1、 九年级（上）期中数学试卷 题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1. 计算-4a+5a的结果（）A. aB. aC. aD. a2. 数b是数a和数c的比例中项，若a=2，c=8，则数b的值为（）A. 5B. 5C. 4D. 43. 如果A=30，则sinA的值为（）A. 12B. 33C. 22D. 324. 如图，已知ABCDEF，AB：DE=1：2，则下列等式一定成立的是（）A. BCDF=12B. A的度数D的度数=12C. ABC的面积DEF的面积=12D. ABC的周长DEF的周长=125. 如果ABC中，AB=AC，BC=512AB，那么A的度数是（）A
2、. 30B. 36C. 45D. 606. 如图，RtABC中，ACB=90，ABC=60，BC=4cm，D为BC的中点，若动点E从A点出发，沿着AB的方向运动，连接DE，当BDE是直角三角形时，AE的值为（）A. 4B. 7C. 4或7D. 4或1二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7. 如果ab=32，那么aba+b=_8. 如果ABC中C=90，那么BCAB=_（填B的三角比）9. 已知为锐角，且sin=cos，则=_10. 如图，G为ABC的重心，GNAC交BC于N，那么MN：BC=_11. 如图在RtABC中，A=90，斜边上的高AD交BC于D，若BD=9，CD=4，则AD的
3、长度等于_12. 两个相似三角形的相似比为2：3，且已知这两个三角形的某对对应边上的高相差为4，则这两条高中较短的长度为_13. 当两个相似三角形的相似比为_时，这两个相似三角形的面积比是1：214. 如果向量a、b、x之间满足3a(bx)=0，那么x=_（a、b表示）15. 在ABC中，D为AC边上一点，ADB=ABC，如果AD=9，DC=7，那么AB=_16. 我们将顶角为A，腰为a的等腰三角形记作“等腰三角形a，A”（a0，0A180）如边长为1的等边三角形记作“等腰三角形1，60”，那么“等腰三角形1，90”的周长为_17. 在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A、
4、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于O，则cotBOD的值等于_18. 如图，将矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转一定角度后，BC的对应边BC交CD边于点G，如果当AB=BG时量得AD=7，CG=4，连接BB、CC，那么CCBB=_三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19. 已知a3=b20，求代数式a+3b(2ab)cos30cot60tan45的值四、解答题（本大题共6小题，共68.0分）20. 如图，将平行四边形ABCD的边BC延长至点E，使CE=BC，点F为边AD的中点，连接AE、BF，AE与BF相交于点G，设AB=a，BC=b，试直接用向量a、b表示向量AE、BF和FG21.
5、 如图，在RtABC中，BAC=90，AB=15，AC=20，点D在边AC上，且AD=5，DEBC于点E，EFAB于点F（1）求sinEDC的值；（2）求线段EF的长22. 如图，在等腰梯形ABCD中ADBC，E为AD上一点，且AE：DE=1：3，连接BD、CE，BD与CE交于点F，如果AD=4，BD=BC=6（1）求梯形ABCD的周长；（2）求线段CF的长度23. 如图，在ABC中，AB=AC，点D在边BC上移动（点D不与点B、C重合），满足EDF=B，且点E、F分别在边AB、AC上（1）求证：BDECFD；（2）当点D移动到BC的中点时，求证：点E关于直线DF的对称点在直线AC上24. 如
6、图，在直角坐标系中A（-2，0），B（0，3），点C为x轴上A左侧一点，点D在线段BO上，且BD=2AC，线段CD交AB于点E（1）求ABD的正切值；（2）如果CAEBDE，求AC的长度；（3）如果AE：BE=1：4，求直线CD的解析式25. 如图：矩形ABCD中，AB=3，AD=3，点P为对角线BD上异于点B、D的一个动点，联结A、P，将APB沿AP所在的直线翻折，使点B落在点E处（1）当DPA=45时，求点E到直线AB的距离；（2）联结AE交线段BD与F，求当EPF和ABD相似时，线段BP的长度；（3）当DPE=30时，请直接写出此时ABP的面积答案和解析1.【答案】B【解析】解：-4=（
7、-4+5）=，故选：B根据平面向量的加法法则计算即可；本题考查平面向量的加法法则，解题的关键是熟练掌握平面向量的加法法则，属于中考基础题2.【答案】D【解析】解：数b是数a和数c的比例中项， b2=ac=16， 解得：b=4， 故选：D根据比例中项的定义，列出比例式即可得出比例中项本题考查了比例中项的概念，注意：求两个数的比例中项的时候，应开平方求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去3.【答案】A【解析】解：A=30，sinA的值为：故选：A直接利用特殊角的三角函数值得出答案此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键4.【答案】D【解析】解：ABCDEF，=，A不一定成立；=
8、1，B不成立；=，C不成立；=，D成立，故选：D根据相似三角形的性质判断即可本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等、相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比、相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键5.【答案】B【解析】解：如图，在AC上截取AD=BC，连接BDBC=AB，AD=BC，AD=AB，点D是线段AC的黄金分割点，AD2=CDCA，BC2=CDCA，=，C=C，BCDACB，BDC=ABC，DBC=A，AB=AC，ABC=C=BDC，AD=BD，A=ABD，设A=x，则ABC=A=2x，x+2x+2x=180，x=36，故选：B如图，在AC上
9、截取AD=BC，连接BD想办法证明BCDACB，推出ABC=C=2A即可解决问题；本题考查黄金分割等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题6.【答案】C【解析】解：ACB=90，ABC=60，BC=4cm，A=30，AB=8cm，BDE=90时，D为BC的中点，DE是ABC的中位线，AE=AB=8=4cm；BED=90时，BE=BD=4=1cm，AE=AB-BE=8-1=7cm综上所述，AE的值为4或7故选：C先求出AB的长，再分BDE=90时，DE是ABC的中位线，然后求出AE的长度即可；BED=90时，利用含30度角的直角三角形
10、的性质求出BE，进一步求出AE的值即可本题考查了三角形的中位线定理，解直角三角形，难点在于分情况讨论7.【答案】15【解析】解：设=，则a=3k，b=2k，代入得：=，故答案为：设=，得出a=3k，b=2k，再代入求出即可本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键8.【答案】cosB【解析】解：在RtABC中，=cosB，故答案为：cosB根据锐角的三角函数的定义求解可得本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握正弦、余弦、正切的定义9.【答案】45【解析】解：sin=cos（90-）， =90-， 解得，=45， 故答案为：45根据一个角的正弦等于这个角的余角的余弦解答本
11、题考查的是同角三角函数的关系，掌握一个角的正弦等于这个角的余角的余弦是解题的关键，10.【答案】1：6【解析】解：G为ABC的重心， AM是ABC的中线，MG：GA=1：2， BM=MC，MG：MA=1：3， GNAC， MN：MC=MG：MA=1：3， MN：BC=1：6， 故答案为：1：6根据三角形的重心的概念和性质得到AM是ABC的中线，MG：GA=1：2，根据平行线的性质计算本题考查的是三角形的重心，相似三角形的判定和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键11.【答案】6【解析】解：由射影定理得，AD2=BDCD， 则AD
12、2=94=36， AD=6， 故答案为：6根据直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项计算本题考查的是射影定理，掌握直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项是解题的关键12.【答案】8【解析】解：设这两条高中较短的长度为x，根据题意可得：较长边为x+4，则=，解得：x=8，故这两条高中较短的长度为：8故答案为：8直接利用相似三角形的性质分析得出答案此题主要考查了相似三角形的性质，正确掌握相似三角形的性质是解题关键13.【答案】1：2【解析】解：相似三角形的面积比等于相似比的平方，两个相似三角形的面积比是1：2时，两个相似三角形的相似比为：1：故答案为：1：直接利
13、用相似三角形的性质分析得出答案此题主要考查了相似三角形的性质，正确掌握相似三角形面积比与相似比的关系是解题关键14.【答案】-3a+b【解析】解：3，3-+=，=-3+故答案为-3+去括号，移项可得结论本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题15.【答案】12【解析】解：如图，A=A，ADB=ABC，ADBABC，AB：AC=AD：AB，AB2=ADAC=916，AB=12，故答案为12只要证明ADBABC，可得AB2=ADAC解决问题；本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，所以中考常考题型16.【答案】2+2【解析】解：等腰三角形1，9
14、0，腰长为1，顶角为90，由勾股定理得：底边（斜边）长为=，即三角形的周长为1+1+=2+，故答案为：2+先读懂题目，再根据勾股定理求出等腰三角形的底边长，即可求出答案本题考查了勾股定理和等腰三角形的性质，能根据题意得出腰长为1和顶角为90是解此题的关键17.【答案】13【解析】解：平移CD到CD交AB于O，如右图所示，则BOD=BOD，tanBOD=tanBOD，设每个小正方形的边长为a，则OB=a，OD=2a，BD=3a，作BEOD于点E，则BE=a，OE=a，cotBOD=cotBOE=，故答案为：根据平移的性质和锐角三角函数以及勾股定理，通过转化的数学思想可以求得tanBOD的值，本题
15、得以解决本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用勾股定理和等积法解答18.【答案】745【解析】解：如图，连接AC，AG，AC，由旋转可得，AB=AB，AC=AC，BAB=CAC，=，ABBACC，=，AB=BG，ABG=ABC=90，ABG是等腰直角三角形，AG=AB，设AB=AB=x，则AG=x，DG=x-4，RtADG中，AD2+DG2=AG2，72+（x-4）2=（x）2，解得x1=5，x2=-13（舍去），AB=5，RtABC中，AC=，=，故答案为：先连接AC，AG，AC，构造直角三角形以及相似三角形，根据ABBACC，可得到=，设AB=AB=x，则A
16、G=x，DG=x-4，RtADG中，根据勾股定理可得方程72+（x-4）2=（x）2，求得AB的长以及AC的长，即可得到所求的比值本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形以及相似三角形，依据直角三角形的勾股定理列方程求解，从而得出矩形的宽，这也是本题的难点所在19.【答案】解：a3=b20，2a=3b，a=3b2，原式=3b2+3b(3bb)32331=32【解析】首先根据得到2a=3b，从而得到a=，然后代入代数式和特殊角的函数值后即可求得答案本题考查了特殊角的三角函数值，牢记这些函数
17、值是解答此类题目的基础20.【答案】解：四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，ADBC，CE=BC，CE=AD=BC=b，AF=FD，AF=12b，BF=BA+AF=-a+12b，AE=AB+BE=a+2b，AFBE，FGBG=AFBE=14，FG=15FB=-15（-a+12b）=15a-110b【解析】利用平行四边形的性质以及三角形法则计算即可本题考查平面向量、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型21.【答案】解：（1）RtABC中，BAC=90，则BC=AB2+AC2=25，由题意得，CD=AC-AD=15，BAC=90，DEBC，DCE=BCA，E
18、DC=B，sinEDC=sinB=ACBC=2025=45；（2）BAC=90，DEBC，DCE=BCA，CDECBA，CDCB=CECA，即1525=CE20，解得，CE=12，BE=25-12=13，EFAB，BAC=90，EFAC，EFAC=BEBC，即EF20=1325，解得，EF=525【解析】（1）根据勾股定理求出BC，根据三角形内角和定理得到EDC=B，根据正弦的定义计算； （2）证明CDECBA，根据相似三角形的性质求出CE，根据平行线的性质定理列出比例式，代入计算本题考查的是勾股定理，相似三角形的判定和性质，直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c
19、222.【答案】解：（1）如图，作AMBC于M，DNBC于NAMBC，DNBC，AMDN，ADMN，四边形AMND是平行四边形，AMN=90，四边形AMND是矩形，AD=MN=4，AM=DN，AB=CD，AMB=-DNC=90，RtABMRtDCN（HL），BM=CN=12（6-4）=1，AM=DN=6252=11，AB=CD=(11)2+12=23，梯形ABCD的周长=43+10（2）作EHBC则EH=DN=11，AE：DE=1：3，AE=HM=1，DE=3，CH=4，EC=(11)2+42=33，DEBC，DEFBCF，EFCF=DEBC=12，CF=23EC=23【解析】（1）如图，作A
20、MBC于M，DNBC于N只要证明BM=CN=1，AM=DN=，根据勾股定理即可解决问题；（2）作EHBC则EH=DN=，求出EC的长，利用平行线分线段成比例定理即可解决问题本题考查了相似三角形的性质和判定和平行线分线段成比例定理，能根据相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键23.【答案】解：（1）AB=AC，B=C，BED=180-B-BDE，CDF=180-EDF-BDE，EDF=B，BED=CDF，BDECFD；（2）如图，连接EF，BDECFD，BDCF=DEFD，点D是BC的中点，BD=CD，CDCF=DEFD，EDF=C，DEFCDF，DFE=CFD，
21、FD平分EFC，点E关于直线DF的对称点在直线AC上【解析】（1）根据等腰三角形的性质得到B=C，根据三角形的内角和定理和平角的定义得到BED=CDF，于是得到BDECFD； （2）根据相似三角形的性质得到对应边成比例，等量代换得到比例式，判定相似三角形，最后根据相似三角形的性质得出FD平分EFC，进而得到结论本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键24.【答案】解：（1）A（-2，0），B（0，3），OA=2，OB=3，AOB=90，tanABD=OAOB=23（2）设AC=m，则BD=2m，OD=3-2m，OC=2+m，CAEBDE，E
22、BD=ACE，tanACE=tanEBD，ODOC=23，32m2+m=23，m=58，AC=58（3）如图，作EHOC于H设AC=m，则BD=2m，OD=3-2m，OC=2+m，EHOB，AEEB=14AHAO=EHOB=AEAB=15，AH=25，EH=35，EHOD=CHCO，3532m=m+25m+2，m=710或0（舍弃），C（-2710，0），D（0，85），设直线CD的解析式为y=kx+b，则有b=852710k+b=0，解得k=1627b=85，直线CD的解析式为y=1627x+85【解析】（1）在RtAOB中，根据tanABD=计算即可；（2）设AC=m，则BD=2m，OD=
23、3-2m，OC=2+m，由CAEBDE，推出EBD=ACE，推出tanACE=tanEBD，可得=，由此构建方程即可解决问题；（3）如图，作EHOC于H设AC=m，则BD=2m，OD=3-2m，OC=2+m，利用平行线分线段成比例定理，构建方程求出m即可解决问题；本题考查一次函数综合题、待定系数法、平行线分线段成比例定理、相似三角形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题25.【答案】解：（1）如图1中，作EHAB于H四边形ABCD是矩形，DAB=90，AD=3，AB=3，tanABD=ADAB=33，ABD=
24、30，BD=2AD=23，APD=45=ABD+PAB，PAB=PAE=15，EAH=30，在RtAEH中，AE=AB=3，EAB=30，EH=12AE=32（2）如图2-1中，作PMAB于M，在AM截取一点N，使得AN=PNE=ABC=30，当EPF=DAB=90时，EPFBAD，EFP=AFD=ADF=60，DAF=60，EAB=30，PAB=PAE=15，AN=PN，NAP=NPA=15，PNM=30，设PM=m，则PN=PB=2x，MN=BM=3x，2x+23x=3，x=34（3-1），PB=2x=32（3-1）如图2-2中，当EFP=DAB=90，WEFPBAD，DAF=30，EAB
25、=60，EAP=PAB=30，PAB=PBA=30，ADP=DAP=60，PA=PD，PA=PB，PD=PB=3，综上所述，满足条件的PB的值为32（3-1）或3（3）如图3中，作PMAB于M当DPE=30时，易知点F与点D重合，此时PAE=PAB=45，设AM=PM=m，则BM=3m，m+3m=3，m=32（3-1），SPAB=12ABPM=12332（3-1）=94（3-1）【解析】（1）如图1中，作EHAB于H想办法证明EAH=30即可解决问题；（2）分两种情形画出图形分别求解即可解决问题；（3）如图3中，作PMAB于M当DPE=30时，易知点F与点D重合，此时PAE=PAB=45，设AM=PM=m，则BM=m，可得m+m=3，求出m即可解决问题；本题考查几何变换综合题、矩形的性质、翻折变换、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题
