1、2020年陕西省高考数学模拟试卷（理科）（二）一、选择题：本题共12小题每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知复数为虚数单位），则的虚部为A2BCD2（5分）已知集合，则ABCD3（5分）若变量，满足约束条件则目标函数的最小值是AB0CD4（5分）已知向量，满足，则在上的投影为AB1CD5（5分）已知函数，若（a），则满足条件的实数的个数是A1B2C3D46（5分）设，其正态分布密度曲线如图所示，点，点，点，点，向正方形内任意投掷一粒黄豆，则该黄豆落入阴影部分的概率是（注则，A0.8641B0.6587C0.5228D0.97857（5分）在公
2、差不为0的等差数列中，则ABCD8（5分）已知，且，则ABCD9（5分）若将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于坐标原点对称，则的最小值为ABCD10（5分）在直三棱柱中，若该三棱柱的六个顶点都在同一个球面上，且，则该球的表面积的最小值为ABCD11（5分）已知抛物线，点，直线过焦点且与抛物线交于，两点，若，则的面积为A4BCD812（5分）已知函数，若存在，对任意，都有，则实数的取值范围是ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）如图是样本容量为1000的频率分布直方图，根据该图估计该样本数据的中位数与平均数的差的绝对值是14（5分）在的展开式中，的系数为15
3、，则15（5分）在中，为的中点，且，若，则的周长为16（5分）已知双曲线，过双曲线的左焦点作一斜率为的直线交双曲线的左支于，两点，若以为直径的圆过坐标原点，则双曲线的离心率为三、解答题：共70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22.23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17（12分）如图，正四棱锥的底边长为2，侧棱长为，为上一点，且，点，分别为，上的点，且（）证明：平面平面；（）求锐二面角的余弦值18（12分）已知正项数列的前项和为（）求数列的通项公式；（）若数列满足令，求证：19（12分）某市正在进行创建全国文明城市的复
4、验工作，为了解市民对“创建全国文明城市”的知识知晓程度，某权威调查机构对市民进行随机调查，并对调查结果进行统计，共分为优秀和一般两类，先从结果中随机抽取100份，统计得出如下列联表：优秀一般总计男252550女302050总计5545100（）根据上述列联表，是否有的把握认为“创城知识的知晓程度是否为优秀与性别有关”？（）现从调查结果为一般的市民中，按分层抽样的方法从中抽取9人，然后再从这9人中随机抽取3人，求这三位市民中男女都有的概率；（）以样本估计总体，视样本频率为概率，从全市市民中随机抽取10人，用表示这10人中优秀的人数，求随机变量的期望和方差附：0.150.100.050.0250.
5、0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，（其中20（12分）已知函数（）求函数的极值；（）当时，若函数有两个极值点，且，求证：21（12分）已知椭圆的离心率为，点的坐标为，且椭圆上任意一点到点的最大距离为（）求椭圆的标准方程；（）若过点的直线与椭圆相交于，两点，点为椭圆长轴上的一点，求面积的最大值（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用2B铅笔在答题卡，上将所选题号后的方框涂黑.选修44：坐标系与参数方程22（10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数）以坐标原
6、点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（）若射线与直线和曲线分别交于，两点，求的值选修4-5：不等式选讲23设函数的最小值为1（）求的值；（）若，求证：2020年陕西省高考数学模拟试卷（理科）（二）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知复数为虚数单位），则的虚部为A2BCD【解答】解：复数，的虚部为故选：2（5分）已知集合，则ABCD【解答】解：，故选：3（5分）若变量，满足约束条件则目标函数的最小值是AB0CD【解答】解：由约束条件作出可
7、行域如图，化目标函数为，由图可知，当直线或时，直线在轴上的截距最大，有最小值为故选：4（5分）已知向量，满足，则在上的投影为AB1CD【解答】解：，在上的投影为：故选：5（5分）已知函数，若（a），则满足条件的实数的个数是A1B2C3D4【解答】解：令（a），当，时，当时，所以（a），或者（a），当，时，成立，成立，当时，（a）显然无解，（a），有2个解，综上，有4个解，故选：6（5分）设，其正态分布密度曲线如图所示，点，点，点，点，向正方形内任意投掷一粒黄豆，则该黄豆落入阴影部分的概率是（注则，A0.8641B0.6587C0.5228D0.9785【解答】解：，（黄豆落入阴影部分）故选：7
8、（5分）在公差不为0的等差数列中，则ABCD【解答】解：在公差不为0的等差数列中，且，解得，故选：8（5分）已知，且，则ABCD【解答】解：已知，且，故选：9（5分）若将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于坐标原点对称，则的最小值为ABCD【解答】解：将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，根据所得图象关于坐标原点对称，可得，则的最小值为，故选：10（5分）在直三棱柱中，若该三棱柱的六个顶点都在同一个球面上，且，则该球的表面积的最小值为ABCD【解答】解：设该球的半径为，则，当且仅当，时取等号该球的表面积的最小值故选：11（5分）已知抛物线，点，直线过焦点且与抛物线交于，两点，若，则
9、的面积为A4BCD8【解答】解：设直线的方程为：，代入抛物线方程，可得：，则，直线过焦点且与抛物线交于，两点，若，可得，即，解得，直线的方程为，到直线的距离为：所以三角形的面积为：故选：12（5分）已知函数，若存在，对任意，都有，则实数的取值范围是ABCD【解答】解：由，时，在，递减；，递增，（2），故，所以的值域为，（2），由，当时，递减，递增，故，故的值域为，根据题意，存在，对任意，都有，相当于的值域时值域的子集，由，得，故选：二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）如图是样本容量为1000的频率分布直方图，根据该图估计该样本数据的中位数与平均数的差的绝对值是3.5【解
10、答】解：由样本容量为1000的频率分布直方图，知：，的频率为，的频率为，该样本数据的中位数为：，该样本数据的平均数为：，该样本数据的中位数与平均数的差的绝对值为：故答案为：3.514（5分）在的展开式中，的系数为15，则1或【解答】解：的展开式中，的系数为，求得，或，故答案为：1或15（5分）在中，为的中点，且，若，则的周长为【解答】解：设，由余弦定理可得，解可得，故，所以的周长为故答案为：16（5分）已知双曲线，过双曲线的左焦点作一斜率为的直线交双曲线的左支于，两点，若以为直径的圆过坐标原点，则双曲线的离心率为【解答】解：双曲线，过双曲线的左焦点作一斜率为的直线：代入双曲线方程可得：，设，所
11、以，直线代入双曲线消去可得：，可得，以为直径的圆过坐标原点，可得：，可得，解得故答案为：三、解答题：共70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22.23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17（12分）如图，正四棱锥的底边长为2，侧棱长为，为上一点，且，点，分别为，上的点，且（）证明：平面平面；（）求锐二面角的余弦值【解答】解：（）证明：正四棱锥的底边长为2，侧棱长为，为上一点，且，点，分别为，上的点，且，平面平面（）解：连结，交于点，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，0，设平面的法向量，则，取，得，设平面的
12、法向量，则，取，得，设锐二面角的平面角为，则锐二面角的余弦值为18（12分）已知正项数列的前项和为（）求数列的通项公式；（）若数列满足令，求证：【解答】解：（）正项数列的前项和为当时，得：（常数），当时，解得，当为奇数时，数列是以为首项2为公差的等差数列，当为偶数时数列是以为首项2为公差的等差数列所以数列的通项公式为证明：（）数列满足，则：数列是以为首项2为公比的等比数列，所以，则：，所以，得：，整理得19（12分）某市正在进行创建全国文明城市的复验工作，为了解市民对“创建全国文明城市”的知识知晓程度，某权威调查机构对市民进行随机调查，并对调查结果进行统计，共分为优秀和一般两类，先从结果中随机
13、抽取100份，统计得出如下列联表：优秀一般总计男252550女302050总计5545100（）根据上述列联表，是否有的把握认为“创城知识的知晓程度是否为优秀与性别有关”？（）现从调查结果为一般的市民中，按分层抽样的方法从中抽取9人，然后再从这9人中随机抽取3人，求这三位市民中男女都有的概率；（）以样本估计总体，视样本频率为概率，从全市市民中随机抽取10人，用表示这10人中优秀的人数，求随机变量的期望和方差附：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，（其中【解答】解：（），故没有的把握认为“创城知
14、识的知晓程度是否为优秀与性别有关”（）从表中可知，调查结果为一般的市民中，男为25份，女为20份，所以抽取的9中男性有人，女性有4人，故从这9人中随机抽取3人，男女都有的概率为（）由列联表可知，调查结果为优秀的频率是，将频率视为概率，所以从全市市民中随机1人为优秀的概率是，由题意可知，所以随机变量的期望，方差20（12分）已知函数（）求函数的极值；（）当时，若函数有两个极值点，且，求证：【解答】解：（）由题意可得，当时，令，解得，令，解得，函数在单调递增，在单调递减，在单调递增，；当时，函数在上单调递增，无极值；当时，令，解得，令，解得，函数在单调递增，在单调递减，在单调递增，；（）证明：由题
15、意得，即，由（）可知，故，令，则，（a）在上单调递减，（4）（a）（3），即，又，故21（12分）已知椭圆的离心率为，点的坐标为，且椭圆上任意一点到点的最大距离为（）求椭圆的标准方程；（）若过点的直线与椭圆相交于，两点，点为椭圆长轴上的一点，求面积的最大值【解答】解：（）由题意可得，又，故，令为椭圆上任意一点，则，椭圆的标准方程为；（）设，直线的方程为，联立直线方程与椭圆方程，并化简整理得，令，两点的坐标分别为，则由韦达定理有，则，又点到直线的距离为，故的面积为，令，则，当时，当且仅当，时等号成立，此时，当且仅当时，取得最大值3，此时面积取得最大值，即，此时直线的方程为，点的坐标为，综上，面积
16、的最大值为（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用2B铅笔在答题卡，上将所选题号后的方框涂黑.选修44：坐标系与参数方程22（10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（）若射线与直线和曲线分别交于，两点，求的值【解答】解：直线的参数方程为为参数），消去参数可得普通方程：曲线的极坐标方程为即，可得普通方程：（）射线，即联立，解得，联立，解得与直线和曲线分别交于，选修4-5：不等式选讲23设函数的最小值为1（）求的值；（）若，求证：【解答】解：（），函数的最小值为1，（）由（）知，则，当且仅当时取等号，
