1、苏北七市2020届高三年级第三次模拟考试 数学 参考公式： 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上 1已知集合A=-1,0,1，B=0,2,则AB=. 2设复数z满足(3-i)z=10,其中i为虚数单位，则z的模是. 3右图是一个算法流程图，则输出的k的值是. 4某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4:4:3.为了解学生对防 震减灾知识的掌握情况，现采用分层抽样的方法抽取 n 名学生进行问卷 检测.若高一年级抽取了20名学生，则n的值是. 5今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果， 功不可没.“三药”分别为金花清感颗粒、连花清
2、瘟胶囊、血必净注射液: “三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方，若某医生从 “三药三方”中随机选出2种，则恰好选出1药1方的概率是. 6在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=4x的准线是双曲线 x2 a2 - y2 2 =1(a0)的左准线，则实数a的值是 . 7已知 cos( + ) = 5 13 ， sin = 3 5 ， , 均为锐角，则 sin 的值是 . 8公园里设置了一些石凳供游客休息，这些石凳是经过正方体各棱的中点截去8个一样的四面体 得到的(如图所示).设石凳的体积为V1，正方体的体积为V2，则 V1 V2 长的值是 . (第8题) 9已知x1,y1,xy=10，
3、则 1 lgx + 4 lgy 的最小值是 . 10已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn.若 4S2, S4, -2S3成等差数列，且 a2+ a3= 2，则 a6的值是 . 11海伦(Heron，约公元1世纪)是古希腊亚历山大时期的数学家，以他的名字命名的“海伦公式” 是几何学中的著名公式，它给出了利用三角形的三边长 a, b, c 计算其面积的公式 SABC= p(p-a)(p-b)(p-c) ，其中 p = a+b+c 2 . 若 a = 5， b = 6， c = 7，则借助“海伦公式”可求得 ABC的内切圆的半径r的值是. 12如图， ABC 为等边三角形，分别延长 BA, C
4、B, AC 到点 D, E, F，使得 AD = BE = CF. 若 开始 结束 k1 kk+1k2-4k0 输出k Y N (第3题) BA =2AD ，且DE=13,则AF CE 的值是. A B C D EF (第12题) 13已知函数f(x)= k(1- 2 x ),x b 0) 的左、右焦点分别为 F1， F2， 过点F2的直线交椭圆于M,N两点.已知椭圆的短轴长为22 ，离心率为 6 3 （1）求椭圆的标准方程； （2）当直线MN的斜率为5 时，求F1M+F1N的值； （3）若以MN为直径的圆与x轴相交的右交点为P(t,0)，求实数t的取值范围 Ox y F1 F2 M N (第
5、18题) A BC O 2 (第17题) 19（本小题满分16分） 已知是 an各项均为正数的无穷数列，数列 bn满足bn=anan+k(nN N*)，其中常数k为正整数 （1）设数列 an前n项的积Tn=2 n(n-1) 2 ，当k=2时，求数列的 b n 通项公式； （2）若 an是首项为1，公差d为整数的等差数列，且b2-b1=4，求数列 1 bn 的前2020项的和； （3）若 bn是等比数列，且对任意的 nN N *，a nan+2k=a 2 n+k，其中k2，试问： an 是等比数 列吗？请证明你的结论. 20（本小满分16分） 已知函数f(x)= alnx x ，g(x)= x+
6、aln ex ，其中e是自然对数的底数. （1）若函数f(x)的极大值为 1 e ，求实数a的值； （2）当a=e时，若曲线y= f(x)与y= g(x)在处的切线互相垂直，求x0的值； （3）设函数h(x)= g(x)- f(x)，若h(x)0对任意的x(0,1)恒成立，求实数a的取值范围 数学(附加题) 21【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若 多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A.选修选修42：矩阵与变换：矩阵与变换（本小题满分10分） 已知mR R, = 1 1 是矩阵MM= 1m 21 的一个特征向量
7、，求MM的逆矩阵MM -1. B.选修选修44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（本小题满分10分） 在极坐标系中，圆C的方程为=2rsin(r0).以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直 角坐标系，直线l的参数方程为 x=3 +t, y=1+3 t (t为参数).若直线l与圆C恒有公共点，求r的取值范 围 C选修选修4-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分10分） 已知x1，y1，且x+y=4，求证： y2 x-1 + x2 y-1 8 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤 22.（本小题满分10分
8、） 某“芝麻开门”娱乐活动中，共有5扇门，游戏者根据规则开门，并根据打开门的数量获取相应奖 励.已知开每扇门相互独立，且规则相同.开每扇门的规则是：从给定的 6把钥匙(其中有且只有1把 钥匙能打开门)中，随机地逐把抽取钥匙进行试开，钥匙使用后不放回.若门被打开，则转为开下一 扇门；若连续4次未能打开，则放弃这扇门，转为开下一扇门；直至 5扇门都进行了试开，活动结 束. （1）设随机变量X为试开第一扇门所用的钥匙数，求X的分布列及数学期望E(X)； （2）求恰好成功打开4扇门的概率. 23.（本小题满分10分） 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，准线与x轴
9、的交点为E. 过点 F 的直线与抛物线相交于 A, B 两点， EA, EB 分别与 y 轴相交于 M, N 两点当 AB x 轴时， EA=2. （1）求抛物线的方程； （2）设EAB的面积为S1，EMN面积为S2，求 S1 S2 的取值范围. O x y A B EF M N (第23题) 数学参考答案与评分细则第 1页（共 17页） （第 3 题） N 开始 2 40kk Y 输出k 结束 k1 kk+1 2020 届高三第三次调研测试 数学学科参考答案及评分建议数学学科参考答案及评分建议 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分 1 已知集合 1 0 1A ，0
10、 2B ，则AB U 【答案】 1 0 1 2 ， 2. .设复数z满足(3i)10z，其中i为虚数单位，则z的模 是 【答案】1 3 右图是一个算法流程图，则输出的k的值是 【答案】5 4 某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 443为了解学生对防震减灾知识的掌握 情况，现采用分层抽样的方法抽取 n 名学生进行问卷检测若高一年级抽取了 20 名学生， 则 n 的值是 【答案】55 5 今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没 “三药”分 别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液； “三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒 方、宣肺败毒方若某医生从“三药三方”中随
11、机选出 2 种，则恰好选出 1 药 1 方的概率 是 【答案】 3 5 6 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 2 4yx的准线是双曲线 2 2 2 1(0) 2 y x a a 的左准线， 则实数 a 的值是 【答案】2 7 已知 5 cos() 13 ， 3 sin 5 ， ，均为锐角，则sin的值是 【答案】 33 65 数学参考答案与评分细则第 2页（共 17页） （第 8 题） （第 12 题） E F D C A B 8 公园里设置了一些石凳供游客休息，这些石凳是经过正方体各棱的中点截去 8 个一样的四面 体得到的（如图所示） 设石凳的体积为 1 V，正方体的体积 为 2 V，则
12、 1 2 V V 的值是 【答案】 5 6 9 已知1110xyxy，则 14 lglgxy 的最小值是 【答案】9 10已知等比数列 n a的前 n 项和为 n S若 243 42SSS， ，成等差数列，且 23 2aa，则 6 a的 值是 【答案】32 11海伦（Heron，约公元 1 世纪）是古希腊亚历山大时期的数学家，以他的名字命名的“海伦 公式”是几何学中的著名公式，它给出了利用三角形的三边长 a，b，c 计算其面积的公式 ()()() ABC Sp papbpc ，其中 2 abc p 若5a ，6b ，7c ，则借助“海伦 公式”可求得ABC的内切圆的半径r的值是 【答案】 2
13、6 3 12如图，ABC为等边三角形，分别延长BACBAC，到点DEF， ，使得ADBECF 若2BAAD ，且13DE ，则AF CE 的值是 【答案】 9 2 13已知函数 2 2 (1)0 ( ) 20. kx x f x xkx ， ， 若函数( )()( )g xfxf x有且仅有四个不同的零点，则 实数k的取值范围是 【答案】(27) ， 数学参考答案与评分细则第 3页（共 17页） 14在平面直角坐标系xOy中，过点(26)P，作直线交圆 O： 22 16xy于 A，B 两点， 00 ()C xy， 为弦 AB 的中点，则 22 00 (1)(3)xy的取值范围是 【答案】 10
14、42)， 注：第 13、14 题的答案写成集合、区间和不等式均正确。 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分 15 （本小题满分 14 分） 在ABC 中，角ABC， ，所对的边分别为abc， ，已知 5(sinsin) 5sin8sin CB AB abc （1）求cosC的值； （2）若AC，求sin B的值 【解】 （1）在ABC 中，因为 5(sinsin) 5sin8sin CB AB abc ， 所以由正弦定理 sinsinsin abc ABC ，得5()()(58 )bc cbaab， 即 2228 5 abcab， 4 分 所以由余弦定理，得 222 4 cos 25
15、 abc C ab 7 分 （2）因为 4 cos 5 C ，(0)C，所以 23 sin1cos 5 CC， 9 分 所以 24 sin22sincos 25 CCC 12 分 因为AC， 所以 24 sinsin()sin()sin2 25 BACACC 14 分 注：第 1 问中“正弦定理 sinsinsin abc ABC ”文字和公式必须都写，缺少一个扣 1 分，都没有 扣 2 分。 数学参考答案与评分细则第 4页（共 17页） （第 16 题） A1 C1 B A C D E B1 A1 C1 B AC D E B1 F 16 （本小题满分 14 分） 如图，在直三棱柱 111 A
16、BCABC中，ACBC，DE，分别是 11 ABBC，的中点 求证： （1）平面ACD 平面 11 BCC B； （2） 1 B E平面ACD 【证】 （1）在直三棱柱 111 ABCABC中， 1 CC 平面ABC， 因为AC 平面ABC，所以 1 CCAC 2 分 又因为ACBC， 1 BCCCC， 1 BCCC ，平面 11 BCC B， 所以AC 平面 11 BCC B. 4 分 因为AC 平面ACD， 所以平面ACD 平面 11 BCC B 6 分 （2） （方法一）取 AC 的中点 F，连结 DF，EF 因为在ABC 中，E 是 BC 的中点，F是AC的中点， 所以 EFAB，且
17、1 2 EFAB 8 分 因为 D 是 11 AB的中点，所以 111 1 2 B DAB 又因为在棱柱 111 ABCABC中，AB 11 AB，且 11 ABAB， 所以 EFDB1，且 EF =DB1， 10 分 所以四边形 1 EFDB是平行四边形，所以 B1EFD 12 分 因为 1 B E 平面 ADC，FD 平面 ADC， 所以 1 B E平面ACD 14 分 （方法二）取 AB 的中点 G，连结 EG，B1G 因为在ABC 中，E 是 BC 的中点，G是AB的中点， 所以 EGAC 数学参考答案与评分细则第 5页（共 17页） A1 C1 B A C D E B1 G A BC
18、 O （第 17 题） 2 因为GE 平面 ACD，AC 平面 ACD， 所以 EG平面 ACD 8 分 在棱柱 111 ABCABC中，ABA1B1，且 AB =A1B1， 因为 D 是 11 AB的中点，G 是 AB 的中点， 所以 AGDB1，且 AG =DB1， 所以四边形 1 AGB D是平行四边形，所以 B1GAD 因为 1 BG 平面 ACD，AC 平面 ACD， 所以 B1G平面 ACD 10 分 又因为 EG平面 ACD，BGGE ，平面 B1GE， 1 BGGEG， 所以平面 B1GE平面 ACD 12 分 因为 B1E平面 B1GE， 所以 1 B E平面ACD 14 分
19、 注：逻辑段中缺少条件则该逻辑段不给分，若后面的逻辑段与此逻辑段具有因果，则后面的逻辑 段也不给分。 17 （本小题满分 14 分） 某单位科技活动纪念章的结构如图所示，O 是半径分别为 1 cm，2 cm 的两个同心圆的圆心 等腰ABC的顶点 A 在外圆上，底边 BC 的两个端点都在内圆上，点 O，A 在直线 BC 的 同侧若线段 BC 与劣弧BC所围成的弓形面积为 1 S，OAB与OAC的面积之和为 2 S 设2BOC （1）当 3 时，求 21 SS的值； （2）经研究发现当 21 SS的值最大时，纪念章最美观 求当纪念章最美观时，cos的值 （求导参考公式：(sin2 )2cos2(c
20、os2 )2sin2xxxx ，） 数学参考答案与评分细则第 6页（共 17页） 【解】过点O作ODBC于点D，则D为BC的中点 又ABC 为等腰三角形，所以AOD， ，三点共线， 所以AOBAOC 所以 22 1 111 211sin2sin2 222 S， 2 分 2 1 21 2sin2sin0 22 S ， 4 分 （1）当 3 时， 21 1 2sinsin2 2 SS 12 2sinsin 3323 5 3 43 答：当 3 时， 21 SS的值为 5 3 43 cm2 6 分 （2）设 21 1 ( )2sin+sin20 22 fSS ， 所以 2 ( )2cos1cos22
21、cos+cos1f 8 分 令( )0f，得 51 cos 2 ， 51 cos 2 （舍） ， 记 0 51 cos 2 ， 0 0 2 10 分 所以当 0 51 cos 2 时，( )f取得最大值，此时 21 SS的值最大 答：当纪念章最美观时， 51 cos 2 14 分 注： （1）前 4 分中 S1与 S2只要给出一个就给 2 分； （2）此题的两小问中必须都要有答，缺少一个扣一分，当然学生写成“.”也可以；若第 一小题的答中没有单位，也扣 1 分。 0 (0)， 0 0 () 2 ， ( )f 0 ( )f 极大值 A BC O 2 D 数学参考答案与评分细则第 7页（共 17页
22、） （第 18 题） M Ox y N F1F2 18 （本小题满分 16 分） 如图， 在平面直角坐标系xOy中， 已知椭圆 2 2 22 1(0) y x ab ab 的左、 右焦点分别为 1 F， 2 F， 过点 2 F的直线交椭圆于M，N两点已知椭圆的短轴长为2 2，离心率为 6 3 （1）求椭圆的标准方程； （2）当直线MN的斜率为5时，求 11 FMFN的值； （3）若以MN为直径的圆与x轴相交的右交点为(0)P t， 求实数t的取值范围 【解】 （1）设椭圆的焦距为2c， 所以 222 22 2 6 3 b c a abc ， ， ， 解得 2 6a ， 2 2b ， 2 4c
23、所以椭圆的标准方程为 2 2 1 62 y x 3 分 （2）因为直线MN的斜率为5，且过点 2(2 0) F， 所以直线MN的方程为5(2)yx 由 2 2 5(2) 1 62 yx y x ， +， 得 2 830270xx， 解得 39 24 xx， 所以 53 () 22 M， 59 () 44 N， 所以 22553 693 ()() 42424 MN 6 分 又因为 12121 ()()4 6MFMFNFNFMFNFMN， 所以 11 13 6 4 MFNF 8 分 数学参考答案与评分细则第 8页（共 17页） （3）设 11 ()M xy， 22 ()N xy， 又( 0)P t
24、，2t ， 所以 1122 ()()PMxtyPNxty ， 又因为点P在以MN为直径的圆上，所以PMPN ， 所以 1212 ()()0PM PNxt xty y ， 所以 2 121212 ()0x xt xxty y 10 分 当直线MN倾斜角为0时，(6 0)N ，( 6 0)M，所以6t 当直线MN倾斜角不为0时，设直线MN方程为2xmy 由 2 2 2 1 62 xmy y x ， +， 消去x，得 22 3420mymy() 所以 22 122 122 168(3)0 4 3 2 . 3 mm m yy m y y m ， ， 所以 1212 (2)(2)x xmymy 2 12
25、12 2 ()4m y ym yy， 1212 ()4xxm yy 12 分 所以 22 1212 (1)(2)()440my ymtm yytt， 所以 2 2 2 31210 0 6 tt m t ， 14 分 解得 6 62 3 t或 6 62 3 t（舍去） 综合得，实数t的取值范围是 6 62+ 3 ， 16 分 数学参考答案与评分细则第 9页（共 17页） 19 （本小题满分 16 分） 已知 n a是各项均为正数的无穷数列，数列 n b满足() nnn k baan N，其中常数k为 正整数 （1）设数列 n a前 n 项的积 (1) 2 2 n n n T ，当2k 时，求数列
26、 n b的通项公式； （2）若 n a是首项为 1，公差d为整数的等差数列，且 21 4bb，求数列 1 n b 的前 2020 项的和； （3）若 n b是等比数列，且对于任意的n N， 2 2nnkn k aaa ，其中2k，试问： n a是 等比数列吗？请证明你的结论 【解】 （1）2n时， 1 1 2n n n n T a T ， 1n 时， 11 1aT，符合上式， 所以 1 2n n a ，Nn ， 所以 2 4n nnn ba a ， 所以数列 n b的通项公式为4n n b 3 分 （2）因为 111 1 k ba akd ， 222 (1) 1 (1) k baadkd ，
27、21 4bb， 所以 2 21 4(1)2(1)2bbkdddkd 因为k N，0d，且d Z，所以(1)2dkd， 所以1d 所以 2 42 1(1) 1k ，则1k 7 分 从而 n an， 1 (1) nnn ba an n ， 所以 111 1 n bnn ， 所以 122020 111 bbb 11111 (1)()() 22320202021 数学参考答案与评分细则第 10页（共 17页） 12020 1 20212021 9 分 （3）设等比数列 n b的公比为 q，显然 q0 由 nnn k baa ， 2n kn knk baa ， 得， 2kn kn knk nnn k b
28、aa q baa 因为 2 2nnkn k aaa ，所以 2n knk nn k aa aa ，即 2 kn k n a q a ， 所以 2 k n k n a q a （正常数） 12 分 由 nnn k baa ， 111nnn k baa ， 得， 111nnn k nnn k baa q baa （*） 14 分 因为 2 k n k n a q a ，所以 1 1 nkn k nn aa aa ， 将 11nnk nn k aa aa 代入（*）式，得到 2 1n n a q a ， 即 1 1 2 n n a q a （正常数） ， 所以 n a为公比为 1 2 q的等比数列
29、16 分 注注： （1）第）第 1 问中无问中无 n=1 扣扣 1 分，学生只要能够写出分，学生只要能够写出“ 1 2n n a ”就给就给 2 分；分； （2）第）第 2 问中只要学生能够给出问中只要学生能够给出 k=1，d=1 即给即给 4 分；分； （3）到）到 12 分的解题方法单一，以后方法较多，阅卷老师酌情给分。分的解题方法单一，以后方法较多，阅卷老师酌情给分。 数学参考答案与评分细则第 11页（共 17页） 20 （本小题满分 16 分） 已知函数 ln ( ) ax f x x ， ln ( ) ex xa g x ，其中 e 是自然对数的底数 （1）若函数( )f x的极大值
30、为 1 e ，求实数 a 的值； （2）当ea 时，若曲线( )yf x与( )yg x在 0 xx处的切线互相垂直，求 0 x的值； （3）设函数( )( )( )h xg xf x，若( )0h x 对任意的(0 1)x，恒成立，求实数 a 的取值范围 【解】 （1）因为 ln ( ) ax f x x ，所以 2 (1ln ) ( ) ax fx x 令( )0fx，得ex ，因为0a ，列表如下： 所以 lne1 ( )(e) ee a f xf 极大值 ，所以1a 3 分 （2）当ea 时， eln ( ) x f x x ，则 2 e(1ln ) ( ) x fx x ， 1 (
31、) ex x g x ，则( ) ex x g x 曲线( )yf x与( )yg x在 0 xx处的切线互相垂直， 所以 00 ()()1fxg x ，即 0 00 2 0 e(1ln) 1 ex xx x ， 5 分 整理得 0 00 eelne=0 x xx 设( )eelne x r xxx，则 e ( )(1)exr xx x 因为0x ，所以( )0r x， 所以( )eelne x r xxx在(0) ，上单调递增 7 分 又因为(1)0r，且 0 ()0r x，所以 0 1x 8 分 （3） lnln ( ) ex xaax h x x ， x (0 e)， e (e)， (
32、)fx +0 ( )f x 极大值 数学参考答案与评分细则第 12页（共 17页） 设( )ee x m xx，则( )ee x m x 令( )0m x，得1x 列表如下： 所以( )(1)0m xm 最小值 所以ee x x， 所以lneln(e ) x x，即1lnxx，即ln1xx 10 分 1 e a时，ln1a又因为01x，所以ln0x 22 1(ln )(1ln )1(1) 1ln ( ) eee xx xaaxx x h x xx 2 1(1) 2 ee x x x x 22 (2)(1) 22 0 e ee x x xx x xx 所以( )h x在(0 1)，上单调递减，所
33、以 1ln ( )(1)0 e a h xh 14 分 当 1 0 e a时， 1ln (1)0 e a h ，ln0a ，e1 a ， 所以 (1e )ln ln ( )ln0 eeee a aaaa a aaaa h aa ， 又( )h x在(0 1)，上图象不间断， 所以存在(0 1)t，使( )0h t ，不合题意 综上，a 的取值范围为 1 e ， 16 分 注注： （1）第）第 1 问中，学生只要求导正确，给问中，学生只要求导正确，给 1 分；分； （2）第）第 3 问中结论问中结论“ee x x和ln1xx ”是为下面证明服务的，学生只要能够给出即给是为下面证明服务的，学生只要
34、能够给出即给 2 分，即每写出一个给分，即每写出一个给 1 分，简单证明再给分，简单证明再给 1 分。分。 x (1)， 1 (1)， ( )m x 0 ( )m x 极小值 数学参考答案与评分细则第 13页（共 17页） 21 【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两题 ， 并在 答题卡 相应的答题区域内作答 若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修 4-2：矩阵与变换（本小题满分 10 分） 已知mR，是矩阵的一个特征向量，求M的逆矩阵 1 M 【解】因为是矩阵的一个特征向量， 所以存在非零实数，使得， 所以，即 解得则 5 分 设，则， 即
35、，所以 解得 所以 10 分 B选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 在极坐标系中，圆 C 的方程为2 sin (0)rr以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建 立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为 3 13 xt yt ， （t 为参数）若直线 l 与圆 C 恒有公 共点，求 r 的取值范围 数学参考答案与评分细则第 14页（共 17页） 【解】将直线 l 的参数方程为 3 13 xt yt ， （t 为参数）化为普通方程为320xy 3 分 由2 sin (0)rr，得 2 2sinr， 所以圆 C 的直角坐标方程为 222 ()xyrr 6 分 因为直线l与圆 C 恒
36、有公共点， 所以 22 2 ( 3)( 1) r r ，解得2r. 所以实数 r 的取值范围是2) ， 10 分 C选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 10 分） 已知1x ，1y ，且4xy，求证： 2 2 8 11 y x xy 【证】因为1x ，1y ，且4xy，由柯西不等式得， 2 2 (1)(1) 11 y x xy xy 2 2 2 2 11()16 11 y x xyxy xy ， 8 分 即 2 2 216 11 y x xy ，所以 2 2 8 11 y x xy . 10 分 【必做题】第 22、23 题，每小题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域 内作答，解答时
37、应写出 文字说明、证明过程或演算步骤 22(本小题满分 10 分) 某“芝麻开门”娱乐活动中，共有 5 扇门，游戏者根据规则开门，并根据打开门的数量获取 相应奖励已知开每扇门相互独立，且规则相同开每扇门的规则是：从给定的 6 把钥匙（其 中有且只有 1 把钥匙能打开门）中，随机地逐把抽取钥匙进行试开，钥匙使用后不放回若 门被打开，则转为开下一扇门；若连续 4 次未能打开，则放弃这扇门，转为开下一扇门；直 至 5 扇门都进行了试开，活动结束 （1）设随机变量 X 为试开第一扇门所用的钥匙数，求 X 的分布列及数学期望 E(X)； 数学参考答案与评分细则第 15页（共 17页） （2）求恰好成功打
38、开 4 扇门的概率 【解】 （1）X 的可能取值为 1，2，3，4， 1 (1) 6 P X ， 511 (2)= 656 P X ， 5411 (3)= 6546 P X ， 543154321 (4)+ 654365432 P X ， 所以 X 的分布列为 所以 1111 ()12343 6662 E X 5 分 （2） （法一）记成功打开一扇门的事件为 A， 则 11154312 ( ) 66665433 P A ， 8 分 记恰好成功打开 4 扇门的事件为 B， 则 44 5 2180 ( )( ) ( ) 33243 P BC 答：恰好成功打开 4 扇门的概率为 80 243 10
39、分 （法二）记成功打开一扇门的事件为 A， 则 54322 ( )1= 65433 P A 8 分 记恰好成功打开 4 扇门的事件为 B， 则 44 5 2180 ( )( ) ( ) 33243 P BC. 答：恰好成功打开 4 扇门的概率为 80 243 10 分 注注： （1）第）第 1 问中问中 4 个概率每写对个概率每写对 1 个给个给 1 分，期望正确再给分，期望正确再给 1 分；分； （2）无）无“答答.”扣扣 1 分。分。 X1234 P 1 6 1 6 1 6 1 2 数学参考答案与评分细则第 16页（共 17页） （第 23 题） E O x y A B F M N 23(
40、本小题满分 10 分) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 2 2(0)ypx p的焦点为 F，准线与x轴的交 点为E过点 F 的直线与抛物线相交于 A，B 两点，EAEB，分别与y轴相交于 M，N 两点 当ABx轴时，2EA （1）求抛物线的方程； （2）设EAB面积为 1 S，EMN面积为 2 S，求 1 2 S S 的取值范围 【解】 （1）当ABx轴时，AFp，EFp， 所以22EAp，即2p ， 所以抛物线的方程为 2 2 2yx 2 分 （2）设直线AB的方程为 2 2 xmy， 由 2 2 2 2 2 yx xmy ， ， 得 2 2 220ymy 设 11 ()A
41、xy， 22 ()B xy，所以 12 2 2yym， 12 2y y ， 直线AE方程为 1 1 2 2 2 2 y yx x 令0x ，得 11 1 1 22 22 22 2 M yy y my x ，同理 22 2 2 22 22 22 2 N yy y my x ， 4 分 所以 1212 1212 2() 22 22 22(2)(2) MN yyyy yy mymymymy ， 6 分 其中 2 1212 2 ()2m y ym yy 222 24222mmm ， 则 12 1 2 1 2 1 2 MN EF yy S S EO yy 2 444m ， 因此 1 2 S S 的取值范围为4 ， 10 分 数学参考答案与评分细则第 17页（共 17页）
