1、高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题；每小题5分，共60分.每小题只有一项符合题意.）1已知圆C：（x2）2+（y+1）2=4，则圆C的圆心和半径分别为（）A（2，1），4B（2，1），2C（2，1），2D（2，1），22如图为一个几何体的三视图，其中俯视图为正三角形，A1B1=2，AA1=4，则该几何体的表面积为（）A6+B24+C24+2D323圆A：x2+y2+4x+2y+1=0与圆B：x2+y22x6y+1=0的位置关系是（）A相交B相离C相切D内含4过定点P（2，1），且倾斜角是直线l：xy1=0的倾斜角两倍的直线方程为（）Ax2y1=0B2xy1=0Cy1=2（x2）
2、Dx=25已知两直线l1：x+（1+m）y=2m，l2：2mx+4y=16，若l1l2则m的取值为（）Am=1Bm=2Cm=1或m=2Dm=1或m=26如图所示是正方体的平面展开图，在这个正方体中（）BM与ED平行 CN与BE是异面直线；CN与BM成60角； DM与BN垂直ABCD7已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A16B20C24D328如图，三棱锥ABCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值为（）ABCD9已知点P（2，3）、Q（3，2），直线axy+2=0与线段PQ
3、相交，则a的取值范围是（）AaBaCa0Da或a10圆（x3）2+（y3）2=9上到直线3x+4y11=0的距离等于1的点有（）A1个B2个C3个D4个11已知两点A（1，0）、B（0，2），若点P是圆（x1）2+y2=1上的动点，则ABP面积的最大值和最小值之和为（）A +B4C3D12如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，给出以下结论：直线A1B与B1C所成的角为60；若M是线段AC1上的动点，则直线CM与平面BC1D所成角的正弦值的取值范围是；若P，Q是线段AC上的动点，且PQ=1，则四面体B1D1PQ的体积恒为其中，正确结论的个数是（）A0个B1个C2个D3个二、填空题（
4、本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13过圆x2+y26x+4y3=0的圆心，且平行于x+2y+11=0的直线方程是14已知正三角形ABC的边长为a，那么ABC的平面直观图ABC的面积为15如图1所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为中截面的中心，则PA1C1在该正方体各个面上的射影可能是 图2中的16若直线y=x+b与曲线y=3有两个公共点，则b的取值范围是三解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17求斜率为，且与坐标轴所围成的三角形的面积是6的直线方程18已知圆C：（x1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点（1
5、）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；（3）当直线l的倾斜角为45时，求弦AB的长19如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，底面ABC等边三角形，E，F分别是BC，CC1的中点求证：（） EF平面A1BC1；（） 平面AEF平面BCC1B120如图1，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD=，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点将ABE沿BE折起到图2中A1BE的位置，得到四棱锥A1BCDE（） 证明：CD平面A1OC；（） 若平面A1BE平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角（锐角）的余弦值21
6、一个圆和已知圆x2+y22x=0相外切，并与直线l：x+y=0相切于M（3，）点，求该圆的方程22如图所示，正四棱锥PABCD中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为（1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；（2）若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；（3）问在棱AD上是否存在一点F，使EF侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题；每小题5分，共60分.每小题只有一项符合题意.）1已知圆C：（x2）2+（y+1）2=4，则圆C的圆心和半径分别为（）A（2，1），4B（2，1），2C
7、（2，1），2D（2，1），2【考点】圆的标准方程【分析】利用圆的标准方程，直接写出圆心与半径即可【解答】解：圆C：（x2）2+（y+1）2=4，则圆C的圆心和半径分别为：（2，1），2故选：B2如图为一个几何体的三视图，其中俯视图为正三角形，A1B1=2，AA1=4，则该几何体的表面积为（）A6+B24+C24+2D32【考点】由三视图求面积、体积【分析】三视图复原的几何体是一个三棱柱，根据三视图的数据，求出几何体的表面积即可【解答】解：三视图复原的几何体是一个底面是正三角形，边长为：2，棱柱的高为：4的正三棱柱，所以它的表面积为：2=24+2故选C3圆A：x2+y2+4x+2y+1=0与圆
8、B：x2+y22x6y+1=0的位置关系是（）A相交B相离C相切D内含【考点】圆与圆的位置关系及其判定【分析】把两圆的方程化为标准方程，分别找出圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式，求出两圆心的距离d，然后求出Rr和R+r的值，判断d与Rr及R+r的大小关系即可得到两圆的位置关系【解答】解：把圆x2+y2+4x+2y+1=0和x2+y22x6y+1=0分别化为标准方程得：（x+2）2+（y+1）2=4，（x1）2+（y3）2=9，故圆心坐标分别为（2，1）和（1，3），半径分别为R=2和r=3，圆心之间的距离d=5，R+r=5，则两圆的位置关系是相外切故选：C4过定点P（2，1），且倾斜角是直
9、线l：xy1=0的倾斜角两倍的直线方程为（）Ax2y1=0B2xy1=0Cy1=2（x2）Dx=2【考点】直线的倾斜角【分析】先求出xy1=0的斜率k=1即tan=1得到=45，所以得到所求直线的倾斜角为90即和x轴垂直，且过P（2，1）得到直线方程即可【解答】解：可设直线l的倾斜角为，根据xy1=0求出直线的斜率为1，根据斜率k=tan=1得到=45；因为所求直线的倾斜角为2=90，所以得到该直线与x轴垂直且过（2，1），所以该直线方程为x=2故选：D5已知两直线l1：x+（1+m）y=2m，l2：2mx+4y=16，若l1l2则m的取值为（）Am=1Bm=2Cm=1或m=2Dm=1或m=2
10、【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【分析】由题意可得得=，解方程注意验证即可【解答】解：由题意可得=，由得=可得m=1，或m=2，当m=2时，不满足，故选A6如图所示是正方体的平面展开图，在这个正方体中（）BM与ED平行 CN与BE是异面直线；CN与BM成60角； DM与BN垂直ABCD【考点】棱柱的结构特征【分析】正方体的平面展开图复原为正方体，不难解答本题【解答】解：由题意画出正方体的图形如图：显然不正确；CN与BM成60角，即ANC=60正确；DM平面BCN，所以正确；故选C7已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A16B20C24D32【考点
11、】球的体积和表面积【分析】先求正四棱柱的底面边长，然后求其对角线，就是球的直径，再求其表面积【解答】解：正四棱柱高为4，体积为16，底面积为4，正方形边长为2，正四棱柱的对角线长即球的直径为2，球的半径为，球的表面积是24，故选C8如图，三棱锥ABCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值为（）ABCD【考点】异面直线及其所成的角【分析】连结ND，取ND的中点E，连结ME，推导出异面直线AN，CM所成角就是EMC，通解三角形，能求出结果【解答】解：连结ND，取ND的中点E，连结ME，则MEAN，EMC是异面直线AN，
12、CM所成的角，AN=2，ME=EN，MC=2，又ENNC，EC=，cosEMC=，异面直线AN，CM所成的角的余弦值为故选：A9已知点P（2，3）、Q（3，2），直线axy+2=0与线段PQ相交，则a的取值范围是（）AaBaCa0Da或a【考点】直线的斜率【分析】首先将方程转化成点斜式，求出斜率以及交点坐标，画出图象，即可求出结果【解答】解：直线axy+2=0可化为y=ax+2，斜率k=a，恒过定点A（0，2）如图，直线与线段PQ相交，0kkAP，即a0故选C10圆（x3）2+（y3）2=9上到直线3x+4y11=0的距离等于1的点有（）A1个B2个C3个D4个【考点】点到直线的距离公式【分析
13、】由圆的方程找出圆心A的坐标和半径r=3，然后由点到直线的距离公式求出圆心A到已知直线的距离为2，由AEAD=DE，即32=1求出DE的长，得到圆A上的点到已知直线距离等于1的点有三个，如图，点D，P及Q满足题意【解答】解：由圆的方程，得到圆心A坐标为（3，3），半径AE=3，则圆心（3，3）到直线3x+4y11=0的距离为d=2，即AD=2，ED=1，即圆周上E到已知直线的距离为1，同时存在P和Q也满足题意，圆上的点到直线3x+4y11=0的距离为1的点有3个故选C11已知两点A（1，0）、B（0，2），若点P是圆（x1）2+y2=1上的动点，则ABP面积的最大值和最小值之和为（）A +B4
14、C3D【考点】点与圆的位置关系【分析】由两点A（1，0）、B（0，2），利用两点间的距离公式可得|AB|，利用截距式可得直线AB的方程为： =1，利用点到直线的距离公式可得圆心C到直线AB的距离d利用点P到直线AB的最大距离dmax=d+r；点P到直线AB的最小距离dmin=dr可得ABP面积的最大值和最小值之和=【解答】解：由两点A（1，0）、B（0，2），|AB|=，直线AB的方程为： =1即2xy+2=0由圆（x1）2+y2=1可得圆心C（1，0），半径r=1则圆心C到直线AB的距离d=点P是圆（x1）2+y2=1上的动点，点P到直线AB的最大距离dmax=d+r=；点P到直线AB的最小
15、距离dmin=dr=ABP面积的最大值和最小值之和=4故选：B12如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，给出以下结论：直线A1B与B1C所成的角为60；若M是线段AC1上的动点，则直线CM与平面BC1D所成角的正弦值的取值范围是；若P，Q是线段AC上的动点，且PQ=1，则四面体B1D1PQ的体积恒为其中，正确结论的个数是（）A0个B1个C2个D3个【考点】命题的真假判断与应用【分析】先证明A1B与A1D所成角为60，又B1CA1D，可得直线A1B与B1C所成的角为60，判断正确；由平面BDC1平面ACC1，结合线面角的定义分别求出直线CM与平面BDC1所成角的正弦值最大值与最小值
16、判断正确；在PQ变化过程中，四面体PQB1D1的顶点D1到底面B1PQ的距离不变，底面积不变，则体积不变，求出体积判断正确【解答】解：在A1BD中，每条边都是，即为等边三角形，A1B与A1D所成角为60，又B1CA1D，直线A1B与B1C所成的角为60，正确；如图，由正方体可得平面BDC1平面ACC1，当M点位于AC1上，且使CM平面BDC1时，直线CM与平面BDC1所成角的正弦值最大为1，当M与C1重合时，连接CM交平面BDC1所得斜线最长，直线CM与平面BDC1所成角的正弦值最小等于，直线CM与平面BDC1所成角的正弦值的取值范围是，1，正确；连接B1P，B1Q，设D1到平面B1AC的距离
17、为h，则h=，B1到直线AC的距离为，则四面体PQB1D1的体积V=，正确正确的命题是故选：D二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13过圆x2+y26x+4y3=0的圆心，且平行于x+2y+11=0的直线方程是x+2y+1=0【考点】直线的一般式方程【分析】求出圆心坐标和直线的斜率，用点斜式求直线方程，并化为一般式【解答】解：圆x2+y26x+4y3=0的圆心为（3，2），设所求直线斜率为k，则k=直线方程为y+2=（x3），即x+2y+1=0，故答案为x+2y+1=014已知正三角形ABC的边长为a，那么ABC的平面直观图ABC的面积为a2【考点】斜二测法画直观图【分析】由原
18、图和直观图面积之间的关系，求出原三角形的面积，再求直观图ABC的面积即可【解答】解：正三角形ABC的边长为a，故面积为，而原图和直观图面积之间的关系，故直观图ABC的面积为故答案为：15如图1所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为中截面的中心，则PA1C1在该正方体各个面上的射影可能是 图2中的【考点】平行投影及平行投影作图法【分析】根据点的投影的做法，做出PA1C1在该正方体各个面上的射影，这里应该有三种情况，做出在前后面上的投影，在上下面上的投影，在左右面上的投影，得到结果【解答】解：由所给的正方体知，PA1C1在该正方体上下面上的射影是PA1C1在该正方体左右面上的射影是PA1C
19、1在该正方体前后面上的射影是故答案为16若直线y=x+b与曲线y=3有两个公共点，则b的取值范围是12b1【考点】直线与圆的位置关系【分析】曲线方程变形后，表示圆心为（2，3），半径为2的下半圆，如图所示，根据直线y=x+b与圆有2个公共点，【解答】解：曲线方程变形为（x2）2+（y3）2=4，表示圆心A为（2，3），半径为2的下半圆，根据题意画出图形，如图所示，当直线y=x+b过B（4，3）时，将B坐标代入直线方程得：3=4+b，即b=1；当直线y=x+b与半圆相切时，圆心A到直线的距离d=r，即=2，即b1=2（不合题意舍去）或b1=2，解得：b=12，则直线与曲线有两个公共点时b的范围为
20、12b1故答案为：12b1三解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17求斜率为，且与坐标轴所围成的三角形的面积是6的直线方程【考点】直线的截距式方程【分析】设所求直线的方程为y=x+b，由此求出纵截距y=b，横截距x=b，由已知得|=6，由此能求出直线方程【解答】解：设所求直线的方程为y=x+b，令x=0，得y=b，令y=0，得x=b，由已知，得|=6，即b2=6，解得b=3故所求的直线方程是y=x3，即3x4y12=018已知圆C：（x1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（2）当弦A
21、B被点P平分时，写出直线l的方程；（3）当直线l的倾斜角为45时，求弦AB的长【考点】直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程【分析】（1）求出圆的圆心，代入直线方程，求出直线的斜率，即可求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，求出直线的斜率，即可写出直线l的方程；（3）当直线l的倾斜角为45时，求出直线的斜率，然后求出直线的方程，利用点到直线的距离，半径，半弦长的关系求弦AB的长【解答】解：（1）已知圆C：（x1）2+y2=9的圆心为C（1，0），因直线过点P、C，所以直线l的斜率为2，直线l的方程为y=2（x1），即2xy2=0（2）当弦AB被点P平分时，lPC，直线l的方程为y2=（x
22、2），即x+2y6=0（3）当直线l的倾斜角为45时，斜率为1，直线l的方程为y2=x2，即xy=0圆心到直线l的距离为，圆的半径为3，弦AB的长为19如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，底面ABC等边三角形，E，F分别是BC，CC1的中点求证：（） EF平面A1BC1；（） 平面AEF平面BCC1B1【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【分析】（）由三角形中位线定理得EFBC1，由此能证明EF平面A1BC1（）由三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，得AEBB1，由正三角形性质得AEBC，由此能证明平面AEF平面BCC1B1【解答】证明：（）因为E，F分别是
23、BC，CC1的中点，所以EFBC1又因为BC1平面A1BC1，EF平面A1BC1，所以EF平面A1BC1（）因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以BB1平面ABC又AE平面ABC，所以AEBB1又因为ABC为正三角形，E为BC的中点，所以AEBC又BB1BC=B，所以AE平面BCC1B1又AE平面AEF，所以平面AEF平面BCC1B120如图1，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD=，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点将ABE沿BE折起到图2中A1BE的位置，得到四棱锥A1BCDE（） 证明：CD平面A1OC；（） 若平面A1BE平面BCDE，求平面A1BC
24、与平面A1CD夹角（锐角）的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】（）根据线面垂直的判定定理即可证明：CD平面A1OC；（）若平面A1BE平面BCDE，建立空间坐标系，利用向量法即可求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值【解答】证明：（）在图1中，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，BAD=，BEAC，即在图2中，BEOA1，BEOC，则BE平面A1OC；CDBE，CD平面A1OC解：（）若平面A1BE平面BCDE，由（）知BEOA1，BEOC，A1OC为二面角A1BEC的平面角，A1OC=，如图，建立空间坐标系，A1B=A1E=BC=ED=1BCEDB（，0
25、，0），E（，0，0），A1（0，0，），C（0，0），=（，0），=（0，），=（，0，0），设平面A1BC的法向量为=（x，y，z），平面A1CD的法向量为=（a，b，c），则，得，令x=1，则y=1，z=1，即=（1，1，1），由，得，取b=1，得=（0，1，1），则cos，=，平面A1BC与平面A1CD夹角（锐角）的余弦值为21一个圆和已知圆x2+y22x=0相外切，并与直线l：x+y=0相切于M（3，）点，求该圆的方程【考点】圆的标准方程【分析】设圆C的圆心为（a，b ），由圆C与圆x2+y22x=0相外切，并且与直线l：x+y=0相切于M（3，）点，可以构造关于a，b的方程，解方程
26、求 出a，b，r，即可得到圆C的方程【解答】解：圆C与圆x2+y22x=0相外切，故两个圆心之间的距离等于半径的和，又圆C与直线l：x+y=0相切于M（3，）点，可得圆心与点M（3，）的连线与直线x+y=0垂直，其斜率为设圆C的圆心为（a，b ），则，解得a=4，b=0，r=2或a=0，b=4，r=6，圆C的方程为（x4）2+y2=4或x2+（y+4）2=3622如图所示，正四棱锥PABCD中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为（1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；（2）若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；（3）问在棱AD上是否存在一
27、点F，使EF侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角【分析】（1）取AD中点M，连接MO，PM，由正四棱锥的性质知PMO为所求二面角PADO的平面角，PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角，则tanPAO=，设AB=a，则AO=a，PO=AOtanPOA=a，MO=a，tanPMO=，PMO=60； （2）依题意连结AE，OE，则OEPD，故OEA为异面直线PD与AE所成的角，由正四棱锥的性质易证OA平面POB，故AOE为直角三角形，OE=PD=a，所以tanAEO=；（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连BG，EG，MG，
28、易得BC平面PMN，故平面PMN平面PBC，而PMN为正三角形，易证MG平面PBC，取MA的中点F，连EF，则四边形MFEG为平行四边形，从而MGFE，EF平面PBC，F是AD的4等分点，靠近A点的位置【解答】解：（1）取AD中点M，连接MO，PM，依条件可知ADMO，ADPO，则PMO为所求二面角PADO的平面角PO面ABCD，PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角tanPAO=，设AB=a，AO=a，PO=AOtanPOA=a，tanPMO=PMO=60 （2）连接AE，OE，OEPD，OEA为异面直线PD与AE所成的角 AOBD，AOPO，AO平面PBD又OE平面PBD，AOOEOE=PD=a，tanAEO=；（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连BG，EG，MGBCMN，BCPN，BC平面PMN平面PMN平面PBC 又PM=PN，PMN=60，PMN为正三角形MGPN又平面PMN平面PBC=PN，MG平面PBC F是AD的4等分点，靠近A点的位置
