1、应用多元统计分析应用多元统计分析第八章习题解答第八章习题解答2 第八章第八章 因子分析因子分析.1,135.045.035.0163.045.063.01)(,18321的正交因子模型试求为即相关阵的协差阵设标准化随机变量mRXXX:.000000:,:232221312111312111比较等号两边可得出则相关阵满足子模型设随机向量符合正交因解aaaaaaR3第八章第八章 因子分析因子分析35.045.063.0111213131112111232312222121211aaaaaaaaa,9.0,7.0,5.025.07535.0,35.05757,5745.063.01121312313
2、13131213121aaaaaaaaaa75.01,51.01,19.081.011231232212221121aaa4第八章第八章 因子分析因子分析3132121115.07.09.01FXFXFXm的正交因子模型为故75.000051.000019.0D特殊因子特殊因子(1,2,p)的协差阵的协差阵D为：为：5第八章第八章 因子分析因子分析).1(,1)1(.)1772.0,6379.0,7494.0(3672.0,)8432.0,4911.0,2186.0(6795.0,)5075.0,5932.0,6250.0(9633.11828332211QmlllR并计算误差平方和求因子模型
3、的主成分解时取公因子个数的特征值和特征向量为中知已4943.00003091.00002331.0,7111.08312.08757.0)(:1:11DlAm为的因子模型的主成分解解6第八章第八章 因子分析因子分析02411.001727.00979.0015911.016227.07279.01135.0145.063.01)(1DAARE记7第八章第八章 因子分析因子分析1951.0)2411.01727.00979.0(2)1(22313122ijijQ故).2(,2)2(Qm并计算误差平方和求因子模型的主成分解时取公因子个数,6950.07111.04048.08312.01802.0
4、8757.0),(:2:2211llAm为的因子模型的主成分解解8第八章第八章 因子分析因子分析3213221212116950.07111.04048.08312.01802.08757.0201131.00001452.00002007.0FFXFFXFFXmD的正交因子模型为则)(135.0145.063.01)(2DAADAARE9第八章第八章 因子分析因子分析13097.014975.08008.01DAA00403.000475.01708.002E06611.0)0403.00475.01708.0(2)2(22313122ijijQ故10第八章第八章 因子分析因子分析 (3)试
5、求误差平方和试求误差平方和Q(m)0.1的主成分解的主成分解.因因Q(2)=0.073310.1，故，故m=2的主成分解满足要求的主成分解满足要求.,)()(1212212112pmjjpiipmjjpipjijmQ或者利用习题或者利用习题8-4的结果的结果:2023.03943.05966.04943.03091.02331.03672.06795.0)()()()()1(222222232222212322Q07331.006149.01348.001131.01452.02007.03672.0)()()()2(222222322222123Q11第八章第八章 因子分析因子分析8-3 验
6、证下列矩阵关系式验证下列矩阵关系式(A为为pm阵阵).)()()3(;)()()2(;)()()1(1111111111111111DAADAIDAAADAADAIADDDAAADAIIADAADAImmpIAADBm解：解：利用分块矩阵求逆公式求以下分块矩阵的逆：利用分块矩阵求逆公式求以下分块矩阵的逆：,2111122AADBADAIBm记利用附录中分块求逆的二个公式利用附录中分块求逆的二个公式(4.1)和和(4.2)有：有：12第八章第八章 因子分析因子分析ABAIBAABBBDABABDDAABDDBBBBIAADBmm1211121112111211112211122112211112
7、2112221121111由逆矩阵的对应块相等，即得：由逆矩阵的对应块相等，即得：13第八章第八章 因子分析因子分析2211221211211112212111111122111211BBABAIBDABBABDAABDDBm1111111111111)()()3()()()2()()(ADAIAAADAIDAADAIAADADAADAIADDAADmmmm把把B221和和B112式代入以上各式，可得：式代入以上各式，可得：由第三式和第二式即得由第三式和第二式即得)1()()()(111111ADAADAIAAADAADAIImmm14第八章第八章 因子分析因子分析 8-4 证明公因子个数为证
8、明公因子个数为m的主成分解，其误差平方的主成分解，其误差平方和和Q(m)满足以下不等式满足以下不等式其中其中ES-(AA+D)=(ij),A,D是因子模型的主成分估计是因子模型的主成分估计.,)(12112pmjjpipjijmQ 解：解：设样本协差阵设样本协差阵S有以下谱分解式：有以下谱分解式：iipmiiiimiiiipiil ll ll lS1110p21其中 为为S的特征值，的特征值，li为相应的为相应的标准特征向量。标准特征向量。15第八章第八章 因子分析因子分析设设A,D是因子模型的主成分估计是因子模型的主成分估计,即即,11mmllABBAABABASllBppmm)|(,11有
9、若记若记)diag(BBD则则.,)(DEBBDBBDAASE即16第八章第八章 因子分析因子分析 piipmjjmQDDEDDEEEDEDEBBB(BBBBB(12212)(00)(tr)()tr()tr)tr故,)()(1212212112pmjjpiipmjjpipjijmQ所以所以因因pmppmmppmmllllBB00),(1111117第八章第八章 因子分析因子分析 8-5 试比较主成分分析和因子分析的相同之处试比较主成分分析和因子分析的相同之处与不同点与不同点.因子分析与主成分分析的不同点有因子分析与主成分分析的不同点有:(1)主成分分析不能作为一个模型来描述主成分分析不能作为一
10、个模型来描述,它只它只是通常的变量变换是通常的变量变换,而因子分析需要构造因子模型而因子分析需要构造因子模型;(2)主成分分析中主成分的个数和变量个数主成分分析中主成分的个数和变量个数p相相同同,它是将一组具有相关关系的变量变换为一组互它是将一组具有相关关系的变量变换为一组互不相关的变量不相关的变量(注意应用主成分分析解决实际问题注意应用主成分分析解决实际问题时时,一般只选取前一般只选取前m(mp)个主成分个主成分),而因子分析的而因子分析的目的是要用尽可能少的公共因子目的是要用尽可能少的公共因子,以便构造一个结以便构造一个结构简单的因子模型构简单的因子模型;18第八章第八章 因子分析因子分析
11、 (3)主成分分析是将主成分表示为原变量的线主成分分析是将主成分表示为原变量的线性组合性组合,而因子分析是将原始变量表示为公因子而因子分析是将原始变量表示为公因子和特殊因子的线性组合和特殊因子的线性组合,用假设的公因子来用假设的公因子来“解解释释”相关阵的内部依赖关系相关阵的内部依赖关系.这两种分析方法又有一定的联系这两种分析方法又有一定的联系.当估计方法当估计方法采用主成分法采用主成分法,因子载荷阵因子载荷阵A与主成分的系数相与主成分的系数相差一个倍数差一个倍数;因子得分与主成分得分也仅相差一因子得分与主成分得分也仅相差一个常数个常数.这种情况下可把因子分析看成主成分分这种情况下可把因子分析看成主成分分析的推广和发展析的推广和发展.这两种方法都是降维的统计方法这两种方法都是降维的统计方法,它们都可用它们都可用来对样品或变量进行分类来对样品或变量进行分类.
