1、2020年山东省新高考数学模拟试卷（十三）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知集合，则ABCD2（5分）已知复数满足，则ABCD83（5分）设函数是定义在上的奇函数，当时，则A2B1CD4（5分）若，则下列不等式错误的是ABCD5（5分）如图，已知等腰梯形中，是的中点，是线段上的动点，则的最小值是A1B0CD6（5分）将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若对任意的均有成立，则的最小值为ABCD7（5分）已知双曲线的一个焦点为，若双曲线上存在点使为正
2、三角形，则双曲线的离心率为ABCD8（5分）已知函数，（其中为自然对数的底数），若函数有4个零点，则的取值范围为ABC，D二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9（5分）已知数列为等差数列，其前项和为，且，则下列结论正确的是AB最小CD10（5分）已知是坐标原点，是抛物线上不同于的两点，且，下列结论中正确的是ABC直线过抛物线的焦点D到直线的距离小于或等于111（5分）如图，将边长为2的正方形沿对角线折起，得到三棱锥，则下列命题中，正确的为A直线平面B三棱锥的外接球的表面积是CD若为的中
3、点，则平面12（5分）已知函数的图象与直线有两个交点，则的取值可以是AB1C2D3三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）若和不共线，且，则14（5分）展开式中的系数为15（5分）过直线上一点为作圆的两条切线，切点分别为，若四边形的面积为3，则点的横坐标为16（5分）在中，角，所对的边分别是，已知，若，则的面积为；若有两解，则的取值范围是四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）等比数列的各项均为正数，且，（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和18（12分）在中，角，所对的边分别为（1）求证：；（2）若的外接圆面积为
4、，求的周长19（12分）如图，在圆柱中，点、分别为上、下底面的圆心，平面是轴截面，点在上底面圆周上（异于、，点为下底面圆弧的中点，点与点在平面的同侧，圆柱的底面半径为1，高为2（1）若平面平面，证明：；（2）若直线与平面所成线面角的正弦值等于，证明：平面与平面所成锐二面角的平面角大于20（12分）已知椭圆的离心率为，且椭圆过点（）求椭圆的方程；（）设椭圆的右焦点为，直线与椭圆相切于点，与直线相交于点，求证：的大小为定值21（12分）某保险公司对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金，保险公司把企业的所有岗位共分为，三类工种，从
5、事这三类工种的人数分别为12000，6000，2000，由历史数据统计出三类工种的赔付频率如表（并以此估计赔付概率） 工种类别 赔付频率 已知，三类工种职工每人每年保费分别为25元、25元、40元，出险后的赔偿金额分别为100万元、100万元、50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元（1）求保险公司在该业务所或利润的期望值；（2）现有如下两个方案供企业选择：方案1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给意外职工，企业开展这项工作的固定支出为每年12万元；方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的，职工个人负责保费的，出
6、险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议22（12分）已知函数（1）当为何值时，轴为曲线的切线，（2）用，表示，中的最大值，设函数，当时，讨论零点的个数2020年山东省新高考数学模拟试卷（十三）参考答案与试题解析一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知集合，则ABCD【解答】解：集合，则，故选：2（5分）已知复数满足，则ABCD8【解答】解：由，得，故选：3（5分）设函数是定义在上的奇函数，当时，则A2B1CD【解答】解：根据题意，当时，则（8），又由函数为奇函数，则（8）
7、，（2），故选：4（5分）若，则下列不等式错误的是ABCD【解答】解：，为增函数，故正确；为减函数，又由，可得，故正确；为减函数，故，故正确；，故错误；故选：5（5分）如图，已知等腰梯形中，是的中点，是线段上的动点，则的最小值是A1B0CD【解答】解：由等腰梯形的知识可知，设，则，当时，取得最小值故选：6（5分）将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若对任意的均有成立，则的最小值为ABCD【解答】解：函数的图象向左平移个单位长度，得到：再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若对任意的均有成立即：取得
8、最大值1，根据选项，四个选项，只有正确故选：7（5分）已知双曲线的一个焦点为，若双曲线上存在点使为正三角形，则双曲线的离心率为ABCD【解答】解：双曲线上存在点使为正三角形，设为右焦点，在第一象限，点的坐标为，代入双曲线方程得：，即为，即，解得故选：8（5分）已知函数，（其中为自然对数的底数），若函数有4个零点，则的取值范围为ABC，D【解答】解：函数为偶函数，且的最大值为1，作出的图象（如右黑线）由的导数为，可得时，递增，或时，递减，取得极小值，作出的图象（如右红线），函数有4个零点，即为有四个解，可令，若，则，则有3解，不符题意；若，则有4解，两个负的，两个正的，则可能有4，6解，不符题意
9、；若，则有4解，两个负的，两个正的，（一个介于，一个大于，则有6解，不符题意；若，则有4解，两个负的，两个正的（一个介于，一个大于，则有4解，符合题意故选：二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9（5分）已知数列为等差数列，其前项和为，且，则下列结论正确的是AB最小CD【解答】解：因为数列为等差数列，即，即，故正确；因为，所以，但是无法推出数列的单调性，故无法确定是最大值还是最小值故错误；因为，所以，故正确；，所以正确故选：10（5分）已知是坐标原点，是抛物线上不同于的两点，且，下列结论
10、中正确的是ABC直线过抛物线的焦点D到直线的距离小于或等于1【解答】解：设， ，当且仅当，即时等号成立，故选项正确，又，故选项正确，直线的斜率为，直线的方程为： ，当时，焦点坐标不满足直线的方程，故选项错误，原点到直线 的距离，故选项正确，故选：11（5分）如图，将边长为2的正方形沿对角线折起，得到三棱锥，则下列命题中，正确的为A直线平面B三棱锥的外接球的表面积是CD若为的中点，则平面【解答】解：由正方形的性质可得，为相交直线，可得平面，故正确；由，则为三棱锥的外接球的球心，半径为，其表面积为，故正确；若，又，可得平面，可得，由于，不成立，故错误；若为的中点，可得，若平面，可得，即，可得，则，
11、三点共线，不成立，故错误故选：12（5分）已知函数的图象与直线有两个交点，则的取值可以是AB1C2D3【解答】解：令，当时，函数在上单调递减，不可能有两个零点，不符合题意，舍去当时，令，解得可得函数在时取得最小值，可得函数在取得最大值，的最小值时，函数有且仅有两个零点，即函数的图象与直线有两个交点，的取值可以是1，2，3故选：三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）若和不共线，且，则【解答】解：因为，；所以，所以，即，又向量不共线，所以，故，即，即，故答案为：14（5分）展开式中的系数为15【解答】解：，展开式中项的系数之和为：故答案为：1515（5分）过直线上一点为作圆的
12、两条切线，切点分别为，若四边形的面积为3，则点的横坐标为或1【解答】解：根据题意，设的坐标为，圆，即，其圆心为，半径，若四边形的面积为3，即，则有，则，则有，即，解可得或1；故答案为：或116（5分）在中，角，所对的边分别是，已知，若，则的面积为；若有两解，则的取值范围是【解答】解：在中，由正弦定理，把，可得：，可得：由于：，由题意得，有两解时需要：，则，解得：故答案为：，四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）等比数列的各项均为正数，且，（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和【解答】解：（1）设数列的公比为，由得所以由条件可知，故由
13、，得，所以故数列的通项式为（6分）（2）故，数列的前项和：所以数列的前项和为：（12分）18（12分）在中，角，所对的边分别为（1）求证：；（2）若的外接圆面积为，求的周长【解答】解：（1）证明：，在中，；（2）设的外接圆的半径为，由已知得，由余弦定理有，的周长为：19（12分）如图，在圆柱中，点、分别为上、下底面的圆心，平面是轴截面，点在上底面圆周上（异于、，点为下底面圆弧的中点，点与点在平面的同侧，圆柱的底面半径为1，高为2（1）若平面平面，证明：；（2）若直线与平面所成线面角的正弦值等于，证明：平面与平面所成锐二面角的平面角大于【解答】（本小题满分12分）解：（1）由题知：面面，面面因为
14、，平面所以平面所以（2）以点为坐标原点，分别以，为、轴建立空间坐标系，所以，0，1，设，则，设平面的法向量，因为，所以，所以，即法向量因此所以，解得，所以点设面的法向量；因为，所以，所以，即法向量因为面的法向量，所以所以面与面所成锐二面角的平面角大于20（12分）已知椭圆的离心率为，且椭圆过点（）求椭圆的方程；（）设椭圆的右焦点为，直线与椭圆相切于点，与直线相交于点，求证：的大小为定值【解答】解：（）由题意可知，解得，椭圆的方程为证明（）显然直线的斜率存在，设，联立，得，得，设，则，点为，右焦点，即的大小为定值21（12分）某保险公司对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工
15、只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金，保险公司把企业的所有岗位共分为，三类工种，从事这三类工种的人数分别为12000，6000，2000，由历史数据统计出三类工种的赔付频率如表（并以此估计赔付概率） 工种类别 赔付频率 已知，三类工种职工每人每年保费分别为25元、25元、40元，出险后的赔偿金额分别为100万元、100万元、50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元（1）求保险公司在该业务所或利润的期望值；（2）现有如下两个方案供企业选择：方案1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给意外职工，企业开展这项工作的
16、固定支出为每年12万元；方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的，职工个人负责保费的，出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议【解答】解：（1）设工种、职工的每份保单保险公司的收益为随机变量、，则、的分布列为：2525 40 ，保险公司的利润的期望值为，保险公司在该业务所获利润的期望值为9万元（2）方案1：企业不与保险公司合作，则企业每年安全支出与固定开支共为：，方案2：企业与保 险公司合作，则企业支出保险金额为：，建议企业选择方案222（12分）已知函数（1）当为何值时，轴为曲线的切线，（2）用，表示，中的最大值，设函数，当时，讨论零点的个数【解答】解：（1）设曲线与轴相切与点，则，即，当时，轴为曲线的切线（2）令，则，由，得，当时，为增函数；当，时，为减函数，当，即时，有一个零点；当，即时，有两个零点；当，即时，有三个零点；当，即时，有两个零点；当，即时，有一个零点，综上，或时，有一个零点；当或时，有两个零点；当，有三个零点
