1、.反比例函数中的面积问题适用学科初中数学适用年级初中二年级适用区域全国课时时长（分钟）60分钟知识点1. 函数的相交问题，主要探究函数相交的交点个数及如何计算交点坐标，并进一步探究取何值时，一次函数与反比例函数值的大小比较；2. 相交时所围成的三角形的面积问题。教学目标1熟练应用函数图像与性质知识；2灵活掌握反比例函数中面积问题的几种题型；3熟练一次函数与反比例函数的综合应用。教学重点反比例函数中面积问题涉及题型的掌握。教学难点反比例函数与一次函数结合出现的面积问题所涉及的解题方法的归纳。教学过程一、复习预习由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。
2、这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容，又能充分体现数形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。这类反比例函数与一次函数的交点问题以及相交后求围成三角形的面积的题型难度很大，并且属于学生在计算中的难点问题，归纳起来有两个方面：1、函数的相交问题，主要探究函数相交的交点个数及如何计算交点坐标，并进一步探究取何值时，一次函数与反比例函数值的大小比较；2、相交时所围成的三角形的面积问题。现以近年中考试题为例加以分析，希望能对同学自主学习有所帮助。二、知识讲解1反比例函数的定义：一般地，形如y（）（k为常数，k_0）的函数叫做反比例函数2反比例函
3、数的性质：反比例函数y（k0）的图象是_ _当k0时，两分支分别位于第_ _象限内，且在每个象限内，y随x的增大而_；当k0,由结论及已知条件得， k=4【例题2】【题干】如图，已知双曲线（）经过矩形OABC的边AB，BC的中点F、E，且四边形OEBF的面积为2，则 【答案】k=2【解析】连结OB，E、F分别为AB、BC的中点 而 ，由四边形OEBF的面积为2得，解得 k=2。评注：第小题中由图形所在象限可确定k0，应用结论可直接求k值。第小题首先应用三角形面积的计算方法分析得出四个三角形面积相等，列出含k的方程求k值。题型二：已知反比例函数解析式，求图形的面积【例题3】【题干】在反比例函数的
4、图象中，阴影部分的面积不等于4的是（ ）A B C D【答案】B【解析】因为过原点的直线与双曲线交点关于原点对称，故B、C、D的面积易求。对于A：S=4，对于B：阴影中所含的三个小直角三角形面积相等，故S=；对于C：S=4，对于D：S=4 故选（B）题型三：利用数形结合思想求点的坐标，注意分类讨论【例题4】【题干】已知一次函数y=kx+b(ko)和反比例函数y=的图象交于点A(1，1)(1)求两个函数的解析式；(2)若点B是x轴上一点，且AOB是直角三角形，求B点的坐标【答案】解：（1）点A（1，1）在反比例函数的图象上，k=2，反比例函数的解析式为： 。设一次函数的解析式为：y=2x+b，点
5、A（1，1）在一次函数y=2x+b的图象上，b=-1，一次函数的解析式为y=2x-1。（2）如图，点A（1，1），AOB=45，AOB是直角三角形，点B只能在x轴正半轴上，当OB1A=90时，即B1AOB1，AOB1=45，B1A=OB1，B1（1，0）；当OAB2=90时，AOB2=AB2O=45， B1起OB2的中点，B2（2，0），综上可知，B点坐标为（1，0）或（2，0）。 例4题图 例5题图【例题5】【题干】如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数的图象交于M、N两点 (1)求反比例函数和一次函数的函数关系式 (2)根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围【答案
6、】解：（1）的图象经过N（1，4），k=xy=1（4）=4反比例函数的解析式为。又点M在的图象上，m=2M（2，2）又直线y=ax+b图象经过M，N，一次函数的解析式为y=2x2；（2）由图象可知：反比例函数的值一次函数的值的x的取值范围是x1或0x2题型四：利用点的坐标及面积公式求图形的面积【例题6】【题干】如图，已知是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB与轴的交点C的坐标及三角形AOB的面积【答案】解：（1）在上 反比例函数的解析式为：点在上 。经过， 解之得 一次函数的解析式为：（2）是直线与轴的交点，当时， 点 评注：对于例4
7、、例5、例6类型的题目，其解题方法基本上都是分三步：先由条件求函数解析式，再通过解方程组求交点坐标，最后由面积公式计算面积。难度属中档题。题型五：利用反比例函数的对称性求有关的面积问题【例题7】【题干】已知, A、B、C、D、E是反比例函数（x0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图5所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是 （用含的代数式表示）【答案】x,y为正整数，x=1,2,4,8,16，即A、B、C、D、E五个点的坐标为(1,16)、(2,8)、(4,4)、(8,2)、(
8、16,1)，因五个橄榄形关于y=x对称，故有S=13-26。题型六：与其它知识结合，如一元二次方程、相似形、二次函数等【例题7】【题干】如图，一次函数y=x+8和反比例函数（x0）的图象在第一象限内有两个不同的公共点A(x 1，y 1)、B(x2，y 2) (1)求实数k的取值范围 (2)若AOB的面积SAOB=24，求k的值 【答案】解：（1）y=-x+8与y=k/x联立已知k0， x-8x+k=0， 64-4k0，得0k16。（2）设两个交点横坐标为x1和x2 ，根据x2-x1=6以及x-8x+k=0，（x2+x1）-4x1x2=36，由韦达定理x1+x2=8；x1x2=k 解得k=7。【
9、例题8】【题干】如图，已知：一次函数：的图像与反比例函数： 的图像分别交于A、B两点，点M是一次函数图像在第一象限部分上的任意一点，过M分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M1、M2，设矩形MM1OM2的面积为S1；点N为反比例函数图像上任意一点，过N分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为N1、N2，设矩形NN1ON2的面积为S2；（1）若设点M的坐标为(x，y)，请写出S1关于x的函数表达式，并求x取何值时，S1的最大值；（2）观察图形，通过确定x的取值，试比较S1、S2的大小 【答案】解：(1) =，当时，。（2），由可得： ，。通过观察图像可得：当时，。当时，；当时，。四、课堂运用【基础】例1
10、、2变式1. 如图，矩形ABOD的顶点A是函数与函数在第二象限的交点，轴于B，轴于D，且矩形ABOD的面积为3（1）求两函数的解析式（2）求两函数的交点A、C的坐标（3）若点P是y轴上一动点，且，求点P的坐标答案解：（1）由图象知k0，由结论及已知条件得-k=3 反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为（2）由，解得， 点A、C的坐标分别为（，3），（3，） （3）设点P的坐标为（0，m）直线与y轴的交点坐标为M（0，2） ，xyABO8题图或，点P的坐标为（0，）或（0，）。分析依据图象及结论求k值是本题的关键，只有求出k代值，才能通过解方程组求A、C两点的坐标，然后才能解决第小问。2. 例
11、3变式如图，点、是双曲线上的点，分别经过、两点向轴、轴作垂线段，若则 答案3x解：点A、B是双曲线y=上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=3，S1+S2=3+3-12=4故填空答案：4分析3x欲求S1+S2，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段求出与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线y=的系数k，由此即可求出S1+S2此题难度较大，考查了反比例函数的图象和性质及任一点坐标的意义例题4、5变式3. 若一次函数y=2x1和反比例函数y=的图象都经过点(1，1) (1)求反比例函数的解析式； (2)已知点A在第三
12、象限，且同时在两个函数的图象上，求点A的坐标。 (3)利用(2)的结果，若点B的坐标为(2，0)，且以点A、O、B、P为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P的坐标答案解：（1）反比例函数y=的图象经过点（1，1）， 1=，解得k=2，反比例函数的解析式为y=；（2）解方程组得，点A在第三象限，且同时在两个函数图象上， A（，-2）；（3） P1（，-2），P2（，-2），P3（，2）。 【巩固】1. 如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数的图象相交于点A（2，3）和点B，与x轴相交于点C（8，0）（1）求这两个函数的解析式；（2）当x取何值时，y1y2变式：当0时，比较y1和y2
13、的大小。 答案解：（1）把 A（2，3）代入，得m=6。反比例函数的解析式为。把 A（2，3）、C（8，0）代入y1=kx+b，得，解得。一次函数的解析式为y1=x+4。（2）由题意得，解得，。从图象可得，当x0或2x6 时，y1y2。变式：当0x2和x6时，y1y2；当时，；当2x6时，y1y2。mx分析（1）将A、B中的一点代入y2=，即可求出m的值，从而得到反比例函数解析式，把 A（2，3）、C（8，0）代入y1=kx+b，可得到k、b的值；（2）根据图象可直接得到y1y2时x的取值范围本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟悉待定系数法以及理解函数图象与不等式的关系是解题的关键2.
14、 如图，直线与反比例函数（0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（2，4），点B的横坐标为4。（1）试确定反比例函数的关系式；（2）求AOC的面积.答案解：（1）点A（-2，4）在反比例函数图象上，4=k-2，k=-8，反比例函数解析式为y=。（2）B点的横坐标为-4，y=，y=2 B(-4，2)。点A（-2，4）、 点B（-4，2）在直线y=kx+b上， 4=-2k+b，2=-4k+b，解得 k=1，b=6。直线AB为y=x+6。与x轴的交点坐标C（-6，0），SAOC=COyA=64=12。kx分析主要考查了用待定系数法求函数解析式和反比例函数y12中k的几何意义，这
15、里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系S= |k|3.如图，A和B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数的图象上，则图中阴影部分的面积等于 . 答案设圆A的圆心A的坐标为(x,y)，由图可知，x=y， A点在反比例函数图象上，解得x=1从而所求面积为。分析根据反比例函数的对称性，阴影部分的面积正好构成圆，利用圆的面积公式即可求解本题主要考查了反比例函数的对称性，理解阴影部分的面积正好构成圆是关键【拔高】1. 如图，一次函数ykxb的图象与坐标轴分别交于AB两点，与反比例函数y的图象在第
16、二象限的交点为C，CDx轴，垂足为D若OB2，OD4，AOB的面积为1(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)直接写出当x0的解集答案解：（1）OB=2，AOB的面积为1，B（2，0），OA=1，A（0，1） ，又OD=4，ODx轴，C（4，y），将代入得y=1，C（4，1），（2）当时，的解集是分析（1）根据点A和点B的坐标求出一次函数的解析式再求出C的坐标是（-4，1），利用待定系数法求解即可求反比例函数的解析式；（2）根据一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象在第二象限的交点为C即可求出当x0时，kx+b-mx0的解集本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用到的
17、知识点是待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，这里体现了数形结合的思想，关键是根据反比例函数与一次函数的交点求出不等式的解集2. 如图，已知函数y=x与反比例函数y=（x0）的图象交于点A将y=x的图象向下平移6个单位后与双曲线y=交于点B，与x轴交于点C（1）求点C的坐标；（2）若=2，求反比例函数的解析式答案解：（1）向下平移6个单位，得，设点C的坐标为（，0），点C的坐标为（，0）；（2）设点A的坐标（，），点B的坐标（，），若，则，即点A、B在上，即，把代入得：，解得（舍去），或，即点B（6，2），反比例函数的解析式为分析本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函
18、数的交点坐标满足两函数的解析式也考查了相似三角形的判定与性质以及一次函数图象的平移问题课程小结1. 函数的相交问题，主要探究函数相交的交点个数及如何计算交点坐标，并进一步探究取何值时，一次函数与反比例函数值的大小比较；2. 相交时所围成的三角形的面积问题。课后作业【基础】1、反比例函数的图象如图所示，点M是该函数图象上一点，MN垂直于x轴，垂足是点N，如果SMON2，则k的值为（） (A)2 (B)-2 (C)4 (D)-4解：由图象上的点所构成的三角形面积为可知，该点的横纵坐标的乘积绝对值为4，又因为点M在第二象限内，所以可知反比例函数的系数为k=-4故选D分析：根据反比例函数图象上的点的横
19、纵坐标之积是定值k，同时|k|也是该点到两坐标轴的垂线段与两坐标轴围成的矩形面积即可解答点评：本题主要考查反比例函数的比例系数k的几何意义反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=1/2|k|2、若A（a1，b1），B（a2，b2）是反比例函数图象上的两个点，且a1a2，则b1与b2的大小关系是（）Ab1b2 Bb1 = b2 Cb1b2 D大小不确定解：k0，函数图象，图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，a1a20，b1b2故选：C分析：根据反比例函数的性质，k0，a1a20，在第二象限内，y随x的增大而增大，则b1b
20、2点评：本题考查了由反比例函数图象的性质判断函数图象上点的坐标特征，得出两点所在象限是解题关键3、函数与在同一坐标系内的图象可以是（ ）xyOAxyOBxyOCxyOD解：A、由函数y=x+m的图象可知m0，由函数y=m/x的图象可知m0，相矛盾，故错误；B、由函数y=x+m的图象可知m0，由函数y=m/x的图象可知m0，正确；C、由函数y=x+m的图象可知m0，由函数y=m/x的图象可知m0，相矛盾，故错误；D、由函数y=x+m的图象可知m=0，由函数y=m/x的图象可知m0，相矛盾，故错误故选B分析：先根据一次函数的性质判断出m取值，再根据反比例函数的性质判断出m的取值，二者一致的即为正确
21、答案点评：本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题4、如图，反比例函数的图象与直线相交于B两点，AC轴，BC轴，则ABC的面积等于 个面积单位。解：设A的坐标是：（a，b），则ab=5，B的坐标是：（-a，-b），AC=2b，BC=2a，则ABC的面积是：1/2ACBC=1/22a2b=2ab=25=10故选C分析：设A的坐标是：（a，b），则ab=5，B的坐标是：（-a，-b），则AC=2b，BC=2a，根据直角三角形的面积公式即可求解点评：本题考查了反比例函数的图象，以及三角形的面积，正确理解A、B关于原点对称是关键5函数y=与y=x2图象交点的
22、横坐标分别为，则的值为 。解：根据题意得1/x=x-2，化为整式方程，整理得x2-2x-1=0，函数y=1/x与y=x-2图象交点的横坐标分别为a，b，a、b为方程x2-2x-1=0的两根，a+b=2，ab=-1，1/a+1/b=（a+b）/ab=2/-1=-2故答案为-2a+bab分析：先根据反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式得到1/x=x-2，去分母化为一元二次方程得到x2-2x-1=0，根据根与系数的关系得到a+b=2，ab=-1，然后变形1/a+1/b得，再利用整体思想计算即可点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式
23、也考查了一元二次方程根与系数的关系变式：函数y=与y=x2图象一个交点的坐标为，则 。【巩固】1.如右图，直线AB交双曲线于、B，交x轴于点C,B为线段AC的中点，过点B作BMx轴于M，连结OA.若OM=2MC,SOAC=12.则k的值为_.解：过A作ANOC于N，BMOCANBM，B为AC中点，MN=MC，OM=2MC，ON=MN=CM，设A的坐标是（a，b），则B（2a，1/2b），SOAC=121/23ab=12，ab=8，B在y=k/x上，k=2a1/2b=ab=8，故答案为：8分析：过A作ANOC于N，求出ON=MN=CM，设A的坐标是（a，b），得出B（2a，1/2b），根据三角形
24、AOC的面积求出ab=8，把B的坐标代入即可求出答案点评：本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题和三角形的面积的应用，主要考查学生的计算能力2. 如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数的图象交，那么值为 .解：正比例函数的图象与反比例函数y=6/x的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，x1=-x2，y1=-y2，（x2-x1）（y2-y1）=x2y2-x2y1-x1y2+x1y1=x2y2+x2y2+x1y1+x1y1=64=24故答案为：24分析：正比例函数与反比例函数y=6/x的两交点坐标关于原点对称，依此可得x1=-x2，y1=-y2，将（x2-x1）（y2-y1）展开，
25、依此关系即可求解点评：考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，正比例函数与反比例函数的两交点坐标关于原点对称3. 已知反比例函数y在第一象限的图象如图所示，点A在其图象上，点B为x轴正半轴上一点，连接AO、AB，且AOAB，则SAOB 解：过点A作ACOB于点C，AO=AB，CO=BC，点A在其图象上，1/2ACCO=3，1/2ACBC=3，SAOB=6故答案为：6分析：根据等腰三角形的性质得出CO=BC，再利用反比例函数系数k的几何意义得出SAOB即可点评：此题主要考查了等腰三角形的性质以及反比例函数系数k的几何意义，正确分割AOB是解题关键4. 如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数
26、y=的图象交于A（-2，1），B（1，n）两点（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围解：（1）把A（2，1）代入y=，得m=2，即反比例函数为y=，则n=，n=2，即B（1，2），把A（2，1），B（1，2）代入y=kx+b，求得k=1，b=1，所以y=x1；（2）由图象可知：x2或0x1分析：（1）由A的坐标易求反比例函数解析式，从而求B点坐标，进而求一次函数的解析式；（2）观察图象，看在哪些区间一次函数的图象在上方点评：本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，重点是用待定系数法求得函数的解析式，同学们要好好掌握【拔高】1.
27、（1）探究新知：如图1，已知ABC与ABD的面积相等， 试判断AB与CD的位置关系，并说明理由（2）结论应用： 如图2，点M，N在反比例函数（k0）的图象上，过点M作MEy轴，过点N作NFx轴，垂足分别为E，F 试证明：MNEF 若中的其他条件不变，只改变点M，N 的位置如图3所示，请判断 MN与EF是否平行解：（1）分别过点C，D，作CGAB，DHAB，垂足为G，H，则CGADHB90 CGDH ABC与ABD的面积相等， CGDH 四边形CGHD为平行四边形 ABCD（2）证明：连结MF，NE设点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2） 点M，N在反比例函数（k0）的图象上， ， MEy轴，NFx轴， OEy1，OFx2 SEFM，SEFNSEFM SEFN由（1）中的结论可知：MNEF MNEF分析：（1）分别过点C，D，作CGAB，DHAB，垂足为G，H，根据CGDH，得到ABC与ABD同底，而两个三角形的面积相等，因而CG=DH，可以证明四边形CGHD为平行四边形，ABCD（2）判断MN与EF是否平行，根据（1）中的结论转化为证明SEFM=SEFN即可点评：本题考查了反比例函数与几何性质的综合应用，这是一个阅读理解的问题，正确解决（1）中的证明是解决本题的关键.
