1、应用多元统计分析应用多元统计分析第二章部分习题解答第二章部分习题解答2 第二章第二章 多元正态分布及参数的估计多元正态分布及参数的估计 2-1 设设3维随机向量维随机向量XN3(,2I3)，已知，已知.21,5.005.05.015.0,002dA试求试求Y=AX+d的分布的分布.解解:利用性质利用性质2,即得二维随机向量即得二维随机向量YN2(y,y),其中：其中：.11132)2(,1221113AAAIAdAyy3 第二章第二章 多元正态分布及参数的估计多元正态分布及参数的估计 2-2 设设X=(X1,X2)N2(,)，其中，其中.11,221（1）试证明）试证明X1+X2 和和X1-X
2、2相互独立相互独立.（2）试求）试求X1+X2 和和X1-X2的分布的分布.解解:(1)记记Y1 X1+X2(1,1)X,Y2 X1-X2 (1,-1)X，利用性质利用性质2可知可知Y1,Y2 为正态随机变量。又为正态随机变量。又011111111),Cov(221YY故故X1+X2 和和X1-X2相互独立相互独立.4 第二章第二章 多元正态分布及参数的估计多元正态分布及参数的估计或者记或者记CXXXXXXXYYY212121211111),(则2CCCNY)1(200)1(2111111111111111111因222CCY由定理由定理2.3.1可知可知X1+X2 和和X1-X2相互独立相互
3、独立.5 第二章第二章 多元正态分布及参数的估计多元正态分布及参数的估计(2)因因)1(200)1(2,2212122121NXXXXY).1(2,();1(2,(2212122121NXXNXX6 第二章第二章 多元正态分布及参数的估计多元正态分布及参数的估计 2-3 设设X(1)和和X(2)均为均为p维随机向量维随机向量,已知已知,1221)2()1(2)2()1(pNXXX其中其中(i)(i1，2)为为p维向量维向量,i(i1，2)为为p阶矩阵，阶矩阵，(1)试证明试证明X(1)+X(2)和和X(1)-X(2)相互独立相互独立.(2)试求试求X(1)+X(2)和和X(1)-X(2)的分布
4、的分布.解:(1)令CXXXIIIIXXXXYpppp)2()1()2()1()2()1(7 第二章第二章 多元正态分布及参数的估计多元正态分布及参数的估计),(则2CCCNYp)(2)(2)(D)因D(2121122121211221OOIIIIIIIIIIIICXCYpppppppppppp 由定理由定理2.3.1可知可知X(1)+X(2)和和X(1)-X(2)相相互独立互独立.8 第二章第二章 多元正态分布及参数的估计多元正态分布及参数的估计(2)因因)(2)(2,2121)2()1()2()1(2)2()1()2()1(OONXXXXYp).(2,();(2,(21)2()1()2()
5、1(21)2()1()2()1(ppNXXNXX所以所以注意:由D(X)0,可知(1-2)0.9 第二章第二章 多元正态分布及参数的估计多元正态分布及参数的估计2-11 已知已知X=(X1,X2)的密度函数为的密度函数为)65142222(21exp21),(2121222121xxxxxxxxf试求试求X的均值和协方差阵的均值和协方差阵.解一解一:求边缘分布及求边缘分布及Cov(X1,X2)=122)142(21)65222(21221112212212121),()(dxeedxxxfxfxxxxxx21211222121)7(212)7()7(2(21)65222(2121xxxxxxx
6、edxee10 第二章第二章 多元正态分布及参数的估计多元正态分布及参数的估计2)7(21)168(212121212121dxeexxxx2)7(21)491465222(2121212112121dxeexxxxxx21)4(2121xe).1,4(1NX22)3(4112122221),()(xedxxxfxf).2,3(2NX类似地有类似地有11 第二章第二章 多元正态分布及参数的估计多元正态分布及参数的估计2121212122112112),()3()4()3)(4(E)(E)(E(E),(CovdxdxxxfxxXXXXXXXX34令2211xuxu2121222121)22(21
7、exp21duduuuuuuu12)(21221212212121dudueueuuuu12)(2112)(21122121221221)(2121dudueudueuueuuuuuu121122121dueuu0212 第二章第二章 多元正态分布及参数的估计多元正态分布及参数的估计所以所以2111)(D,34)(EXX)()(21exp21),(且121xxxxf故故X=(X1,X2)为二元正态分布为二元正态分布.13 第二章第二章 多元正态分布及参数的估计多元正态分布及参数的估计解二解二:比较系数法比较系数法 设设)()(2)()1(21exp121)65142222(21exp21),(
8、2222122112121122222212212121222121xxxxxxxxxxxxf6521422222211211212121222221121212221221212122221比较上下式相应的系数比较上下式相应的系数,可得可得:2/11212142222242121342114 第二章第二章 多元正态分布及参数的估计多元正态分布及参数的估计2111)(D,34)(EXX故故X=(X1,X2)为二元正态随机向量为二元正态随机向量.且且解三解三:两次配方法两次配方法 2221222121121212121212221212122122212122则,0111令,0111011111
9、12而,1112),(22因)(22:第一次配方)1(yyxxxxxxxxxyyyBBxxxxxxxxxxxxxxx21221第二次配方.由于)2(yyxyx15 第二章第二章 多元正态分布及参数的估计多元正态分布及参数的估计2221222121212222121212221)4()7(168491465)(142265142222yyyyyyyyyyyxxxxxx)4()7(21)65142222(21222121221212122212121yyyyxyxxxxxxxee即即),(21yyg),(21yyg设函数设函数 是随机向量是随机向量Y的密度函数的密度函数.16 第二章第二章 多元正
10、态分布及参数的估计多元正态分布及参数的估计 (4)由于由于CYYYXXX21211110故故211111101110,344711102I2111,342NCYX2111)(D,34)(EXX2221,47INYYY(3)随机向量随机向量17 第二章第二章 多元正态分布及参数的估计多元正态分布及参数的估计2-12 设设X1 N(0,1),令令,其它.,11-当,1112XXXX(1)证明证明X2 N(0,1);(2)证明证明(X1,X2)不是二元正态分布不是二元正态分布.证明证明(1):任给任给x,当当x-1时时)(12xxXPxXP当当x1时时,)(1111111111112222xxXPx
11、XPXPXPxXPXPXPxXP18 第二章第二章 多元正态分布及参数的估计多元正态分布及参数的估计)(11111111111222xxXPxXPXPXxPXPxXPXPxXP当当-1x1时时,).1,0(2NX(2)考虑随机变量考虑随机变量Y=X1-X2,显然有显然有其它011-当,11121XXXXXY19 第二章第二章 多元正态分布及参数的估计多元正态分布及参数的估计03174.0)1(2)1,0(111或1011111NXXPXPXXPYP 若若(X1,X2)是二元正态分布是二元正态分布,则由性质则由性质4可知可知,它的任意线性组合必为一元正态它的任意线性组合必为一元正态.但但Y=X1
12、-X2 不是正态分布不是正态分布,故故(X1,X2)不是二元正态分布不是二元正态分布.20 第二章第二章 多元正态分布及参数的估计多元正态分布及参数的估计2-17 2-17 设设XNp(,),(,),0,0,X的密度函数记为的密度函数记为f(x;,).(1);,).(1)任给任给a0,0,试证明概率密度等高面试证明概率密度等高面 f(x;,)=;,)=a是一个椭球面是一个椭球面.(2)(2)当当p=2=2且且 (0)0)时，时，112概率密度等高面就是平面上的一个椭圆，试求该椭圆概率密度等高面就是平面上的一个椭圆，试求该椭圆的方程式，长轴和短轴的方程式，长轴和短轴.证明证明(1):任给任给a0
13、,0,记记时,1当0,|)2(02/12/0aaap21)()(),;(bxxaxf,0ln2|)2(ln2其中02/12/2aaabp21 第二章第二章 多元正态分布及参数的估计多元正态分布及参数的估计的谱谱分解则有),2,1(的特征向量记特对应,0的特征值0,因1-21piliip记为iipiil l 111),2,1()(pilxyii令令 ,则概率密度等高面为则概率密度等高面为211)(1)()()(bxl lxxxiipii2211byipii(见附录见附录5 P390)22 第二章第二章 多元正态分布及参数的估计多元正态分布及参数的估计12222222121bybybypp故概率密
14、度等高面故概率密度等高面 f(x;,)=a是一个椭球面是一个椭球面.(2)当当p=2=2且且 (0)0)时时,112).1(|240)()(|222224222222pI由由可得可得的特征值的特征值).1(),1(222123 第二章第二章 多元正态分布及参数的估计多元正态分布及参数的估计i(i=1,2)对应的特征向量为对应的特征向量为2121212111ll由由(1)可得椭圆方程为可得椭圆方程为1)1()1(22222221byby,12ln2|)2(ln2其中222/12aab长轴半径为长轴半径为 方向沿着方向沿着l1方向方向(b0);短轴半径为短轴半径为 方向沿着方向沿着l2方向方向.,11 bd,12 bd24第二章第二章 多元正态分布及参数的估计多元正态分布及参数的估计 2-19 为了了解某种橡胶的性能，今抽了十个样品，为了了解某种橡胶的性能，今抽了十个样品，每个测量了三项指标：每个测量了三项指标：硬度、变形和弹性，其数据见硬度、变形和弹性，其数据见表。试计算样本均值，样本离差阵，样本协差阵和样表。试计算样本均值，样本离差阵，样本协差阵和样本相关阵本相关阵.解：解：25第二章第二章 多元正态分布及参数的估计多元正态分布及参数的估计
