1、2020年山东省新高考数学模拟试卷（十）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）设集合，则集合ABCD2（5分）若抛物线，上一点，到焦点的距离为1，则该抛物线的焦点坐标为A，BCD3（5分）记为等比数列的前项和，若，则A1B32C64D4（5分）已知函数，则ABC9D5（5分）在中，为边上的高，为的中点，若，则A1BCD6（5分）已知函数的图象与轴的两个相邻交点的距离等于，若函数的图象上各点的纵坐标不变，先将其上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位得到函数的图象，则函数ABCD7（5分）按文献记载，百家姓成文于北
2、宋初年，表1记录了百家姓开头的24大姓氏：表1赵钱孙李周吴郑王冯陈褚卫蒋沈韩杨朱秦尤许何吕施张表2记录了2018年中国人口最多的前10大姓氏：表21：李2：王3：张4：刘5：陈6：杨7：赵8：黄9：周10：吴从百家姓开头的24大姓氏中随机选取2个姓氏，则这2个姓氏至少有1个是2018年中国人口最多的前10大姓氏的概率为ABCD8（5分）已知正四面体的表面积为，为棱的中点，球为该正四面体的外接球，则过点的平面被球所截得的截面面积的最小值为ABCD二、多项选择题（本题共4小题每小题5分，共20分.在每小题给出.的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选錯的得0分）.9（
3、5分）定义在上的函数的导函数为，若，则使不等式成立的充分不必要条件是ABCD10（5分）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是A为函数的递增区间B为函数的递减区间C函数在处取得极大值D函数在处取得极小值11（5分）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中正确的是AB平面C三棱锥的体积为定值D的面积与的面积相等12（5分）已知圆，直线，下列命题中为真命题的是A对任意实数与，直线和圆相切B对任意实数与，直线和圆有公共点C对任意实数，必存在实数，使得直线和圆相切D对任意实数，必存在实数，使得直线和圆相切三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知，则14
4、（5分）已知为坐标原点，为椭圆的右焦点，过点的直线在第一象限与椭圆交与点，且为正三角形，则椭圆的离心率为15（5分）已知向量，若与的夹角为直角，则实数，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是16（5分）在中，角的平分线交于点，则面积最大值为四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）在中，已知，（1）求的值；（2）若，为的中点，求的长18（12分）已知数列的前项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）若数列是等差数列，且，求数列的前项和19（12分）如图，直角三角形所在的平面与半圆弧所在平面相交于，分别为，的中点是上异于，的点，（1）证明：平面平面（2
5、）若点为半圆弧上的一个三等分点（靠近点，求二面角的余弦值20（12分）如图，已知抛物线，为圆上一动点，由向引切线，切点分别为，当点坐标为时，的面积为4（）求的方程；（）当点在圆上运动时，记，分别为切线，的斜率，求的取值范围21（12分）设函数（1）证明：当时，；（2）若关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围22（12分）某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过的包裹收费10元；重量超过的包裹，除收费10元之外，超过的部分，每超出（不足时按计算）需再收5元公司从承揽过的包裹中，随机抽取100件，其重量统计如下：包裹重量（单位：，包裹件数43301584公司又随机抽取了60天的揽件数，得到频
6、数分布表如下：揽件数，天数6630126以记录的60天的揽件数的频率作为各揽件数发生的概率（1）计算该公司3天中恰有2天揽件数在，的概率；（2）估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；（3）公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用做其他费用，目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，每人每天工资100元，公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润有利？（同一组中的揽件数以这组数据所在区间中点值作代表）2020年山东省新高考数学模拟试卷（十）参考答案与试题解析一、单项选择题（本题共8小题，每小题5
7、分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）设集合，则集合ABCD【解答】解：集合，故选：2（5分）若抛物线，上一点，到焦点的距离为1，则该抛物线的焦点坐标为A，BCD【解答】解：抛物线，抛物线的准线方程为抛物线上一点，到焦点的距离是1，根据抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，可得，代入可得，所以抛物线的焦点坐标，故选：3（5分）记为等比数列的前项和，若，则A1B32C64D【解答】解：设等比数列的公比为，化为：，解得则故选：4（5分）已知函数，则ABC9D【解答】解：由题意可得，故选：5（5分）在中，为边上的高，为的中点，若，则A1BCD【解答】解
8、：在中，又所以为的中点故选：6（5分）已知函数的图象与轴的两个相邻交点的距离等于，若函数的图象上各点的纵坐标不变，先将其上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位得到函数的图象，则函数ABCD【解答】解：函数，由于函数的图象与轴的两个相邻交点的距离等于，故，所以，整理得先将其上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到，再向左平移个单位，得到故选：7（5分）按文献记载，百家姓成文于北宋初年，表1记录了百家姓开头的24大姓氏：表1赵钱孙李周吴郑王冯陈褚卫蒋沈韩杨朱秦尤许何吕施张表2记录了2018年中国人口最多的前10大姓氏：表21：李2：王3：张4：刘5：陈6：杨7：赵8：黄9：周10：吴从百家姓
9、开头的24大姓氏中随机选取2个姓氏，则这2个姓氏至少有1个是2018年中国人口最多的前10大姓氏的概率为ABCD【解答】解：2018年中国人口最多的前10大姓氏中有8个在百家姓开头的24大姓氏中，从百家姓开头的24大姓氏中随机选取2个姓氏，基本事件总数，这2个姓氏至少有1个是2018年中国人口最多的前10大姓氏包含的基本事件个数为：，则这2个姓氏至少有1个是2018年中国人口最多的前10大姓氏的概率为故选：8（5分）已知正四面体的表面积为，为棱的中点，球为该正四面体的外接球，则过点的平面被球所截得的截面面积的最小值为ABCD【解答】解：如图所示，球为正四面体的外接球，正四面体的表面积为，为棱的
10、中点，正四面体的棱长为，正方体的棱长为可得外接球半径满足，即为棱的中点，过作其外接球的截面，当截面到球心的距离最大时，截面圆的面积达最小值，此时球心到截面的距离等于正方体棱长的一半，可得截面圆的半径为，得到截面圆的面积最小值为故选：二、多项选择题（本题共4小题每小题5分，共20分.在每小题给出.的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选錯的得0分）.9（5分）定义在上的函数的导函数为，若，则使不等式成立的充分不必要条件是ABCD【解答】解：由题意得：，故函数，即，即，解得故选：10（5分）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是A为函数的递增区间B为函数的递减
11、区间C函数在处取得极大值D函数在处取得极小值【解答】解：由函数导函数的图象可知：当或时，单调递减；当或时，单调递增；所以的单调减区间为，正确；单调增区间为，正确；在，5处取得极小值，在处取得极大值，错误，正确故选：11（5分）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中正确的是AB平面C三棱锥的体积为定值D的面积与的面积相等【解答】解：对于，由题意知，当点与重合时，与所成的角是，所以错误；对于，由正方体的两个底面平行，在其一面上，故与平面无公共点，故有平面，正确；对于，由几何体的性质及图形知，三角形的面积是定值，点到面，故可得三棱锥的体积为定值，正确；对于，由图形可以看出，到线段
12、的距离与到的距离不相等，故的面积与的面积相等不正确，错误故选：12（5分）已知圆，直线，下列命题中为真命题的是A对任意实数与，直线和圆相切B对任意实数与，直线和圆有公共点C对任意实数，必存在实数，使得直线和圆相切D对任意实数，必存在实数，使得直线和圆相切【解答】解：对于，时，圆的方程为：，此时轴为圆过原点的切线，直线和圆不相切，所以、错误；对于，圆恒过定点，直线也恒过定点，所以直线和圆有公共点，正确；对于，由圆心到直线的距离为：，其中为辅助角，所以对任意实数，存在，直线和圆的关系是相交或者相切，正确故选：三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知，则10【解答】解：，则展
13、开式的通项为，令得，故答案为：1014（5分）已知为坐标原点，为椭圆的右焦点，过点的直线在第一象限与椭圆交与点，且为正三角形，则椭圆的离心率为【解答】解：椭圆上存在点使为正三角形，设为右焦点，在第一象限，点的坐标为，代入椭圆方程得：，即，解得故答案为：15（5分）已知向量，若与的夹角为直角，则实数，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是【解答】解：，解得；与的夹角为锐角，且与不共线，解得，且，的取值范围是故答案为：，16（5分）在中，角的平分线交于点，则面积最大值为3【解答】解：中，角的平分线交于点，如图所示；则，由三角形内角平分线定理得，设，则，；由余弦定理得，即，解得；面积为，当且仅当时“”
14、成立；所以面积的最大值为3故答案为：3四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）在中，已知，（1）求的值；（2）若，为的中点，求的长【解答】解：（1）在中，已知，由于：，所以：（2）由（1）可得由正弦定理得：，解得：在中，解得：18（12分）已知数列的前项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）若数列是等差数列，且，求数列的前项和【解答】解：（1）数列的前项和为，且当时，解得：当时，得：，故：（常数），所以：数列是以1为首项，3为公比的等比数列所以：（首项符合通项），故：（2）数列是等差数列，且，所以：设，则：公差，所以：则：，故：，19（12分）
15、如图，直角三角形所在的平面与半圆弧所在平面相交于，分别为，的中点是上异于，的点，（1）证明：平面平面（2）若点为半圆弧上的一个三等分点（靠近点，求二面角的余弦值【解答】证明：（1）因为半圆弧上的一点，所以在中，分别为，的中点，所以，且于是在中，所以为直角三角形，且（2分）因为，所以（3分）因为，（4分）所以平面又平面，所以平面平面（5分）解：（2）由已知，以为坐标原点，分别以垂直于平面向上的方向，向量所在方向作为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，（7分）设平面的一个法向量为，则，取，得，1，（8分）设平面的法向量，则，即，取，得（9分）所以，（11分）又二面角为锐角，所
16、以二面角的余弦值为（12分）20（12分）如图，已知抛物线，为圆上一动点，由向引切线，切点分别为，当点坐标为时，的面积为4（）求的方程；（）当点在圆上运动时，记，分别为切线，的斜率，求的取值范围【解答】解：设切线方程为：，不妨设联立，化为：，则，化为：方程化为：，解得，的面积为4，解得的方程为：（）设，则设切线方程为：，联立，化为：，的取值范围是，21（12分）设函数（1）证明：当时，；（2）若关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围【解答】证明：（1），当时，函数在上单调递增，（1），当时，解：（2）设，当时，在上单调递减，（1）恒成立，当时，上有（e），故不合题意，当时，对任意恒成立，当
17、时，故不合题意，综上所述22（12分）某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过的包裹收费10元；重量超过的包裹，除收费10元之外，超过的部分，每超出（不足时按计算）需再收5元公司从承揽过的包裹中，随机抽取100件，其重量统计如下：包裹重量（单位：，包裹件数43301584公司又随机抽取了60天的揽件数，得到频数分布表如下：揽件数，天数6630126以记录的60天的揽件数的频率作为各揽件数发生的概率（1）计算该公司3天中恰有2天揽件数在，的概率；（2）估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；（3）公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用做其他费用，目前前台有工作人员3
18、人，每人每天揽件不超过150件，每人每天工资100元，公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润有利？（同一组中的揽件数以这组数据所在区间中点值作代表）【解答】解：（1）样本中包裹件数在，内的天数为48，频率为，可估计概率为，未来3天中，包裹件数在，间的天数服从二项分布，即，故所求概率为；（2）样本中快递费用及包裹件数如下表：包裹重量（单位：12345快递费（单位：元）1015202530包裹件数43301584故样本中每件快递收取的费用的平均值为（元，故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元根据题意及（2），揽件数每增
19、加1，可使前台工资和公司利润增加（元，将题目中的天数转化为频率，得包裹件数范围包裹件数（近似处理）50150250350450天数6630126频率0.10.10.50.20.1若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：包裹件数（近似处理）50150250350450实际揽件数50150250350450频率0.10.10.50.20.1故公司平均每日利润的期望值为（元；若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：包裹件数（近似处理）50150250350450实际揽件数50150250300300频率0.10.10.50.20.1故公司平均每日利润的期望值为（元因，故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利
