程为.故选：D.11.【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的定义，简单几何性质，考查运算求解能力，难度一般.根据双曲线的性质及已知条件，列出相应的式子即可解出a.【解答】解：设，则由题意知为直角三角形，则，即（*），又的面积为4，则，由已知，双曲线的离心率，将、分别代入（*）可得，又，故故选A.12.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查对数与对数函数,借助中间值比较大小.【解答】解:,；;综上所述，即故选A.13.【答案】7【解析】【分析】本题考查了根据线性规划求最值，属较易题本题先根据线性约束条件画出平面区域，再利用图解法即可求出目标函数的最大值【解答】解：画出不等式组所表
12、示的平面区域，如图所示由得点A坐标为，由得点B坐标为，即不等式所表示的平面区域为（包括边界），再将化为，可看作斜率为，截距为z的一族平行直线，由图可知，当直线经过点A时，截距z最大，因此，当时，故答案为714.【答案】240【解析】【分析】本题考查二项式定理的特定项的系数，属于基础题.由题意，可得原式的二项展开式的通项为，令k=4,即可求解常数项.【解答】解：的二项展开式的通项为，当12-3k=0，k=4时，该项为常数，故常数项为.故答案为240.15.【答案】【解析】【分析】本题考查圆锥的内切球问题以及球的体积公式，通过列方程进行求解即可.【解答】解：如图，由题意可知，圆锥内半径最大的球满足
13、与底面相切于，与侧面相切于点，设球的半径为，则，且，解得，故.故答案为：.16.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了三角函数的图象与性质及函数的奇偶性、对称性等有关知识，属于中档题根据函数奇偶性定义可判断出函数图象的对称性；通过函数图象关于直线对称可得等量关系，进而检验等式是否成立即可；特殊值法可判断出函数的最值.【解答】解：根据题意，易得函数定义域关于原点对称，所以是奇函数，图象关于原点对称，故错误，正确；若函数关于直线对称，则有，即，通过化简可得等式成立.故正确；当时，故错误.故答案为.17.【答案】解：（1），猜想.方法一：证明：，又因为，所以；方法二：证明：当n=1时，成立；当n2时
14、，假设n=k时成立，即，故假设成立，综合可知猜想成立，即；（2），两边同乘2可得：，-得：，所以.【解析】本题考查数列的递推公式与错位相减法求和，属于中档题.（1）先由递推公式求出，猜想，方法一：利用待定系数法可得到数列为每项都是的常数列，即可求出数列的通项公式，方法二：利用数学归纳法可证明；（2）由（1）可得，利用错位相减法即可求出.18.【答案】解：（1）空气质量等级为1的概率为;空气质量等级为2的概率为;空气质量等级为3的概率为;空气质量等级为4的概率为;(2) 一天中该公园锻炼的平均人次的估计值为；（3）人次人次空气质量好3337空气质量不好228有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的
15、人次与该市当天的空气质量有关.【解析】本题考查了独立性检验和古典概率，属于中档题.19.【答案】解：（1）连接,要证点在平面AEF内，可证明A、E、F、四点共面；;,可得点在平面AEF内（2）以为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，则A(2,1,3),E(2,0,2),F(0,1,1),，,设平面AEF的法向量为(x,y,z),则可得x=1,y=1,z=-1.则(1,1,-1),设平面的法向量为(a,b ,c),则令a=1，可得b=4,c=2,则(1，4，2),二面角的正弦值为.【解析】本题考查点与面的位置关系以及利用空间向量求二面角，属于中档题.20.【答案】解：（1），C的
16、方程为.（2）由题：A(-5,0),B(5,0),设Q(6,t),显然，则，则，则直线BP方程为：，联立，化简得，解得，即，代入，解得，当时，Q(6,2),P(3,1)，PQ方程为：，点A到直线PQ的距离为，则；当时，Q(6,8),P(-3,1)，PQ方程为：，点A到直线PQ的距离为，则，根据对称性，时面积均为，综上：的面积为.【解析】本题考查椭圆方程的求解，两点间距离公式，直线方程，点到直线距离公式的综合运用，属于较难题.21.【答案】解：(1),由题意知：，.(2),由题意知与在上至少有一交点，设，当时，当时，故在和上单调递减，在上单调递增，又，故，显然此时与在上无交点，原命题得证.【解析
17、】本题考查利用导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性、零点问题，属于较难题.(1)根据导数的几何意义列方程求解即可.(2) 先把有一个绝对值不大于1的零点等价转化为与在上至少有一交点，求出的取值范围，进而根据的单调性即可证明原命题成立.22.【答案】解：（1）令，即，解得（），将代入参数方程得令，即，解得（），将代入参数方程得，不妨设，则.（2）直线AB的直角坐标方程为，化简得，由，化为极坐标方程为.【解析】本题考查参数方程的概念，直角坐标方程与极坐标方程的互化，属于基础题分别令，即可求出A、B两点的坐标，即可求解.23.【答案】证明（1），即，即.（2），a,b,c同正或两负一正，a,b,c不可能同正，即a,b,c两负一正，不妨设，则，由题意得，a,b可看成是一元二次方程的两根，因两根存在，则，解得，即【解析】本题考查不等式的证明，属于中档题.运用恒等变换和一元二次方程根与系数的关系即可证明.
