1、二次根式分母有理化及应用 一、分母有理化1. 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。2. 有理化因式两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：单项二次根式：利用来确定，如：，与等分别互为有理化因式；两项二次根式：利用平方差公式来确定，如：与，等分别互为有理化因式。3. 分母有理化的方法与步骤根号内含有分数或分式根号内分子、分母同乘以能使分母开方的数中根号内分子分母同乘以2；中根号内分子分母同乘以3，而不是27分母中含有根式分子分母同乘以能使分母化为整式的根式中分子分母同乘以，中分子分母同乘以而不是2分母中含有根式的和（
2、差）分子分母同乘以有理化因式能构成平方差的形式二、两种特殊有理化方法1. 分解约简法：可以利用因式分解进行有理化。分母有理化：；2. 配方约简法：利用完全平方公式配方，再和分母约分。分母有理化： 。总结：先将分子、分母化成最简二次根式；将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；最后结果必须化成最简二次根式或有理式。例题1 =（ ）A. 2010 B. 2011 C. 2012 D. 2013解析：此题的实质是分母有理化，合并同类二次根式后，再按平方差公式计算。答案：解：=20131=2012。故选C。点拨：考查二次根式的分母有理化。主要利用了平方差公式，所以一般来说，二次根式的有理
3、化因式是符合平方差公式特点的式子。例题2 与最接近的整数是（ ）A. 5 B. 6 C. 7 D. 8解析：将原式进行分母有理化，再进行估算。答案：解：原式=5.828。与6最接近。故选B。点拨：考查了无理数的估算，先利用完全平方公式将分母化简，再进行分母有理化是解题的关键。有理化在方程中的应用示例 已知2，则+的值为（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6解析：根据题意，2，变形为2+，两边平方得x2=12，代入求值即可。答案：2，2+，两边平方得25x2=4+15x2+4，即4=6，2=3，两边再平方得4（15x2）=9，化简，得x2=12，把x2=12代入+，得+=+=+=5，故选C
4、。（答题时间：45分钟）一、选择题1. 化简时，甲的解法是：=，乙的解法是：= =，以下判断正确的是（ ）A. 甲的解法正确，乙的解法不正确B. 甲的解法不正确，乙的解法正确C. 甲、乙的解法都正确D. 甲、乙的解法都不正确2. 已知：a，b，则 的值等于（ ）A. 5 B. 6 C. 7 D. 8*3. 若a=+，则a的值所在范围为（ ）A. a0 B. 0a1 C. 1a2 D. a2*4. +=2的解是（ ）A. B. C. D. *5. 设r4，a=，b=，c=，则下列各式一定成立的是（ ）A. abc B. bca C. cab D. cba 二、填空题*6. 若a= ，则a52a4
5、1996a3的值为 。*7. 若x2x2=0，则 的值等于 。*8. 设M= ，N=12+34+56+20122013，则= 。*9. 方程+=的解是x= 。三、解答题*10. 已知；x，y。（1）求证：xy；（2）求的整数部分。*11. （1）已知9+与9的小数部分分别是a和b，求ab3a+4b+8的值；（2）设x，y，n为自然数，如果2x2+197xy+2y2=1993成立，求n。*12. 我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积。用现代式子表示即为：S（其中a、b、c为三角形的三边长，S为面积）。而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公
6、式：S=（其中p=）。（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式和公式，计算该三角形的面积S；（2）你能否由秦九韶公式推导出海伦公式？请试试。1. C 解析：甲的做法是将分母有理化，去分母；乙的做法是将分子转化为平方差公式，然后约分去分母，均正确。故本题选C。2. B 解析：a= b= =6。故选B。3. B 解析：=3+=3+2，=+=2+， =+，=+，a=3+22+=3，又23，0a1。故选B。4. A 解析：+=2，+ =2，即5+3xx+（7+xx）=2，解得：x=，故选A。5. D 解析：取r=4，则a=，b=，c=，cba。故选D。6. 0 解析：a=+1，a52
7、a41996a3=a3（a1）21997a3=1997a31997a3=0。故答案为0。7. 解析：因为x2x2=0，所以x2x=2，则原式=。8. 解析：将M分母有理化可得M=（）=1。N=12+34+56+19931994=（12）+（34）+（56）+（20122013）=1=，=。故答案为。9. 2011 解析：原方程化为：+=，通分得=，解得x=2011。故答案为2011。10. （1）证明：=（）（）=1+，1+1，xy；（2）解：因为的整数部分为3，的整数部分也为3，所以由（1）得=1+的整数部分是1。11. 解：，129+13，得9+=12+a，a=3，同理可得b=4，把a、b代入ab3a+4b+8，得（3）（4）3（3）+4（4）+8=8，故ab3a+4b+8的值为8。（2）x+y=+=4n+2，xy=1，若2x2+197xy+2y2=1993成立，即2（x+y）2+193xy=1993成立，2（4n+2）2+193=1993，（4n+2）2=900，n0，n=7，故n的值是7。12. 解：（1）10；P=（5+7+8）=10，又S=10；（2）=）=c2（ab）2（a+b）2c2 =（c+ab）（ca+b）（a+b+c）（a+bc）=（2p2a）（2p2b）2P（2p2c）=p（pa）（pb）（pc）=。（说明：若在整个推导过程中，始终带根号运算也正确）6
