1、.06-07-1概率论与数理统计试题A一、填空题（每题3分，共15分）1. 设A，B相互独立，且，则_. 2. 已知，且，则_.3. 设X与Y相互独立，且，则_ 4.设是取自总体的样本，则统计量服从_分布.5. 设，且，则_.二、选择题（每题3分，共15分）1. 一盒产品中有只正品，只次品，有放回地任取两次，第二次取到正品的概率为 【 】(A) ；(B) ；(C) ；(D) . 2. 设随机变量X的概率密度为则方差D(X)= 【 】(A) 2； (B) ； (C) 3； (D) . 3 设、为两个互不相容的随机事件，且，则下列选项必然正确的是【 】；4. 设是某个连续型随机变量的概率密度函数，
2、则的取值围是【 】； ； ； 5. 设，其中、为常数，且，则【 】 ； ； 三、（本题满分8分） 甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.5和0.4，现已知目标被命中，求它是乙命中的概率.四、（本题满分12分）设随机变量X的密度函数为，求：（1）常数A； （2）； （3）分布函数.五、（本题满分10分）设随机变量X的概率密度为求的概率密度.六、（本题满分10分）将一枚硬币连掷三次，X表示三次中出现正面的次数，Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求：（1）（X，Y）的联合概率分布；（2）.七、（本题满分10分）二维随机变量（X，Y）的概率密度为求：（1）系数A；（2）
3、X，Y的边缘密度函数；（3）问X，Y是否独立。八、（本题满分10分）设总体X的密度函数为其中未知参数，为取自总体X的简单随机样本，求参数的矩估计量和极大似然估计量.九、（本题满分10分）设总体，其中且与都未知，现从总体中抽取容量的样本观测值，算出，试在置信水平下，求的置信区间 （已知：，）07-08-1概率论与数理统计试题A一选择题（将正确的答案填在括号，每小题4分，共20分）1检查产品时，从一批产品中任取3件样品进行检查，则可能的结果是：未发现次品，发现一件次品，发现两件次品，发现3件次品。设事件表示“发现件次品” 。用表示事件“发现1件或2件次品”，下面表示真正确的是（ ）(A); (B)
4、; (C) ; (D) .2设事件与互不相容，且，则下面结论正确的是（ ）(A) 与互不相容; (B); (C) ; (D).3设随机变量，且与相互独立，则（ ）(A); (B); (C); (D).4设总体，是未知参数，是来自总体的一个样本，则下列结论正确的是（ ）(A) ;(B) ; (C);(D)5设总体，是来自总体的一个样本，则的无偏估计量是（ ）(A); (B) ; (C); (D) .二填空（将答案填在空格处，每小题4分，共20分）1已知两个事件满足条件，且，则_.23个人独立破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，则此密码被破译出的概率是 .3设随机变量的密度函数为，用表示对的
5、3次独立重复观察中事件出现的次数，则 .4设两个随机变量和相互独立，且同分布：，则 .5设随机变量的分布函数为：，则 .三计算1（8分）盒中放有10个乒乓球，其中有8个是新的。第一次比赛从中任取2个来用，比赛后仍放回盒中。第二次比赛时再从盒中取2个，求第二次取出的球都是新球的概率。2（6分）设随机变量和独立同分布，且的分布律为：求的分布律。3（12分）设随机变量的密度函数为：（1）试确定常数C ；（2）求；（3）求的密度函数。4（20分）设二维连续型随机变量的联合概率密度为： （1） 求随机变量和的边缘概率密度；（2） 求和；（3） 和是否独立？求和的相关系数，并说明和是否相关？（4） 求。5
6、（6分）设总体的分布律为，是来自总体的一个样本。求参数的极大似然估计。6（8分）食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐的标准重量为500g。每隔一定的时间，需要检验机器的工作情况。现抽得10罐，测得其重量（单位：g）的平均值为，样本方差。假定罐头的重量，试问机器的工作是否正常（显著性水平）？（，）/8-09-1概率论与数理统计试题A一、填空题（每题3分，共15分）1、已知随机变量服从参数为2的泊松（Poisson）分布，且随机变量，则 _2、设、是随机事件，则 1 2 31 2 3、设二维随机变量的分布列为若与相互独立，则的值分别为 。4、设 ，则 _ _ 5、设是取自总体的样本，则统计量服从_分
7、布. 二、选择题（每题3分，共15分）1. 一盒产品中有只正品，只次品，有放回地任取两次，第二次取到正品的概率为 【 】(A) ； (B) ； (C) ； (D) .2、设事件与互不相容，且，则下面结论正确的是【 】(A) 与互不相容; (B);(C) ; (D).3、设两个相互独立的随机变量与分别服从正态分布和，则【 】 (A)； (B) ； (C)； (D)。4、 如果满足，则必有【 】（A）与独立；（B）与不相关；（C）；（D）0 1 5、设相互独立的两个随机变量与具有同一分布律，且的分布律为则随机变量的分布律为【 】(A)； (B) ；(C) ；(D) 。三、（本题满分8分）两台机床加
8、工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.02，已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，加工出来的零件放在一起，求：任意取出的零件是合格品(A)的概率.四、（本题满分10分）将一枚硬币连掷三次，X表示三次中出现正面的次数，Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求：（1）（X，Y）的联合概率分布；（2）.五、（本题满分12分）设随机变量，试求随机变量的密度函数六、（10分）设的密度函数为 求的数学期望和方差； 求与的协方差和相关系数，并讨论与是否相关？七、（本题满分10分）二维随机变量（X，Y）的概率密度为求：（1）系数A；（2）X，Y的边缘密度
9、函数；（3）问X，Y是否独立。八、设总体，其中是已知参数，是未知参数是从该总体中抽取的一个样本， . 求未知参数的极大似然估计量；. 判断是否为未知参数的无偏估计九、（本题满分8分）设总体，其中且与都未知，现从总体中抽取容量的样本观测值，算出，试在置信水平下，求的置信区间 （已知：，）06-07-1概率论与数理统计试题A参考答案一、1. 0.75；2. 0.2；3. 3；4. ；5. 二、1、 (C)；2、 (D)；3；4、；5、三、解：设表示事件“甲命中目标”，表示事件“乙命中目标”，则表示“目标被命中”，且 所求概率为四、解：（1）由，即所以.（2）（3）分布函数五、解：当即时，；当即时，
10、；当即时，；即所以六、解：由题意知，X的可能取值为：0，1，2，3；Y的可能取值为：1，3. 且，.于是，（1）（X，Y）的联合分布为 YX300102030（2）.七、解：（1）由所以.（2）X的边缘密度函数：.Y的边缘密度函数：.（3）因，所以X，Y是独立的. 八、解：令，即，得参数的矩估计量为似然函数为当时，得参数的极大似然估计值为九、解：由于正态总体中期望与方差都未知，所以所求置信区间为由，得查表，得 由样本观测值，得， 所以， ， ，因此所求置信区间为07-08-1概率论与数理统计试题A参考答案一1B；2D；3B；4C；5A.二1；2；3；4；51.三1解：设用表示：“第一次比赛取出
11、的两个球中有个新球”，；表示：“第二次取出的两个球都是新球”。则 ； ； ；则2解：的可能取值为2，3，4，则 所以的分布律为：2343解（1） 得： （2） （3）当时，； 当时，4解（1）当时，则同理（2） 同理： 同理： 同理：（3）由于，所以和不独立。 所以和相关。（4）5解：似然函数为：令得参数的极大似然估计为：6解：假设， 选择统计量： 统计量的样本值：由于，接受原假设。所以在显著性水平下，可以认为自动装罐机工作正常。0809-1学期概率论与数理统计试题A参考答案一、填空题：1、；2、0.4；3；4、2.6；5、二、选择题：1、C；2、D；3、B；4、B；5、C三、解：设Bi=“取
12、出的零件由第 i 台加工”四、解：由题意知，X的可能取值为：0，1，2，3；Y的可能取值为：1，3. 且，.于是，（1）（X，Y）的联合分布为 YX300102030（2）五、解：随机变量的密度函数为 设随机变量的分布函数为，则有 . 如果，即，则有； . 如果，则有 即所以， 即 六、解： 所以与不相关.七、（本题满分10分）解：（1）由 所以（2）X的边缘密度函数：Y的边缘密度函数：（3）因，所以X，Y是独立的八、解：. 当为未知，而为已知参数时，似然函数为 因而 所以 解得因此，的极大似然估计量为 . 因为 ， 所以 ，所以 ， ，所以因此， 所以，是未知参数的无偏估计九、解：由于正态总
13、体中期望与方差都未知，所以所求置信区间为 由，得查表，得由样本观测值，得，所以， ， ，因此所求置信区间为 班级： : 号数 第一部分 基本题一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号）（每道选择题选对满分，选错0分）1. 事件表达式AUB的意思是 ( )(A) 事件A与事件B同时发生(B) 事件A发生但事件B不发生(C) 事件B发生但事件A不发生(D) 事件A与事件B至少有一件发生答：选D，根据AUB的定义可知。2. 假设事件A与事件B互为对立，则事件AIB( )(A) 是不可能事件(B) 是可能事件(C)
14、 发生的概率为1(D) 是必然事件答：选A，这是因为对立事件的积事件是不可能事件。3. 已知随机变量X,Y相互独立，且都服从标准正态分布，则X2Y2服从 ( )(A) 自由度为1的c2分布(B) 自由度为2的c2分布(C) 自由度为1的F分布(D) 自由度为2的F分布答：选B，因为n个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从自由度为n的c2分布。4. 已知随机变量X,Y相互独立，XN(2,4),YN(-2,1), 则( )(A) X+YP(4)(B) X+YU(2,4)(C) X+YN(0,5)(D) X+YN(0,3)答：选C，因为相互独立的正态变量相加仍然服从正态分布，而E(X+Y
15、)=E(X)+E(Y)=2-2=0, D(X+Y)=D(X)+D(Y)=4+1=5, 所以有X+YN(0,5)。5. 样本(X1,X2,X3)取自总体X，E(X)=m, D(X)=s2, 则有( ) (A) X1+X2+X3是m的无偏估计(B) 是m的无偏估计(C) 是s2的无偏估计(D) 是s2的无偏估计答：选B，因为样本均值是总体期望的无偏估计，其它三项都不成立。6. 随机变量X服从在区间(2,5)上的均匀分布，则X的数学期望E(X)的值为( )(A) 2(B) 3(C) 3.5(D) 4答：选C，因为在(a,b)区间上的均匀分布的数学期望为(a+b)/2。二、填空题（共6小题，每小题5分
16、，满分30分。把答案填在题中横线上）1. 已知P(A)=0.6, P(B|A)=0.3, 则P(AIB)= _答：填0.18, 由乘法公式P(AIB)=P(A)P(B|A)=0.60.3=0.18。2. 三个人独立地向一架飞机射击，每个人击中飞机的概率都是0.4，则飞机被击中的概率为_答：填0.784，是因为三人都不中的概率为0.63=0.216, 则至少一人中的概率就是1-0.216=0.784。3. 一个袋有5个红球，3个白球，2个黑球，任取3个球恰为一红、一白、一黑的概率为_答：填0.25或，由古典概型计算得所求概率为。4. 已知连续型随机变量 则PX1.5=_答：填0.875，因PX1
17、.5。5. 假设XB(5, 0.5)(二项分布), YN(2, 36), 则E(X+Y)=_答：填4.5，因E(X)=50.5=2.5, E(Y)=2, E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2.5+2=4.56. 一种动物的体重X是一随机变量，设E(X)=33, D(X)=4，10个这种动物的平均体重记作Y，则D(Y)_答：填0.4，因为总体X的方差为4，10个样本的样本均值的方差是总体方差的1/10。三、有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。由甲袋任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，求取到白球的概率。（10分）解：设从甲袋取到白球的事件为A，从乙袋取到白
18、球的事件为B，则根据全概率公式有四、已知随机变量X服从在区间(0,1)上的均匀分布，Y2X +1，求Y的概率密度函数。（10分）解：已知X的概率密度函数为Y的分布函数FY(y)为因此Y的概率密度函数为五、已知二元离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布如下表所示： YX-112-10.10.20.320.20.10.1(1) 试求X和Y的边缘分布率(2) 试求E(X),E(Y),D(X),D(Y),及X与Y的相关系数rXY(满分10分)解：(1)将联合分布表每行相加得X的边缘分布率如下表：X-12p0.60.4将联合分布表每列相加得Y的边缘分布率如下表：Y-112p0.30.30.4(2) E(
19、X)=-10.6+20.4=0.2, E(X2)=10.6+40.4=2.2,D(X)=E(X2)-E(X)2=2.2-0.04=2.16E(Y)=-10.3+10.3+20.4=0.8, E(Y2)=10.3+10.3+40.4=2.2D(Y)= E(Y2)-E(Y)2=2.2-0.64=1.56E(XY)=(-1)(-1)0.1+(-1)10.2+(-1)20.3+2(-1)0.2+210.1+220.1= =0.1-0.2-0.6-0.4+0.2+0.4=-0.5cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=-0.5-0.16=-0.66六、设某种电子管的使用寿命服从正态分布。从中随机
20、抽取15个进行检验，算出平均使用寿命为1950小时，样本标准差s为300小时，以95%的置信概率估计整批电子管平均使用寿命的置信区间。 (满分10分)解：已知样本均值, 样本标准差s=300, 自由度为15-1=14, 查t分布表得t0.025(14)=2.1448, 算出, 因此平均使用寿命的置信区间为，即(1784, 2116)。附：标准正态分布函数表F(x)0.90.950.9750.99x1.2815511.6448531.9599612.326342t分布表Pt(n)ta(n)=a a N0.10.050.025141.34501.76132.1448151.34061.75312.
21、1315161.33681.74592.1199第二部分 附加题附加题1设总体X的概率密度为其中q-1为未知参数，又设x1,x2,L,xn是X的一组样本观测值，求参数q的最大似然估计值。（满分15分）解：似然函数令，解出q的最大似然估计值为附加题2设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处。（满分15分）Y Xy1y2y3PX=xi=x1x2PY=yj=1解：已知X与Y独立，则pij=P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi)gP(Y=yj), 经简单四则运算，可得Y Xy1y2y3PX=xi=x1x2PY=yj=1 . . .
