1、2017年山东省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.1（5分）设函数y=的定义域为A，函数y=ln（1x）的定义域为B，则AB=（）A（1，2）B（1，2C（2，1）D2，1）2（5分）已知aR，i是虚数单位，若z=a+i，z=4，则a=（）A1或1B或CD3（5分）已知命题p：x0，ln（x+1）0；命题q：若ab，则a2b2，下列命题为真命题的是（）ApqBpqCpqDpq4（5分）已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是（）A0B2C5D65（5分）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高
2、y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为=x+，已知xi=225，yi=1600，=4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（）A160B163C166D1706（5分）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次，第二次输出的a值分别为（）A0，0B1，1C0，1D1，07（5分）若ab0，且ab=1，则下列不等式成立的是（）Aa+log2（a+b）Blog2（a+b）a+Ca+log2（a+b）Dlog2（a+b）a+8（5分）从分别标有1，2，9的9张卡片中不放回地
3、随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（）ABCD9（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ABC为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（）Aa=2bBb=2aCA=2BDB=2A10（5分）已知当x0，1时，函数y=（mx1）2 的图象与y=+m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（）A（0，12，+）B（0，13，+）C（0，）2，+）D（0，3，+）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11（5分）已知（1+3x）n的展开式中含有x2的系数是54，则n=
4、12（5分）已知， 是互相垂直的单位向量，若 与+的夹角为60，则实数的值是 13（5分）由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 14（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线=1（a0，b0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为 15（5分）若函数exf（x）（e2.71828是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质下列函数中所有具有M性质的函数的序号为 f（x）=2xf（x）=3xf（x）=x3f（x）=x2+2三、解答题（共6小题，满分75分）
5、16（12分）设函数f（x）=sin（x）+sin（x），其中03，已知f（）=0（）求；（）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在，上的最小值17（12分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120得到的，G是的中点（）设P是上的一点，且APBE，求CBP的大小； （）当AB=3，AD=2时，求二面角EAGC的大小18（12分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接
6、受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示（）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率（）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX19（12分）已知xn是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3x2=2（）求数列xn的通项公式；（）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1（x1，1），P2（x2，2）Pn+1（xn+1，n+1）得到折线P
7、1 P2Pn+1，求由该折线与直线y=0，x=x1，x=xn+1所围成的区域的面积Tn20（13分）已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=ex（cosxsinx+2x2），其中e2.17828是自然对数的底数（）求曲线y=f（x）在点（，f（）处的切线方程；（）令h（x）=g （x）a f（x）（aR），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值21（14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（ab0）的离心率为，焦距为2（）求椭圆E的方程（）如图，该直线l：y=k1x交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为k2，且看k1k2=，M是线段OC延长线上一点
8、，且|MC|：|AB|=2：3，M的半径为|MC|，OS，OT是M的两条切线，切点分别为S，T，求SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率2017年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.1（5分）（2017山东）设函数y=的定义域为A，函数y=ln（1x）的定义域为B，则AB=（）A（1，2）B（1，2C（2，1）D2，1）【解答】解：由4x20，解得：2x2，则函数y=的定义域2，2，由对数函数的定义域可知：1x0，解得：x1，则函数y=ln（1x）的定义域（，1），则AB=2，
9、1），故选D2（5分）（2017山东）已知aR，i是虚数单位，若z=a+i，z=4，则a=（）A1或1B或CD【解答】解：由z=a+i，则z的共轭复数=ai，由z=（a+i）（ai）=a2+3=4，则a2=1，解得：a=1，a的值为1或1，故选A3（5分）（2017山东）已知命题p：x0，ln（x+1）0；命题q：若ab，则a2b2，下列命题为真命题的是（）ApqBpqCpqDpq【解答】解：命题p：x0，ln（x+1）0，则命题p为真命题，则p为假命题；取a=1，b=2，ab，但a2b2，则命题q是假命题，则q是真命题pq是假命题，pq是真命题，pq是假命题，pq是假命题故选B4（5分）（2
10、017山东）已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是（）A0B2C5D6【解答】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；由解得A（3，4），此时直线y=x+z在y轴上的截距最大，所以目标函数z=x+2y的最大值为zmax=3+24=5故选：C5（5分）（2017山东）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为=x+，已知xi=225，yi=1600，=4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（）A160B163C166D170【解答】解：由线性回归方程为=4
11、x+，则=xi=22.5，=yi=160，则数据的样本中心点（22.5，160），由回归直线方程样本中心点，则=4x=160422.5=70，回归直线方程为=4x+70，当x=24时，=424+70=166，则估计其身高为166，故选C6（5分）（2017山东）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次，第二次输出的a值分别为（）A0，0B1，1C0，1D1，0【解答】解：当输入的x值为7时，第一次，不满足b2x，也不满足x能被b整数，故b=3；第二次，满足b2x，故输出a=1； 当输入的x值为9时，第一次，不满足b2x，也不满足x能被b整数，故b=3；
12、第二次，不满足b2x，满足x能被b整数，故输出a=0； 故选：D7（5分）（2017山东）若ab0，且ab=1，则下列不等式成立的是（）Aa+log2（a+b）Blog2（a+b）a+Ca+log2（a+b）Dlog2（a+b）a+【解答】解：ab0，且ab=1，可取a=2，b=则=4，=，log2（a+b）=（1，2），log2（a+b）a+故选：B8（5分）（2017山东）从分别标有1，2，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（）ABCD【解答】解：从分别标有1，2，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，共有=36种不同情况，且这些情况是
13、等可能发生的，抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的情况有=20种，故抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率P=，故选：C9（5分）（2017山东）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ABC为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（）Aa=2bBb=2aCA=2BDB=2A【解答】解：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sin（A+C）=sinAcosC+sinB，可得：2sinBcosC=sinAcosC，因为ABC为锐角三
14、角形，所以2sinB=sinA，由正弦定理可得：2b=a故选：A10（5分）（2017山东）已知当x0，1时，函数y=（mx1）2 的图象与y=+m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（）A（0，12，+）B（0，13，+）C（0，）2，+）D（0，3，+）【解答】解：根据题意，由于m为正数，y=（mx1）2 为二次函数，在区间（0，）为减函数，（，+）为增函数，函数y=+m为增函数，分2种情况讨论：、当0m1时，有1，在区间0，1上，y=（mx1）2 为减函数，且其值域为（m1）2，1，函数y=+m为增函数，其值域为m，1+m，此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；、当m1时，有
15、1，y=（mx1）2 在区间（0，）为减函数，（，1）为增函数，函数y=+m为增函数，其值域为m，1+m，若两个函数的图象有1个交点，则有（m1）21+m，解可得m0或m3，又由m为正数，则m3；综合可得：m的取值范围是（0，13，+）；故选：B二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11（5分）（2017山东）已知（1+3x）n的展开式中含有x2的系数是54，则n=4【解答】解：（1+3x）n的展开式中通项公式：Tr+1=（3x）r=3rxr含有x2的系数是54，r=2=54，可得=6，=6，nN*解得n=4故答案为：412（5分）（2017山东）已知， 是互相垂直的单位向量，若 与
16、+的夹角为60，则实数的值是【解答】解：， 是互相垂直的单位向量，|=|=1，且=0；又 与+的夹角为60，（）（+）=|+|cos60，即+（1）=，化简得=，即=，解得=故答案为：13（5分）（2017山东）由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为2+【解答】解：由长方体长为2，宽为1，高为1，则长方体的体积V1=211=2，圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的体积V2=121=，则该几何体的体积V=V1+2V1=2+，故答案为：2+14（5分）（2017山东）在平面直角坐标系xOy中，双曲线=1（a0，b0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p0）交于A
17、，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为y=x【解答】解：把x2=2py（p0）代入双曲线=1（a0，b0），可得：a2y22pb2y+a2b2=0，yA+yB=，|AF|+|BF|=4|OF|，yA+yB+2=4，=p，=该双曲线的渐近线方程为：y=x故答案为：y=x15（5分）（2017山东）若函数exf（x）（e2.71828是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质下列函数中所有具有M性质的函数的序号为f（x）=2xf（x）=3xf（x）=x3f（x）=x2+2【解答】解：对于，f（x）=2x，则g（x）=exf（x）=为实数
18、集上的增函数；对于，f（x）=3x，则g（x）=exf（x）=为实数集上的减函数；对于，f（x）=x3，则g（x）=exf（x）=exx3，g（x）=exx3+3exx2=ex（x3+3x2）=exx2（x+3），当x3时，g（x）0，g（x）=exf（x）在定义域R上先减后增；对于，f（x）=x2+2，则g（x）=exf（x）=ex（x2+2），g（x）=ex（x2+2）+2xex=ex（x2+2x+2）0在实数集R上恒成立，g（x）=exf（x）在定义域R上是增函数具有M性质的函数的序号为故答案为：三、解答题（共6小题，满分75分）16（12分）（2017山东）设函数f（x）=sin（x）
19、+sin（x），其中03，已知f（）=0（）求；（）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在，上的最小值【解答】解：（）函数f（x）=sin（x）+sin（x）=sinxcoscosxsinsin（x）=sinxcosx=sin（x），又f（）=sin（）=0，=k，kZ，解得=6k+2，又03，=2；（）由（）知，f（x）=sin（2x），将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（x）的图象；再将得到的图象向左平移个单位，得到y=sin（x+）的
20、图象，函数y=g（x）=sin（x）；当x，时，x，sin（x），1，当x=时，g（x）取得最小值是=17（12分）（2017山东）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120得到的，G是的中点（）设P是上的一点，且APBE，求CBP的大小； （）当AB=3，AD=2时，求二面角EAGC的大小【解答】解：（）APBE，ABBE，且AB，AP平面ABP，ABAP=A，BE平面ABP，又BP平面ABP，BEBP，又EBC=120，因此CBP=30； （）解法一、取的中点H，连接EH，GH，CH，EBC=120，四边形BECH为菱形，AE=GE=AC=
21、GC=取AG中点M，连接EM，CM，EC，则EMAG，CMAG，EMC为所求二面角的平面角又AM=1，EM=CM=在BEC中，由于EBC=120，由余弦定理得：EC2=22+22222cos120=12，因此EMC为等边三角形，故所求的角为60解法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系由题意得：A（0，0，3），E（2，0，0），G（1，3），C（1，0），故，设为平面AEG的一个法向量，由，得，取z1=2，得；设为平面ACG的一个法向量，由，可得，取z2=2，得cos=二面角EAGC的大小为6018（12分）（2017山东）在心理学研究中，常采用对
22、比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示（）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率（）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX【解答】解：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P（M）=（II）X的可能取值为：0，1，2，3，
23、4，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，P（X=4）=X的分布列为 X 0 1 2 3 4 PX的数学期望EX=0+1+2+3+4=219（12分）（2017山东）已知xn是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3x2=2（）求数列xn的通项公式；（）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1（x1，1），P2（x2，2）Pn+1（xn+1，n+1）得到折线P1 P2Pn+1，求由该折线与直线y=0，x=x1，x=xn+1所围成的区域的面积Tn【解答】解：（I）设数列xn的公比为q，则q0，由题意得，两式相比得：，解得q=2或q=（舍），x1=1，xn=2
24、n1（II）过P1，P2，P3，Pn向x轴作垂线，垂足为Q1，Q2，Q3，Qn，即梯形PnPn+1Qn+1Qn的面积为bn，则bn=（2n+1）2n2，Tn=321+520+721+（2n+1）2n2，2Tn=320+521+722+（2n+1）2n1，得：Tn=+（2+22+2n1）（2n+1）2n1=+（2n+1）2n1=+（12n）2n1Tn=20（13分）（2017山东）已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=ex（cosxsinx+2x2），其中e2.17828是自然对数的底数（）求曲线y=f（x）在点（，f（）处的切线方程；（）令h（x）=g （x）a f（x）（aR），讨论
25、h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值【解答】解：（I）f（）=22f（x）=2x2sinx，f（）=2曲线y=f（x）在点（，f（）处的切线方程为：y（22）=2（x）化为：2xy22=0（II）h（x）=g （x）a f（x）=ex（cosxsinx+2x2）a（x2+2cosx）h（x）=ex（cosxsinx+2x2）+ex（sinxcosx+2）a（2x2sinx）=2（xsinx）（exa）=2（xsinx）（exelna）令u（x）=xsinx，则u（x）=1cosx0，函数u（x）在R上单调递增u（0）=0，x0时，u（x）0；x0时，u（x）0（1）a0时，exa0
26、，x0时，h（x）0，函数h（x）在（0，+）单调递增；x0时，h（x）0，函数h（x）在（，0）单调递减x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=12a（2）a0时，令h（x）=2（xsinx）（exelna）=0解得x1=lna，x2=00a1时，x（，lna）时，exelna0，h（x）0，函数h（x）单调递增；x（lna，0）时，exelna0，h（x）0，函数h（x）单调递减；x（0，+）时，exelna0，h（x）0，函数h（x）单调递增当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=2a1当x=lna时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=aln2a2lna+sin（lna）+
27、cos（lna）+2当a=1时，lna=0，xR时，h（x）0，函数h（x）在R上单调递增1a时，lna0，x（，0）时，exelna0，h（x）0，函数h（x）单调递增；x（0，lna）时，exelna0，h（x）0，函数h（x）单调递减；x（lna，+）时，exelna0，h（x）0，函数h（x）单调递增当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=2a1当x=lna时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=aln2a2lna+sin（lna）+cos（lna）+2综上所述：a0时，函数h（x）在（0，+）单调递增；x0时，函数h（x）在（，0）单调递减x=0时，函数h（x）取得极小值，h
28、（0）=12a0a1时，函数h（x）在x（，lna）是单调递增；函数h（x）在x（lna，0）上单调递减当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=2a1当x=lna时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=aln2a2lna+sin（lna）+cos（lna）+2当a=1时，lna=0，函数h（x）在R上单调递增a1时，函数h（x）在（，0），（lna，+）上单调递增；函数h（x）在（0，lna）上单调递减当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=2a1当x=lna时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=aln2a2lna+sin（lna）+cos（lna）+221（14分）（201
29、7山东）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（ab0）的离心率为，焦距为2（）求椭圆E的方程（）如图，该直线l：y=k1x交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为k2，且看k1k2=，M是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，M的半径为|MC|，OS，OT是M的两条切线，切点分别为S，T，求SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率【解答】解：（）由题意知，解得a=，b=1椭圆E的方程为；（）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得由题意得=0，|AB|=由题意可知圆M的半径r为r=由题意设知，因此直线OC的方程为联立，得因此，|OC|=由题意可知，sin=而=令t=，则t1，（0，1），因此，=1当且仅当，即t=2时等式成立，此时，因此SOT的最大值为综上所述：SOT的最大值为，取得最大值时直线l的斜率为
