1、2020年贵州省高考数学（理科）模拟试卷（1）一选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1（5分）已知集合A=x|y=ln(x2-3x-4)，B=x|x-2x-10全集UR，则（RA）B（）A1，2B1，2）（3，4C1，3）D1，1）2，42（5分）在复平面内，复数5i1+2i对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（5分）若向量a，b满足|a|=1，|b|=2，且|a-b|=3，则向量a，b的夹角为（）A30B60C120D1504（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的离心率e=53，且其虚轴长为8，则双曲线C的方程为（）Ax24-y23=1Bx
2、29-y216=1Cx23-y24=1Dx216-y29=15（5分）空气质量指数AQI是反应空气质量状况的指数，AQI越小，表明空气质量越好如表：AQI指数值05051100101150151200201300300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染下图是某城市5月1日5月20日AQI指数变化的趋势，则下列说法正确的是（）A这20天中AQI指数值的中位数略高于200B这20天中的重度污染及以上的天数占110C该城市5月前半个月的空气质量越来越好D该城市5月上旬的空气质量比中旬的空气质量好6（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A2B43C23D137（5分）函数f
3、（x）xlnxmx2有两个极值点，则实数m的取值范围是（）A(0，12)B（，0）C（0，1）D（0，+）8（5分）如果将函数y=5sinx+5cosx的图象向右平移(02)个单位得到函数y3sinx+acosx（a0）的图象，则tan的值为（）A2B12C13D39（5分）从集合x|x2+12x110中任取一个元素a，则a，a+2，a+4可以构成钝角三角形三边长的概率为（）A15B25C12D71010（5分）天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus，又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗到了
4、1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森（MRPogson）又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足m1m22.5（lgE2lgE1），其中星等为mk的星的亮度为Ek（k1，2）已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则与r最接近的是（当|x|较小时，10x1+2.3x+2.7x2）（）A1.24B1.25C1.26D1.2711（5分）已知三棱锥PABC的顶点都在球O的球面上，PA=2，PB=14，AB4，CACB=10，面PAB面ABC，则球O的表面积为（）
5、A103B256C409D50312（5分）定义在（1，+）上的函数f（x）满足x2f（x）+10（f（x）为函数f（x）的导函数），f（3）=43，则关于x的不等式f（log2x）1logx2的解集为（）A（1，8）B（2，+）C（4，+）D（8，+）二填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5分）已知函数f（x）sin（x+）2cos（x+），若f（1+x）f（1x），则sin2 14（5分）若x2020a0+a1（x1）+a2（x1）2+a2020（x1）2020，则a13+a232+a202032020= 15（5分）已知点P是抛物线x24y上动点，F是抛物线的焦点，点A的坐标
6、为（0，1），则PFPA的最小值为 16（5分）在ABC中，角A的平分线交BC于D，BD3，CD2，则ABC面积的最大值为 三解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17（12分）已知等差数列an的前n项和为Sn，a11，且S4a4+a5（1）求an；（2）求数列an2n的前n项和Tn18（12分）甲，乙两个班级（各40名学生）进行一门考试，为易于统计分析，将甲，乙两个班学生的成绩分成如下四组：60，70），70，80），80，90），90，100，并分别绘制了如下的频率分布直方图：规定：成绩不低于90分的为优秀，低于90分的为不优秀（1）根据这次抽查的数据，填写下面的22列联表：优秀不优
7、秀合计甲班 乙班 合计 （2）根据（1）中的列联表，能否有85%的把握认为成绩是否优秀与班级有关？附：临界值参考表与参考公式 P（K2k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819（12分）一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是两条直角边分别是1和2的两个全等的直角三角形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形（）请画出这个三棱锥的直观图，并求出它的体积；（）以D为顶点，DD1，DA，DC为相邻的三条棱，作平行六面体ABCDA1B1C1D1，已知点E在AA1上移动（1）当E点为AA1
8、的中点时，证明BE平面B1C1E（2）在CC1上求一点P，使得平面BC1E平面PAD1，指出P点的位置（）AE为何值时，二面角CED1D的大小为4520（12分）已知A1、A2分别是离心率e=22的椭圆E：x2a2+y2b2=1(ab0)的左右项点，P是椭圆E的上顶点，且PA1PA2=-1（1）求椭圆E的方程；（2）若动直线l过点（0，4），且与椭圆E交于A、B两点，点M与点B关于y轴对称，求证：直线AM恒过定点21（12分）已知函数f（x）ex（x2+8x4）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式ex(x2+8x-4)4+mmsinx在0，+）上恒成立，且m0，求实数m的取值
9、范围四解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22（10分）在平面直角坐标系x0y中，直线l1的参数方程为x=t-3y=kt（t为参数），直线l2的参数方程为x=3-my=m3k（m为参数）设直线l1与l2的交点为P当k变化时点P的轨迹为曲线C1（）求出曲线C1的普通方程；（）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为sin(+4)=32，点Q为曲线C1上的动点，求点Q到直线C2的距离的最大值五解答题（共1小题）23已知a，b，c为正数，且满足a+b+c1证明：（1）1a+1b+1c9；（2）ac+bc+ababc8272020年贵州省高考数学（理科）模拟试卷
10、（1）参考答案与试题解析一选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1（5分）已知集合A=x|y=ln(x2-3x-4)，B=x|x-2x-10全集UR，则（RA）B（）A1，2B1，2）（3，4C1，3）D1，1）2，4【解答】解：Ax|x4，或x1，RAx|1x4，Bx|x2，或x1，（RA）B1，1）2，4故选：D2（5分）在复平面内，复数5i1+2i对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解答】解：5i1+2i=5i(1-2i)(1+2i)(1-2i)=2+i，在复平面内，复数5i1+2i对应的点的坐标为（2，1），位于第一象限故选：A3（5分）若向量a，b满足|a
11、|=1，|b|=2，且|a-b|=3，则向量a，b的夹角为（）A30B60C120D150【解答】解：向量a，b满足|a|=1，|b|=2，且|a-b|=3，a2-2ab+b2=12ab+43，ab=1设向量a，b的夹角为，则0，2，由cos=ab|a|b|=112=12，60，故选：B4（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的离心率e=53，且其虚轴长为8，则双曲线C的方程为（）Ax24-y23=1Bx29-y216=1Cx23-y24=1Dx216-y29=1【解答】解：双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的离心率e=53，且其虚轴长为8，由e=ca=532b
12、=8c2=a2+b2，得a=3b=4c=5可得x29-y216=1故选：B5（5分）空气质量指数AQI是反应空气质量状况的指数，AQI越小，表明空气质量越好如表：AQI指数值05051100101150151200201300300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染下图是某城市5月1日5月20日AQI指数变化的趋势，则下列说法正确的是（）A这20天中AQI指数值的中位数略高于200B这20天中的重度污染及以上的天数占110C该城市5月前半个月的空气质量越来越好D该城市5月上旬的空气质量比中旬的空气质量好【解答】解：A选项中高于200的只有三天，错误；B选项中重度污染及以上的天数占32
13、0，错误；C选项4号到15号空气污染越来越严重，错误；对于D选项，总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量要好些，D正确故选：D6（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A2B43C23D13【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为底边为直角三角形，高为2的三棱锥体如图所示：所以V=1312212=23故选：C7（5分）函数f（x）xlnxmx2有两个极值点，则实数m的取值范围是（）A(0，12)B（，0）C（0，1）D（0，+）【解答】解：因为函数f（x）xlnxmx2，所以f（x）lnx+12mx在（0，+）内有两个零点，又f（x）=1x-2m，由
14、f（x）0，得0x12m； 由f（x）0，得x12m，所以f（x）在（0，12m）上是增函数，在（12m，+）上是减函数所以x=12m时，f（x）取得最大值f（12m）ln12m因为f（x）lnx+12mx在（0，+）内有两个零点，所以ln12m0，解得0m12故选：A8（5分）如果将函数y=5sinx+5cosx的图象向右平移(02)个单位得到函数y3sinx+acosx（a0）的图象，则tan的值为（）A2B12C13D3【解答】解：函数y=5sinx+5cosx=10（sinx22+22cosx）=10sin（x+4），将其图象向右平移个单位后，得到函数y=10sin(x+4-)的图象将
15、函数y3sinx+acosx，化为y=9+a2sin（x+），其中tan=a3，y=10sin(x+4-)与y=9+a2sin（x+） 表示同一函数，a2+9=10，又a0，a1，此时tan=-13，且4-+2k=，kZ，=4-+2k，kZ，tan=tan(4-)=1-tan1+tan=2，故选：A9（5分）从集合x|x2+12x110中任取一个元素a，则a，a+2，a+4可以构成钝角三角形三边长的概率为（）A15B25C12D710【解答】解：x|x2+12x110x|x212x+1101，11；而a，a+2，a+4可以构成钝角三角形；即a+4所对的角为钝角；cos=a2+(a+2)2-(a
16、+4)22a(a+2)0a24a1202a6；所以：所求概率为6-111-1=12；故选：C10（5分）天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus，又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森（MRPogson）又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足m1m22.5（lgE2lgE1），其中星等为mk的星的亮度为Ek（k1，2）已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.2
17、5，“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则与r最接近的是（当|x|较小时，10x1+2.3x+2.7x2）（）A1.24B1.25C1.26D1.27【解答】解：设“心宿二”的星等是m1，“天津四”的星等是m2，“心宿二”的亮度是E1，“天津四”的亮度是E2，则m11.00，m21.25，E1rE2，两颗星的星等与亮度满足m1m22.5（lgE2lgE1），11.252.5（lgE2lgrE2），即：lgr0.1，r100.11+2.30.1+2.7（0.1）21+0.23+0.0271.257，与r最接近的是1.26，故选：C11（5分）已知三棱锥PABC的顶点都在球O的球面上，PA=2，P
18、B=14，AB4，CACB=10，面PAB面ABC，则球O的表面积为（）A103B256C409D503【解答】解：如图；设AB的中点为D；PA=2，PB=14，AB4，PAB为直角三角形，且斜边为AB，故其外接圆半径为：r=12ABAD2；设外接球球心为O；CACB=10，面PAB面ABC，CDAB可得CD面PAB；且DC=CA2-AD2=6O在CD上；故有：AO2OD2+AD2R2（6-R）2+r2R=56；球O的表面积为：4R24(56)2=503故选：D12（5分）定义在（1，+）上的函数f（x）满足x2f（x）+10（f（x）为函数f（x）的导函数），f（3）=43，则关于x的不等式
19、f（log2x）1logx2的解集为（）A（1，8）B（2，+）C（4，+）D（8，+）【解答】解：构造函数F（x）f（x）-1x，x（1，+），F（x）f（x）+1x2=f(x)x2+1x2，函数f（x）在（1，+）上满足x2f（x）+10，F（x）0在（1，+）上恒成立，函数F（x）在（1，+）上单调递增，不等式f（log2x）1logx2，f（log2x）logx21，即 f（log2x）-1log2x1，又F（3）f（3）-13=43-13=1，不等式可转化为F（log2x）F（3），又函数F（x）在（1，+）上单调递增，log2x3，解得：x8，故选：D二填空题（共4小题，满分20分
20、，每小题5分）13（5分）已知函数f（x）sin（x+）2cos（x+），若f（1+x）f（1x），则sin2-45【解答】解：由f（1+x）f（1x），得f（x）的对称轴方程为x1，由f（x）sin（x+）2cos（x+）=5sin(x+-)（tan2），得+=2+k，kZk-2+，则sin2sin（2k+2）sin2=-2sincossin2+cos2=-2tantan2+1=-45故答案为：-4514（5分）若x2020a0+a1（x1）+a2（x1）2+a2020（x1）2020，则a13+a232+a202032020=（43）20201【解答】解：x2020a0+a1（x1）+a2
21、（x1）2+a2020（x1）2020，令x1得：a01；令x=43得：（43）2020a0+a13+a232+a202032020；a13+a232+a202032020=(43)2020-1；故答案为：(43)2020-115（5分）已知点P是抛物线x24y上动点，F是抛物线的焦点，点A的坐标为（0，1），则PFPA的最小值为22【解答】解：由题意可得，抛物线x24y的焦点F（0，1），准线方程为y1过点P作PM垂直于准线，M为垂足，则由抛物线的定义可得|PF|PM|，则PFPA=PMPA=sinPAM，PAM为锐角故当PAM最小时，PFPA最小，故当PA和抛物线相切时，PFPA最小设切点
22、P（2a，a），由y=14x2的导数为y=12x，则PA的斜率为122a=a=a+12a，求得a1，可得P（2，1），|PM|2，|PA|22，sinPAM=PMPA=22故答案为：2216（5分）在ABC中，角A的平分线交BC于D，BD3，CD2，则ABC面积的最大值为15【解答】解：如图，由角平分线可得：ABBD=ACDC，即AB3=AC2，设AB3x，AC2x，则cosA=9x2+4x2-2512x2=13x2-2512x2，则有sinA=1-(13x2-2512x2)2=512x2-x4+26x2-25，SABC=12ABACsinA=123x2x512x2-x4+26x2-25 =5
23、4-x4+26x2-25 =54-(x2-13)2+144 15，当x13时，取得最大值15故答案为：15三解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17（12分）已知等差数列an的前n项和为Sn，a11，且S4a4+a5（1）求an；（2）求数列an2n的前n项和Tn【解答】解：（1）设公差为d，由S4a4+a5，得4a1+432d=a1+3d+a1+4d，即4+6d2+7d，解得d2，所以，an1+2（n1）2n1；（2）an2n=2n-12n，可得Tn=12+322+523+2n-12n，两边同乘以12，有12Tn=122+323+524+2n-12n+1，两式相减，得Tn-12Tn=
24、12+222+223+224+22n-2n-12n+1=12+214(1-12n-1)1-12-2n-12n+1=32-2n+32n+1所以，Tn=3-2n+32n18（12分）甲，乙两个班级（各40名学生）进行一门考试，为易于统计分析，将甲，乙两个班学生的成绩分成如下四组：60，70），70，80），80，90），90，100，并分别绘制了如下的频率分布直方图：规定：成绩不低于90分的为优秀，低于90分的为不优秀（1）根据这次抽查的数据，填写下面的22列联表：优秀不优秀合计甲班103040乙班63440合计166480（2）根据（1）中的列联表，能否有85%的把握认为成绩是否优秀与班级有关？
25、附：临界值参考表与参考公式 P（K2k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【解答】解：（1）甲班优秀的人数是0.025104010人，乙班优秀的人数是0.01510406人，故可得22列联表如下表： 优秀 不优秀 合计 甲班 10 30 40 乙班 6 34 40 合计 16 64 80（2）K2=80(1034-306)240401664=1.252.072，所以没有85%的把握认为成绩是否优秀与班级有关19（12分）一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是两条直角边分别是1和
26、2的两个全等的直角三角形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形（）请画出这个三棱锥的直观图，并求出它的体积；（）以D为顶点，DD1，DA，DC为相邻的三条棱，作平行六面体ABCDA1B1C1D1，已知点E在AA1上移动（1）当E点为AA1的中点时，证明BE平面B1C1E（2）在CC1上求一点P，使得平面BC1E平面PAD1，指出P点的位置（）AE为何值时，二面角CED1D的大小为45【解答】解：（）该三棱锥的直观图是有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，如图所示的三棱锥D1ACD其中底面ACD是直角边长为1的直角三角形，高DD12，故所求的体积是V=1312212=13；（）（1）当E点为AA1的中点
27、时，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立直角坐标系如图，则B（1，1，0），B1（1，1，2），C1（0，1，2），E（1，0，1）BE=(0，-1，1)，B1E=(0，-1，-1)，C1E=(-1，1，1)BEB1E=0，BEC1E=0所以BEB1E且BEC1E，所以BE平面B1C1E（2）可知当A1EPC时，有AD1BC1，BEPD1所以平面BC1E平面PAD1注：也可以求两个平面的法向量，说明两个法向量共线即可（）以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立直角坐标系如图设E（1，0，m）则D（0，0，0），C（0，1，0）D1（0，0，2）CE=
28、（1，1，m），CD1=（0，1，2）设向量n=（x，y，z）满足nCE，nCD1 于是x-y+mz=0-y+2z=0解得x=(2-m)zy=2z取z1得n=（2m，2，1）又DC=（0，1，0）即(2-m，2，1)(0，1，0)(2-m)2+22+1202+12+02=22解得m=23因为m2所以m2-3即AE=2-3时，二面角CED1D的大小为4520（12分）已知A1、A2分别是离心率e=22的椭圆E：x2a2+y2b2=1(ab0)的左右项点，P是椭圆E的上顶点，且PA1PA2=-1（1）求椭圆E的方程；（2）若动直线l过点（0，4），且与椭圆E交于A、B两点，点M与点B关于y轴对称，
29、求证：直线AM恒过定点【解答】解：（1）由题意得A1（a，0），A2（a，0），P（0，b），则PA1PA2=(-a，-b)(a，-b)=-a2+b2=-c2=-1，所以c1，又e=ca=22a2=b2+c2，所以a=2，b1，所以椭圆E的方程为x22+y2=1（2）当直线l的斜率存在时，设直线l：ykx4，A（x1，y1），B（x2，y2），则M（x2，y2），由x22+y2=1y=kx-4，消去y得（1+2k2）x216kx+300由（16k）2120（1+2k2）0，得k2152，所以x1+x2=16k1+2k2，x1x2=301+2k2kAM=y1-y2x1+x2=kx1-4-kx2+
30、4x1+x2=k(x1-x2)x1+x2，直线AM的方程为y-y1=k(x1-x2)x1+x2(x-x1)，即y=y1+k(x1-x2)x1+x2(x-x1)=kx1-4+k(x1-x2)x1+x2(x-x1)=(kx1-4)(x1+x2)+k(x1-x2)(x-x1)x1+x2=2kx1x2-4(x1+x2)+kx(x1-x2)x1+x2=k(x1-x2)x1+x2x+2kx1x2x1+x2-4，因为x1+x2=16k1+2k2，x1x2=301+2k2，所以2kx1x2x1+x2-4=2k301+2k216k1+2k2-4=-14，直线AM的方程为可化为y=k(x1-x2)x1+x2x-1
31、4，则直线AM恒过定点(0，14)当直线l的斜率不存在时，直线AM也过点(0，14)，综上知直线AM恒过定点(0，14)21（12分）已知函数f（x）ex（x2+8x4）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式ex(x2+8x-4)4+mmsinx在0，+）上恒成立，且m0，求实数m的取值范围【解答】解（1）依题意，xR，f（x）ex（x2+8x4+2x+8）ex（x2+10x+4），令f（x）0，即x2+10x+40，解得x=-10842=-521，故当x(-，-5-21)时，f（x）0，当x(-5-21，-5+21)时，f（x）0，当x(-5+21，+)时，f（x）0，故函数
32、f（x）的单调递增区间为(-，-5-21)和(-5+21，+)，单调递减区间为(-5-21，-5+21)注：-5-21，-5+21处写成闭区间也给分（2）令g(x)=ex(x2+8x-4)4+m-msinx，由题意得，当x0时，g（0）m10，则有m1下面证当m1时，对任意x0，都有g（x）0由于xR时，1sinx0，当m1时，则有g(x)ex(14x2+2x-1)+1-sinx故只需证明对任意x0，都有ex(14x2+2x-1)+1-sinx0易知h（x）xsinx在0，+）上单调递增，所以当x0时，h（x）h（0）0，即xsinx，所以1x1sinx，则ex(14x2+2x-1)+1-si
33、nxex(14x2+2x-1)+1-x，设F(x)=ex(14x2+2x-1)+1-x，x0，则F(x)=ex(14x2+52x+1)-1当x0时，ex1，14x2+52x+11，所以F（x）0，所以F（x）在0，+）上单调递增，所以当x0时，F（x）F（0）0，所以对任意x0，都有ex(14x2+2x-1)+1-sinx0所以当m1时，对任意x0，都有ex(x2+8x-4)4+mmsinx，故实数m的取值范围为1，+）四解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22（10分）在平面直角坐标系x0y中，直线l1的参数方程为x=t-3y=kt（t为参数），直线l2的参数方程为x=3-my=m3
34、k（m为参数）设直线l1与l2的交点为P当k变化时点P的轨迹为曲线C1（）求出曲线C1的普通方程；（）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为sin(+4)=32，点Q为曲线C1上的动点，求点Q到直线C2的距离的最大值【解答】解：（）直线l1的参数方程为x=t-3y=kt（t为参数），转换为直角坐标方程为y=k(x+3)直线l2的参数方程为x=3-my=m3k（m为参数）转换为直角坐标方程为y=13k(3-x)所以得到x23+y2=1（y0）（）直线C2的极坐标方程为sin(+4)=32，转换为直角坐标方程为x+y60设曲线C1的上的点Q（3cos，sin）到直
35、线x+y80的距离d=|3cos+sin-6|2=|2sin(+3)-6|2，当sin(+3)=-1时，dmax=82=42五解答题（共1小题）23已知a，b，c为正数，且满足a+b+c1证明：（1）1a+1b+1c9；（2）ac+bc+ababc827【解答】证明：（1）1a+1b+1c=(a+b+c)(1a+1b+1c)=3+ab+ba+ca+ac+bc+cb3+2abba+2caac+2bccb=9，当且仅当a=b=c=13时，等号成立；（2）a，b，c为正数，且满足a+b+c1，c1ab，1a0，1b0，1c0，ac+bc+ababc（a+bab）c+ab（a+bab）（1ab）+ab（b1）（a1）（a+b）（1a）（1b）（1c）(1-a)+(1-b)+(1-c)33=827，ac+bc+ababc827，当且仅当a=b=c=13时，等号成立
