1、2020年山东省新高考数学模拟试卷（十一）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）设集合，则A，B，C，D，2（5分）“”是“复数为纯虚数”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3（5分）函数的图象大致为ABCD4（5分）已知，的值为ABC1D25（5分）2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数使得是素数，素数对称为孪生素数从10以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为ABCD6（5
2、分）已知定义在上的函数满足，且时，则的解集为ABCD，7（5分）某次夏令营中途休息期间，3位同学根据胡老师的口音对她是哪个地方的人进行了判断：甲说胡老师不是上海人，是福州人；乙说胡老师不是福州人，是南昌人；丙说胡老师不是福州人，也不是广州人听完以上3人的判断后，胡老师笑着说，你们3人中有1人说的全对，有1人说对了一半，另1人说的全不对，由此可推测胡老师A一定是南昌人B一定是广州人C一定是福州人D可能是上海人8（5分）设双曲线的左、右焦点分别为、，是双曲线上一点，点到坐标原点的距离等于双曲线焦距的一半，且，则双曲线的离心率是ABCD二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，其20分在每小题给出的
3、选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选时的得3分，有选错的得0分）9（5分）已知函数，则下列说法正确的是A的周期为B是的一条对称轴C是的一个递增区间D是的一个递减区间10（5分）已知，为两条不同直线，为三个不同平面，下列说法正确的有A若，则B若，则C若，则D若，则11（5分）在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是ABCD12（5分）若函数满足：对任意一个三角形，只要它的三边长，都在函数的定义域内，就有函数值（a），（b），（c）也是某个三角形的三边长，则称函数为“保三角形函数“下面四个函数中保三角形函数有ABC D三.填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）已
4、知向量，若，则14（5分）若直线与两坐标轴分别交于，两点，为坐标原点，则的内切圆的标准方程为15（5分）在九章算术第五卷商功中，将底面为正方形，顶点在底面上的射影为底面中心的四棱锥称为方锥，也就是正四棱锥已知球内接方锥的底面过球心，若方锥的体积为，则球的半径为，表面积为16（5分）已知函数，若存在，使得，则实数的值为四、解答题（本题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）已知的内角，的对边分别为，的面积，（1）求和角；（2）如图，平分，且，求的长18（12分）如图，在三棱柱中，底面，点，分别为与的中点（1）证明：平面（2）求与平面所成角的正弦值19（12分）已知
5、等比数列为递增数列，且，数列满足：，（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和20（12分）某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示），由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的（1）根据频率分布直方图计算各小长方形的宽度；（2）估计该公司投入4万元广告费之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）（3）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到如表：广告投入（单位：万元）12345销售收益（单位：万元）2327表格中的数据显示，与之间存在线性相关关系，请
6、将（2）的结果填入空白栏，并计算关于的回归方程回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，21（12分）已知椭圆过点，左、右焦点分别是，过的直线与椭圆交于，两点，的周长为（1）求椭圆的方程；（2）若点满足，求四边形面积的最大值22（12分）已知函数，其中为常数（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，求的最大值2020年山东省新高考数学模拟试卷（十一）参考答案与试题解析一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）设集合，则A，B，C，D，【解答】解：，且；，故选：2（5分）“”是“复数为纯虚数”的A充分不必要条件B必要不充分条
7、件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：复数为纯虚数，则， “”是“复数为纯虚数”的充要条件故选：3（5分）函数的图象大致为ABCD【解答】解：函数定义域为；，令，则函数；函数为奇函数，排除，；且当即时，函数有且只有一个零点，排除故选：4（5分）已知，的值为ABC1D2【解答】解：已知，故选：5（5分）2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数使得是素数，素数对称为孪生素数从10以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为ABCD【解答】解：依题意，10以内的素数共有4个，从中选两
8、个共包含个基本事件，而10以内的孪生素数有，两对，包含2个基本事件，所以从10以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率故选：6（5分）已知定义在上的函数满足，且时，则的解集为ABCD，【解答】解：，令，函数为奇函数，时，为增函数，故选：7（5分）某次夏令营中途休息期间，3位同学根据胡老师的口音对她是哪个地方的人进行了判断：甲说胡老师不是上海人，是福州人；乙说胡老师不是福州人，是南昌人；丙说胡老师不是福州人，也不是广州人听完以上3人的判断后，胡老师笑着说，你们3人中有1人说的全对，有1人说对了一半，另1人说的全不对，由此可推测胡老师A一定是南昌人B一定是广州人C一定是福州人D可能是上海人【
9、解答】解：在中，若胡老师是南昌人，则甲说的全不对，乙说对了一半，丙说的全对，满足条件，故胡老师有可能是南昌人，但不能说一定是南昌人，故错误；在中，若胡老师是广州人，则甲说的全不对，乙说的全不对，丙说的全对，不满足条件，故错误；在中，若胡老师是福州人，则甲说对一半，乙说的全不对，丙说的全不对，不满足条件，故错误；在中，若胡老师是上海人，由甲说的对一半，乙说的全不对，丙说的全对，满足条件，故正确故选：8（5分）设双曲线的左、右焦点分别为、，是双曲线上一点，点到坐标原点的距离等于双曲线焦距的一半，且，则双曲线的离心率是ABCD【解答】解：点到坐标原点的距离等于双曲线焦距的一半，可得，可设为双曲线右支
10、上一点，可得，又，解得，可得，即为，可得故选：二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，其20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选时的得3分，有选错的得0分）9（5分）已知函数，则下列说法正确的是A的周期为B是的一条对称轴C是的一个递增区间D是的一个递减区间【解答】解：，的周期为，故正确；，是的一条对称轴，故正确；当时，函数在，上不单调，故错误；当，时，函数在，单调递减，故正确故选：10（5分）已知，为两条不同直线，为三个不同平面，下列说法正确的有A若，则B若，则C若，则D若，则【解答】解：，为两条不同直线，为三个不同平面，则或相交，因此不正确；，则，因此正确；，
11、则，正确；，则，或因此不正确故选：11（5分）在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是ABCD【解答】解：，是正确的，同理也正确，对于答案可变形为，通过等积变换判断为正确故选：12（5分）若函数满足：对任意一个三角形，只要它的三边长，都在函数的定义域内，就有函数值（a），（b），（c）也是某个三角形的三边长，则称函数为“保三角形函数“下面四个函数中保三角形函数有ABC D【解答】解：任给三角形，设它的三边长分别为，则，不妨假设，对于，3，3，5可作为一个三角形的三边长，但，所以不存在三角形以，为三边长，故不是“保三角形函数”；由于，所以是“保三角形函数”；对于，（a）（b）（c），所以，是
12、“保三角形函数”；对于，若，由（a）（b）（c），所以，不是“保三角形函数”故选：三.填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知向量，若，则【解答】解：；故答案为：14（5分）若直线与两坐标轴分别交于，两点，为坐标原点，则的内切圆的标准方程为【解答】解：在直线中，令代入得，则，令代入得，则设的内切圆的圆心，因为内切圆与、轴都相切，所以，又内切圆与直线相切，所以，化简解得，或 （舍去），圆心为，半径为1，所以的内切圆的方程为：，故答案为：15（5分）在九章算术第五卷商功中，将底面为正方形，顶点在底面上的射影为底面中心的四棱锥称为方锥，也就是正四棱锥已知球内接方锥的底面过球心，若
13、方锥的体积为，则球的半径为1，表面积为【解答】解：设球的半径为，由题意可得正方形的中心为棱锥外接球的球心，底面，棱锥的高，故，所以，故球的表面积故答案为：1，16（5分）已知函数，若存在，使得，则实数的值为【解答】解：函数，函数可以看作是动点与动点之间距离的平方，动点在函数的图象上，在直线的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由得，解得，所以曲线上点到直线的距离最小，最小距离，则，根据题意，要使，则，此时恰好为垂足，由，解得故答案为：四、解答题（本题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）已知的内角，的对边分别为，的面积，（1）求和角；（2）如图，
14、平分，且，求的长【解答】（本题满分为12分）解：（1）因为，所以，因为，所以，又因为，所以分（2）因为平分，所以，在中，由正弦定理可得：，在中，由余弦定理可得：，所以分18（12分）如图，在三棱柱中，底面，点，分别为与的中点（1）证明：平面（2）求与平面所成角的正弦值【解答】解：（1）证明：直三棱柱中，可以以为顶点建立空间坐标系如图，点，分别为与的中点，取中点，0，2，0，2，在中，平面，为平面的一个法向量，而，又平面，平面；（2）易知，0，4，设是平面的一个法向量，则，取，则，即，设与平面所成角为，则，故与平面所成角的正弦值为19（12分）已知等比数列为递增数列，且，数列满足：，（1）求数列
15、和的通项公式；（2）设，求数列的前项和【解答】解：（1）设公比为的等比数列为递增数列，且，则：，整理得：，解得：或，由于数列为递增数列，故，且，所以：，解得：，所以：，故：数列满足：，所以：，故：数列是以为首项，2为公差的等差数列所以：（2），得：，整理得：20（12分）某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示），由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的（1）根据频率分布直方图计算各小长方形的宽度；（2）估计该公司投入4万元广告费之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）
16、（3）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到如表：广告投入（单位：万元）12345销售收益（单位：万元）2327表格中的数据显示，与之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并计算关于的回归方程回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，【解答】解：（1）设长方形的宽度为，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知，；（2）由（1）可知个小组依次是，其中点分别为1，3，5，7，9，11，对应的频率分别为0.16，0.20，0.28，0.24，0.08，0.04，故可估计平均值为；（3）空白处填5由题意，关于的回归方程为21（12分）已知椭圆过点，左、右焦点分别是，
17、过的直线与椭圆交于，两点，的周长为（1）求椭圆的方程；（2）若点满足，求四边形面积的最大值【解答】解：（1）椭圆过点，左、右焦点分别是，过的直线与椭圆交于，两点，的周长为由题意得，解得，椭圆的方程为（2）由（1）可知，的坐标为，直线的斜率不为0，设直线的方程为，联立，得，且恒成立，点满足，四边形为平行四边形，设其面积为，则，令，则，当且仅当，即时，有最大值4四边形面积的最大值为422（12分）已知函数，其中为常数（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，求的最大值【解答】解：（1）由，得当时，在，上为增函数，在上为减函数；当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；（2），则在上的最大值等价于在，上的最大值，记，则由（1）的结论可得：在，上单调递减，则（1），则在，上单调递增，的最大值为（1）
