1、2020.72020年普通高等学校招生全国统一考试（III卷)理科数学一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知集合，,则中元素的个数为A。 2B. 3C。 4D。 62. 复数的虚部是A. B。 C. D。 3. 在一组样本数据中，1、2、3、4出现的频率分别为，且,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是A. B. C。 D。 4. Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域。有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t)（t的单位：天）的Logistic模型:，其中K为最大确诊病
2、例数。当时，标志着已初步遏制疫情，则约为（)A. 60B. 63C。 66D. 695. 设O为坐标原点，直线x = 2与抛物线交于D、E两点，若,则C的焦点坐标为A。 B. C。 D。 6. 已知向量a、b满足，则A. B. C. D。 7. 在中,，则A. B. C. D。 8. 右图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积是A。 B。 C. D。 9. 已知，则A. -2B。 1C。 1D. 210. 若直线l与曲线和圆都相切，则l的方程为A. B。 C. D。 11. 设双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为。P是C上一点,且。若的面积为4,则a =A. 1B。 2C。 4D. 8
3、12. 已知，。设，则A。 B。 C。 D。 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13. 若x、y满足约束条件则的最大值为_。14. 的展开式中常数项是_(用数字作答）.15. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为_。16. 关于函数有如下四个命题：的图像关于y轴对称。的图像关于原点对称。的图像关于直线对称。的最小值为2。其中所有真命题的序号是_.三、 解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。（一） 必考题:共60分。17. (12分)设数列满足
4、。（1）计算，猜想的通项公式并加以证明；(2）求数列的前n项和。18. （12分)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次空气质量等级0，200（200,400（400,6001（优)216252（良)510123（轻度污染)6784(中度污染）720（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；(2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”.根据所
5、给数据，完成下面的列联表，并根据列联表,判断是否有95的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次 400人次 400空气质量好空气质量不好附：，19. （12分）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E、F分别在棱DD1、BB1上，且2DE = ED1，BF = 2FB1。（1)证明：点C1在平面AEF内;（2）若AB = 2，AD = 1，AA1 = 3，求二面角AEFA1的正弦值。20. （12分）已知椭圆的离心率为，A、B分别为C的左、右顶点。(1)求C的方程；(2）若点P在C上，点Q在直线x = 6上，且，求的面积.21. （12分）设函数,曲线在点处的切线与y轴垂直。(1）求b；（2)若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1。（二） 选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计 分.22. 选修：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，C与坐标轴交于A、B两点。(1）求；（2）以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程。23. 选修：不等式选讲（10分)设。（1）证明:；(2）用表示的最大值,证明：。
