1、2022年（全国卷）老高考文科数学模拟试卷（10）一选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1（5分）若复数为纯虚数，且，则ABCD22（5分）设集合，则ABCD3（5分）如图，角，的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆分别交于，两点，则ABCD4（5分）下列四个函数：；，其中定义域与值域相同的函数的个数为A1B2C3D45（5分）对于实数，命题：若，则；命题，且，则的最小值为，则以下命题正确的是ABCD6（5分）在中，为边上的中线，为的中点，则ABCD7（5分）从只读过论语的3名同学和只读过红楼梦的3名同学中任选2人在班内进行读后分享，则选中的2人都读过红楼梦的概率为AB
2、CD8（5分）已知，是两条不同的直线，是两个不同的平面，则的一个充分条件是A，B，C，D，9（5分）若定义在上的偶函数在单调递减且（2），则满足的取值范围是A，B，C，D，10（5分）设的内角，所对的边分别为、，已知，则角ABCD11（5分）双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则的离心率为ABCD12（5分）在下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是ABCD二填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5分）采用随机数表法从编号为01，02，03，30的30个个体中选取7个个体，指定从下面随机数表的第一行第5列开始，由左向右选取两个数字作为应取个体的号码，则选取的第6个个体号码是0
3、3 47 43 86 3616 47 80 45 6911 14 16 95 3661 46 98 63 7162 33 26 36 7797 74 24 67 6242 81 14 57 2042 53 32 37 3227 07 36 07 5224 52 79 89 7314（5分）已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，若，且弦的中点纵坐标为，则抛物线的方程为15（5分）在三棱锥中，侧棱底面，且，则该三棱锥的外接球的体积为16（5分）如图为的导函数的图象，则下列判断正确的是（填序号）在内是增函数；是的极小值点；在内是减函数，在内是增函数；是的极大值点三解答题（共5小题，满分60
4、分，每小题12分）17（12分）已知等差数列满足，（）求数列的通项公式；（）若数列满足，再从；这三个条件中任选一个作为已知，求数列的前项和18（12分）下面是调查某校学生身高的数据：分组频数频率341212136合计50（）完成上面的表格；（）根据上表，画出频率直方图；（）根据上表估计，数据在范围内的频率是多少？19（12分）如图，在正四面体中，点，分别是，的中点，点，分别在，上，且，（1）求证：直线，必相交于一点，且这个交点在直线上；（2）若，求点到平面的距离20（12分）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，且过点（1）求的方程；（2）设点为上的动点，求的取值范围；（3）设椭圆的左顶点为
5、，不过点的直线与交于，两点，的中点为，若，求证：直线经过定点，并求出定点坐标21（12分）已知函数（1）求斜率为的曲线的切线方程；（2）设，若有2个零点，求的取值范围四解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22（10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为，交极轴于点，交直线于点（1）求，点的极坐标方程；（2）若点为椭圆上的一个动点，求面积的最大值及取最大值时点的直角坐标五解答题（共1小题）23已知函数（1）当时，求的最小值；（2）当，时，不等式恒成立，求实数的取值范围2022年（全国卷）老高考文科数学模拟试卷（
6、10）参考答案与试题解析一选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1（5分）若复数为纯虚数，且，则ABCD2【解答】解：因为为纯虚数，所以，即，所以，解得，故选：2（5分）设集合，则ABCD【解答】解：，故选：3（5分）如图，角，的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆分别交于，两点，则ABCD【解答】解：因为，所以，故选：4（5分）下列四个函数：；，其中定义域与值域相同的函数的个数为A1B2C3D4【解答】解：函数定义域值域，由上表可知：定义域与值域相同的函数的个数为3，故选：5（5分）对于实数，命题：若，则；命题，且，则的最小值为，则以下命题正确的是ABCD【解答】解：对
7、于实数，命题：若，如果，则不成立，故命题为假命题；：若，且，可得，即，由，则，当且仅当时取等号；即有有最小值，故命题为真命题所以是真命题；故选：6（5分）在中，为边上的中线，为的中点，则ABCD【解答】解：在中，为边上的中线，为的中点，故选：7（5分）从只读过论语的3名同学和只读过红楼梦的3名同学中任选2人在班内进行读后分享，则选中的2人都读过红楼梦的概率为ABCD【解答】解：设只读过论语的三名同学为，只读过红楼梦的三名学生为，设选中的2人都读过红楼梦为事件，从只读过论语的3名同学和只读过红楼梦的3名同学中任选2人，基本事件有15种，分别为：，其中事件包含的基本事件个数有3种，分别为：，选中的
8、2人都读过红楼梦的概率为故选：8（5分）已知，是两条不同的直线，是两个不同的平面，则的一个充分条件是A，B，C，D，【解答】解：在、条件下，都可能出现，所以，又，所以必有此时为的一个充分条件故选：9（5分）若定义在上的偶函数在单调递减且（2），则满足的取值范围是A，B，C，D，【解答】解：是偶函数，且在上单调递减，在上单调递增，又（2），由得，或，或，解得或，的取值范围是：，故选：10（5分）设的内角，所对的边分别为、，已知，则角ABCD【解答】解：因为，所以，所以，因为，所以，因为，所以故选：11（5分）双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则的离心率为ABCD【解答】解：双曲线的渐近线方程为，由双
9、曲线的一条渐近线的倾斜角为，得，则，得，故选：12（5分）在下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是ABCD【解答】解：对于，将在轴下方的图象翻折到上方，可知最小正周期，在区间，上单调递减，故不符合题意；对于的最小正周期，故不符合题意；对于的最小正周期，且在区间上单调递增，故符合题意；对于的最小正周期，故不符合题意故选：二填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5分）采用随机数表法从编号为01，02，03，30的30个个体中选取7个个体，指定从下面随机数表的第一行第5列开始，由左向右选取两个数字作为应取个体的号码，则选取的第6个个体号码是2003 47 43 86 361
10、6 47 80 45 6911 14 16 95 3661 46 98 63 7162 33 26 36 7797 74 24 67 6242 81 14 57 2042 53 32 37 3227 07 36 07 5224 52 79 89 73【解答】解：从下面随机数表的第一行第5列开始选取两个数字中小于30的编号依次为16，11，14，26，24，20，则第6个个体的编号为20故答案为：2014（5分）已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，若，且弦的中点纵坐标为，则抛物线的方程为【解答】解：设，由题意可知图象如图：抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，若，直线，中点，代
11、入，消去，可得，可得，所以，所以，抛物线方程为：故答案为：15（5分）在三棱锥中，侧棱底面，且，则该三棱锥的外接球的体积为【解答】解：如图所示，在中，由余弦定理，可得，所以，外接圆的直径，即由底面，且，所以三棱锥的外接球直径为；解得，所以该三棱锥外接球的体积为故答案为：16（5分）如图为的导函数的图象，则下列判断正确的是（填序号）在内是增函数；是的极小值点；在内是减函数，在内是增函数；是的极大值点【解答】解：错，因在上，在上，故在内是减函数，在内是增函数；正确，因在上为负，单调递减，在上为正，单调递增，故在处有极小值；正确，因在内，故在内是减函数；在内，故在内为增函数，错，（1），故不是极值点
12、故答案为：三解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17（12分）已知等差数列满足，（）求数列的通项公式；（）若数列满足，再从；这三个条件中任选一个作为已知，求数列的前项和【解答】解：（）设等差数列的公差为由，可得解得，所以；（）选：由，可得，所以是等比数列，公比，所以，所以；选：由，可得，所以是等比数列，公比，所以，所以；选：由，可得，所以是等比数列，公比，所以所以18（12分）下面是调查某校学生身高的数据：分组频数频率341212136合计50（）完成上面的表格；（）根据上表，画出频率直方图；（）根据上表估计，数据在范围内的频率是多少？【解答】解：（）分组频数频率30.0640.081
13、20.24120.24130.2660.12合计501（）中表格对应频率分布直方图如下图所示：（）数据在范围内的频率19（12分）如图，在正四面体中，点，分别是，的中点，点，分别在，上，且，（1）求证：直线，必相交于一点，且这个交点在直线上；（2）若，求点到平面的距离【解答】（1）证明：因为，所以，故，四点共面，且直线，必相交于一点，设，因为，平面，所以平面，同理：平面，而平面平面，故，即直线，必相交于一点，且这个交点在直线上；（2）解：连结，点到平面的距离为，正四面体的棱长为2，则该正四面体的高为，所以到平面的距离为，点，分别是，的中点，在中，由余弦定理可得：，在等腰梯形中可得：到的距离为，
14、而到的距离也为，所以的面积与的面积相等，由可得：，可得，故点到平面的距离为20（12分）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，且过点（1）求的方程；（2）设点为上的动点，求的取值范围；（3）设椭圆的左顶点为，不过点的直线与交于，两点，的中点为，若，求证：直线经过定点，并求出定点坐标【解答】解：（1）离心率，将点代入椭圆方程得，联立解得，所以椭圆的方程为（2）设点的坐标为，则，由（1）可知，又，另解：，设，则，（3），设，又，由，得，因为直线不过点，所以，且满足，直线的方程为，即，直线过定点21（12分）已知函数（1）求斜率为的曲线的切线方程；（2）设，若有2个零点，求的取值范围【解答】解：（
15、1），令，可得：或，当时，切点为，切线方程为，即；当时，切点为，切线方程为，即故所求切线方程为或（2），有2个零点，则与有两个交点，令，则，得，当时，在上递减，且当趋于时，趋于0，当趋于0时，趋于，即，；当时，在上递增，且当趋于0时，趋于，即；当时，在上递减，且当趋于时，趋于，即与有两个交点，故的取值范围为四解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22（10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为，交极轴于点，交直线于点（1）求，点的极坐标方程；（2）若点为椭圆上的一个动点，求面积的最大值及取最大值时点的直角坐标【解答】解：（1）的方程为，化为极坐标方程为代入的方程得：，即方程，令，即，即（2）由（1）知，且，故，设点到直线的距离为，故，设点，的一般方程为，故，当时，此时，点坐标为五解答题（共1小题）23已知函数（1）当时，求的最小值；（2）当，时，不等式恒成立，求实数的取值范围【解答】解：（1）当时，当且仅当时，上式取得等号，故的最小值为；（2）因为，所以，当，时，不等式可化为，即恒成立，所以，即，故实数的取值范围为
