1、 期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. “=”是“sin（x+）=cosx”成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2. 等于（）A. cos2B. -cos2C. cosD. -cos3. ABC中，三边长分别为、，且x2+y2=z2，则ABC的形状为（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法判断4. 设函数f（x）=ax+bx-cx，其中ca0，ab0，若a、b、c是ABC的三条边长，则下列结论中正确的是（）存在xR+，使ax、bx、cx不能构成一个三角形的三条边对一切x（-，1
2、），都有f（x）0若ABC为钝角三角形，则存在x（1，2），使f（x）=0A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 幂函数f（x）的图象过点（3，），则f（x）的解析式是_6. 若角的终边上一点P（-3a，4a）（a0），则cos=_7. 若扇形的圆心角为，则扇形的内切圆的面积与形面积之比为_8. 已知点P（tan，cos）在第三象限，则角的终边在第_象限9. 已知，且在第二象限角，则tan=_10. 已知，在第二象限，则=_11. 求值：=_12. 已知sin（2x+）=，x，则cos2x=_13. 在ABC中，sin2B+sinAsinCsin2A+sin2
3、C，则角B的最小值是_14. ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，则B=_15. 已知函数f（x）=（）x，g（x）=x，记函数h（x）=，则函数F（x）=h（x）+x-5所有零点的和为_16. 如果满足B=45，AC=10，BC=k的ABC恰有一个，则实数k的取值范围是_三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17. 已知为第二象限角，化简18. 已知cos=，cos（-）=，且0（1）求tan2；（2）求cos219. 如图，C、D是两个小区所在地，C、D到一条公路AB的垂直距离分别为CA=1km，DB=2km，AB两端之间的距离为
4、6km（1）如图1，某移动公司将在AB之间找一点P，在P处建造一个信号塔，使得P对A、C的张角与P对B、D的张角相等，试确定点P的位置（2）如图2，环保部门将在AB之间找一点Q，在Q处建造一个垃圾处理厂，使得Q对C、D所张角最大，试确定点Q的位置20. 若函数f（x）定义域为R，且对任意实数x1，x2，有f（x1+x2）f（x1）+f（x2），则称f（x）为“V形函数”，若函数g（x）定义域为R，函数g（x）0对任意xR恒成立，且对任意实数x1，x2，有lgg（x1+x2）lgg（x1）+lgg（x2），则称为“对数V形函数”（1）试判断函数f（x）=x2是否为“V形函数”，并说明理由；（2）
5、若是“对数V形函数”，求实数a的取值范围；（3）若f（x）是“V形函数”，且满足对任意xR，有f（x）2，问f（x）是否为“对数V形函数”？证明你的结论21. （1）若直角三角形两直角边长之和为12，求其周长p的最小值；（2）若三角形有一个内角为，周长为定值p，求面积S的最大值；（3）为了研究边长a，b，c满足9a8b4c3的三角形其面积是否存在最大值，现有解法如下：16S2=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（-a+b+c）=（a+b）2-c2c2-（a-b）2=-c4+2（a2+b2）c2-（a2-b2）2=-c2-（a2+b2）2+4a2b2而-c2-（a2+b2）20，a281
6、，b264，则S36，但是，其中等号成立的条件是c2=a2+b2，a=9，b=8，于是c2=145与3c4矛盾，所以，此三角形的面积不存在最大值以上解答是否正确？若不正确，请你给出正确的答案（注：16S2=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（-a+b+c）称为三角形面积的海伦公式，它已经被证明是正确的）答案和解析1.【答案】A【解析】解：若sin（x+）=cosx，则=+2k，即kZ，当k=0时，=，则“=”是“sin（x+）=cosx”成立的充分不必要条件，故选：A根据诱导公式以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据诱导公式是解决本题的关键2
7、.【答案】B【解析】解：=|cos2|=-cos2故选：B直接利用二倍角公式求解即可本题考查二倍角的余弦函数的应用，三角函数值的符号，基本知识的考查3.【答案】A【解析】【分析】由已知可得为三角形最大边，设所对的最大角为，利用余弦定理可求cos0，可得为锐角，即可得解本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题【解答】解：由已知可得为三角形最大边，设所对的最大角为，由已知可得：x2+y2=z2，可得x+y=，由余弦定理可得：cos=0，为锐角故选：A4.【答案】D【解析】【分析】在中，令a=2，b=3，c=4，得正确；在中，由a，b，c是ABC的三条边长，得到01，01
8、，当x（-，1）时，f（x）=ax+bx-cx=cx（）x+（）x-10；在中，推导出f（1）=a+b-c0，f（2）=a2+b2-c20，根据根的存在性定理可知在区间（1，2）上存在零点，即x（1，2），使f（x）=0本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意三角形性质的合理运用【解答】在中，令a=2，b=3，c=4，则abc可以构成三角形，但a2=4，b2=9，c2=16却不能构成三角形，故正确在中，a，b，c是ABC的三条边长，a+bc，ca0，cb0，01，01，当x（-，1）时，f（x）=ax+bx-cx=cx（）x+（）x-1cx（-1）=cx0，故正确在中，ca0，
9、cb0，若ABC为钝角三角形，a2+b2-c20，f（1）=a+b-c0，f（2）=a2+b2-c20，根据根的存在性定理可知在区间（1，2）上存在零点，即x（1，2），使f（x）=0，故正确故选：D5.【答案】【解析】【分析】本题的考点是幂函数的解析式，考查用待定系数法求已知函数类型的函数的解析式，待定系数法求解析式是求函数解析式的常用方法，主要用求函数类型已知的函数的解析式，属于基础题幂函数f（x）的图象过点（3，），故可根据幂函数的定义用待定系数法设出函数的解析式，代入所给点的坐标求参数，由此可得函数的解析式【解答】解：由题意设f（x）=xa，幂函数f（x）的图象过点（3，），f（3）=
10、3a=，a=，f（x）=，故答案为.6.【答案】【解析】解：角的终边上一点P（-3a，4a）（a0），x=-3a，y=4a，当a0时，r=|OP|=5a，则cos=-，当a0时，r=|OP|=-5a，则cos=，故答案为：利用任意角的三角函数的定义，求得cos的值本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题7.【答案】2：3【解析】解：扇形的圆心角是，设其半径为R，S扇形=lR=，扇形的内切圆的圆心在圆心角的角平分线上，几何知识，r+2r=R，所以内切圆的半径为，S圆形=，扇形的内切圆面积与扇形的面积之比为：=2：3故答案为：2：3确定扇形的内切圆的半径，分别计算扇形的内切圆面积与扇形的面积
11、，即可得到结论本题考查扇形的面积公式，考查学生的计算能力，确定扇形的内切圆的半径是关键，属于基础题8.【答案】二【解析】解：因为点P（tan，cos）在第三象限，所以，tan0，cos0，则角的终边在第二象限，故答案为：二由点P（tan，cos）在第三象限，得到tan0，cos0，从而得到所在的象限本题考查第三象限内的点的坐标的符号，以及三角函数在各个象限内的符号9.【答案】【解析】解：=sin，且在第二象限角，cos=-=-，tan=故答案为：由已知利用诱导公式可求sin，进而利用同角三角函数基本关系式可求cos的值，进而可求tan的值本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数
12、化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题10.【答案】3【解析】解：已知，在第二象限，cos=-=-，=3，故答案为：3利用同角三角函数的基本关系，半角公式，求得tan的值本题主要考查同角三角函数的基本关系，半角公式的应用，属于基础题11.【答案】【解析】解：tan60=tan+（60-）=，tan+tan（60-）=-tantan（60-），=-tantan（60-）+tantan（60-）=，故答案为：由特殊角的三角函数值，两角和的正切函数公式可得tan+tan（60-）=-tantan（60-），化简所求即可得解本题主要考查了特殊角的三角函数值，两角和的正切函数公式在三角函数化简求值
13、中的应用，考查了转化思想，属于基础题12.【答案】【解析】解：x，2x+，sin（2x+）=，cos（2x+）=-，cos2x=cos（2x+）-=cos（2x+）cos+sin（2x+）sin=-+=，故答案为：由条件利用同角三角函数的基本关系求得cos（2x+），再根据cos2x=cos（2x+）-，利用两角差的余弦公式求得结果本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，两角和差的余弦公式的应用，属于中档题13.【答案】【解析】解：sin2B+sinAsinCsin2A+sin2C，由正弦定理，可得：b2+aca2+c2，a2+c2-b2ac，cosB=，B（0，），y=cosB在（0，）是
14、单调递减的，角B的最小值是故答案为：由已知即正弦定理可得a2+c2-b2ac，利用余弦定理可求cosB，结合B（0，）及余弦函数的单调性即可求解本题主要考查了正弦定理，余弦定理及余弦函数的单调性在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题14.【答案】【解析】解：3acosC=2ccosA，由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，3tanA=2tanC，tanA=，2tanC=3=1，解得tanC=tanB=tan-（A+C）=-tan（A+C）=-=-=-1，B（0，），B=故答案为：由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcos
15、A，再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC，利用tanB=tan-（A+B）=-tan（A+B）即可得出本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题15.【答案】5【解析】解：函数f（x）=（）x，g（x）=x，关于直线y=x对称，记函数h（x）=，可知h（x）关于直线y=x对称y=x与y=5-x，交点为A（2.5，2.5）y=5-x，与函数h（x）交点关于A对称，x1+x2=2=5函数F（x）=h（x）+x-5，的零点设h（x）与y=5-x交点问题，可以解决函数F（x）=h（x）+x-5零点问题故
16、函数F（x）=h（x）+x-5所有零点的和为5故答案为：5运用函数f（x）=（）x与g（x）=x关于直线y=x对称，可知h（x）关于直线y=x对称利用y=x与y=5-x的交点，结合图求解即可本题考查了函数的交点，解决复杂函数的零点问题，反函数的对称问题，16.【答案】【解析】【分析】本题主要考查解三角形的实际应用判断三角形个数的问题，是中档题利用三角形有一解的条件，建立不等式求出k的取值范围【解答】解：由C点向底AB作高，垂足为D，ABC中，B=45，AC=10，BC=k，CD=BCsin45=k，当AC=CD=k=10，即k=10时，ABC只有一个；当ACBC，即10k时，0k10时，ABC
17、只有一个；满足条件的k的取值范围是0k10或k=10故答案为：17.【答案】解：为第二象限角，原式=【解析】本题主要考查应用诱导公式、同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题应用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值18.【答案】解：（1）0，cos=，sin=，tan=4tan2=-；（2）0，0-，又cos（-）=，sin（-）=，cos=cos-（-）=coscos（-）+sinsin（-）=cos2=2cos2-1=【解析】（1）由同角三角函数基本关系可得tan，代入二倍角的正切公式可得；（2）同理可得sin（-），可得cos=cos-（-）=coscos（-）+sinsi
18、n（-），代入数据可得其值，由二倍角的余弦可得cos2本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及二倍角公式，属基础题19.【答案】解：（1）设PA=x，CPA=，DPB=依题意有，由tan=tan，得，解得x=2，故点P应选在距A点2km处；（2）设PA=x，CQA=，DQB=依题意有，tanCQD=tan-（+）=-tan（+）=，令t=x+6，由0x6，得6t12，则=，当时，所张的角为钝角，当，即x=时取得最大角，故点Q应选在距A点km处【解析】（1）设出PA的长度x，把CPA，DPB的正切值用含x的代数式表示，由正切值相等求得x的值，即可确定P点的位置；（2）设出PA的长度x，把CQA与D
19、QB的正切值用含有x的代数式表示，最后把CQD的正切值用含有x的代数式表示，换元后再利用基本不等式求最值，最后得到使Q对C、D所张角最大时的x值，即可确定点Q的位置本题考查解三角形的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，解答的关键是把实际问题转化为数学问题，是中档题20.【答案】解：（1）函数f（x）=x2，当x1、x2同号时，不满足f（x1+x2）f（x1）+f（x2），函数f（x）=x2不是“V形函数”；（2）若是“对数V形函数”，则恒成立，a0，根据题意，g（x1+x2）g（x1）g（x2）恒成立，即，去括号整理得，a1；（3）若f（x）是“V形函数”，且满足对任意xR，有f（x）2，则
20、f（x1+x2）f（x1）+f（x2），f（x1）2，f（x1）-11，同理f（x2）-11，f（x1）-1f（x2）-11，去括号整理得f（x1）f（x2）f（x1）+f（x2），f（x1+x2）f（x1）f（x2），即lgf（x1+x2）lgf（x1）+lgf（x2），是“对数V形函数”【解析】（1）根据“V形函数”的定义，结合函数f（x）=x2，判断可得函数f（x）=x2不是“V形函数”（2）若是“对数V形函数”，则恒成立，结合g（x1+x2）g（x1）g（x2）恒成立，可得实数a的取值范围；（3）若f（x）是“V形函数”，且满足对任意xR，有f（x）2，则f（x1+x2）f（x1）+f
21、（x2），即lgf（x1+x2）lgf（x1）+lgf（x2），是“对数V形函数”本题考查的知识点是函数恒成立问题，正确理解新定义“V形函数”，是解答的关键21.【答案】解：（1）设直角三角形两直角边长为x、12-x，斜边长为y，则，两直角边长为6时，周长p的最小值为（2）设三角形中边长为x、y的两边所夹的角为，则周长p=，即又S=，为（3）不正确16S2=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（-a+b+c）=（b+c）2-a2a2-（b-c）2=-a4+2（b2+c2）a2-（b2-c2）2 =-a2-（b2+c2）2+4b2c2而-a2-（b2+c2）20，b264，c216，则S1
22、6，其中等号成立的条件是a2=b2+c2，b=8，c=4，则当三角形的边长为的直角三角形时，其面积取得最大值16（另解：）【解析】（1）设直角三角形两直角边长为x、12-x，斜边长为y，由勾股定理和二次函数的性质求出y的最小值，即得周长p的最小值（2）根据周长p=，利用基本不等式求得，再由S=，求得面积S的最大值（3）不正确，由海伦公式化简可得16S2=-a2-（b2+c2）2+4b2c2 ，而-a2-（b2+c2）20，b264，c216，则S16，故当三角形的边长为的直角三角形时，其面积取得最大值16另解：本题考查基本不等式，反余弦函数的定义，海伦公式的应用，三角形中的几何计算，属于中档题
