1、随机过程与排队论随机过程与排队论计算机科学与工程学院计算机科学与工程学院顾小丰顾小丰Email：2023年年4月月25日星期二日星期二2023-4-252023-4-25计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰病人以每小时病人以每小时3 3人的泊松流到达医院，假人的泊松流到达医院，假设该医院只有一个医生服务，他的服务时间服设该医院只有一个医生服务，他的服务时间服从负指数分布，并且平均服务一个顾客时间为从负指数分布，并且平均服务一个顾客时间为1515分钟。分钟。（a)a)医生空闲时间的比例？医生空闲时间的比例？（b)b)有多少病人等待看医生？有多少病人等待看医生？（c)c)病人的平均
2、等待时间？病人的平均等待时间？(d)(d)一个病人等待超过一个小时的概率？一个病人等待超过一个小时的概率？习题习题1 118182 22023-4-252023-4-25计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰解解由题设知，由题设知，3(3(人人/小时小时)，4(4(人人/小时小时)，该系统按，该系统按M/M/1/M/M/1/型处理。型处理。a)a)PP医生空闲医生空闲 PP系统空闲系统空闲 p p0 01 1 0.250.25。43b)b)平均等待对长平均等待对长2qN1 c)c)平均等待时间平均等待时间41即平均有即平均有2.252.25个病人等待看医生个病人等待看医生qW(1
3、)即病人的平均等待时间为即病人的平均等待时间为0.750.75小时，即小时，即4545分钟。分钟。2(3/4)92.2513/44 3/430.754(13/4)4 18183 32023-4-252023-4-25计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰解解(续续)d)d)PP等待超过一个小时等待超过一个小时 PWPWq q1 1 1 1PWPWq q1 1 1 1W Wq q(1)(1)e e-(1-(1-)1)431(44343 ee即病人等待超过一个小时的概率约为即病人等待超过一个小时的概率约为0.2760.276。0.2760.27618184 42023-4-25202
4、3-4-25计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰一台计算机有一台计算机有2 2个终端，假定计算一个题目个终端，假定计算一个题目的时间服从负指数分布，平均的时间服从负指数分布，平均2020分钟。假定题目分钟。假定题目是以泊松流到达，平均每小时到达是以泊松流到达，平均每小时到达5 5个。求积压个。求积压题目的概率及平均积压的题目数。题目的概率及平均积压的题目数。习题习题2 218185 52023-4-252023-4-25计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰解解由题设知，由题设知，5(5(题题/小时小时)，3(3(题题/小时小时)，c c2 2，该系统按该系统按M
5、/M/c/M/M/c/型处理。型处理。PP积压题目积压题目 PP题目题目到达时需要等待到达时需要等待 c55,36 平均积压的题目数平均积压的题目数jcc 110j 0cpj!c!(c)cj0j ccpp(1)c!cqc2cNp(1)1525 9110.090931 311 j22 11j 0(5 3)2(5 3)j!2!(25 3)2(5 3)1250.7576(15 6)2!113322(5 6)(5 3)11253.7879(15 6)2!1133 18186 62023-4-252023-4-25计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰考虑一个考虑一个M/M/1/K排队系统
6、，排队系统，10人人/小小时，时，30人人/小时，小时，K2。管理者想改进服务。管理者想改进服务机构，提出了两个方案。方案机构，提出了两个方案。方案I：增加等待空：增加等待空间，间，K3；方案；方案II：提高服务率，：提高服务率，40人人/小小时。假设在单位时间内单位服务成本时。假设在单位时间内单位服务成本5元和每元和每服务一个顾客收益服务一个顾客收益8元不变得情况下，哪个方元不变得情况下，哪个方案获得更大的收益？当案获得更大的收益？当30人人/小时，又有什小时，又有什么结果？么结果？习题习题3 318187 72023-4-252023-4-25计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院
7、顾小丰解解单位时间内的纯收入为单位时间内的纯收入为 5)1)1(1(85)1(81kKKpf方案方案I I(1010人人/小时，小时，3030人人/小时，小时，K K3 3)：72305)31(1)31)(311(1(10843 f方案方案IIII(1010人人/小时，小时，4040人人/小时，小时，K K2 2):):8.123405)41(1)41)(411(1(10832 f故故方案方案I I比比方案方案IIII好。好。18188 82023-4-252023-4-25计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰解解(续续)当当30人人/小时小时：方案方案I(30人人/小时，小时
8、，30人人/小时，小时，K3)：30305)1311(3085)1(8 Kpf方案方案II(30人人/小时，小时，40人人/小时，小时，K2):35.31405)43(1)43)(431(1(30832 f故方案故方案I比方案比方案II好。好。18189 92023-4-252023-4-25计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰某系统利用某系统利用2 2台计算机进行容错处理。台计算机进行容错处理。如果如果1 1台计算机正常工作时间服从负指数台计算机正常工作时间服从负指数分布，平均分布，平均1010天，而计算机损坏时由天，而计算机损坏时由1 1名名工程师维修，维修工程师维修，维修
9、1 1台计算机的时间是负台计算机的时间是负指数分布的，平均指数分布的，平均5 5天。求：天。求：2 2台计算机都台计算机都正常运行的概率和由于计算机损坏无法运正常运行的概率和由于计算机损坏无法运行的概率，系统中平均运行的计算机数。行的概率，系统中平均运行的计算机数。习题习题4 4181810102023-4-252023-4-25计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰解解由题设知，由题设知，1/10(台台/天天)，1/5(台台/天天)，1/2，该系统按，该系统按M/M/c/m/m型处理，型处理，c1，m2。P2台计算机都正常运行台计算机都正常运行p04.052)21()!2(!2
10、)!(!12010 iimiiiimmP计算机损坏无法运行计算机损坏无法运行p22.04.0)21()!22(!2)21()!22(!2202 p181811112023-4-252023-4-25计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰解解(续续)平均发生故障的计算机数平均发生故障的计算机数系统中平均运行的计算机数为系统中平均运行的计算机数为2-0.81.2(台台)2102ppjpNmjj 8.02.02)2.04.01(2)1(220 ppp181812122023-4-252023-4-25计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰习题习题5 5某电视台有某电视台有
11、2 2部发射机，部发射机，1 1部发射部发射1 1部备用。部备用。如果如果1 1部正常工作时间服从负指数分布，平均部正常工作时间服从负指数分布，平均9 9天，而调整维修天，而调整维修1 1部机器的是负指数分布的，平部机器的是负指数分布的，平均均3 3天。求无备用机而正常运转的概率和由于停天。求无备用机而正常运转的概率和由于停机无法发射的概率。机无法发射的概率。181813132023-4-252023-4-25计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰解解由题设知，由题设知，1/9(1/9(台台/天天)，1/3(1/3(台台/天天)，1/3，该系统按，该系统按M/M/c/m+k/m型
12、处理，型处理，c1，m1，k1。若无备用机器，即若无备用机器，即K0，化为，化为M/M/c/m/m型系统：型系统：P无备用机而正常运转无备用机而正常运转p075.043)31()!1(!1)!(!11010 iimiiiimm181814142023-4-252023-4-25计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰解解(续续)对对M/M/1/M/M/1/1+1/11+1/1型系统型系统11100)!(1!1!mKKiiciKKciiciiciiiKimccmmcmcimpP由于停机无法发射由于停机无法发射p21111 11 1iii 1i 0i 1111 1!11()()i!31
13、!1(1i1)!3 122 11 1!191()0.0769(121)!11!31313 121191()0.69233313 181815152023-4-252023-4-25计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰在一商店，顾客以泊松流到达收银台，在一商店，顾客以泊松流到达收银台，平均平均5分钟到达分钟到达9个顾客；而服务员每个顾客；而服务员每5分钟能分钟能服务服务10个顾客，服务时间服从指数分布。商个顾客，服务时间服从指数分布。商店经理希望将顾客等待时间不超过店经理希望将顾客等待时间不超过1分钟。他分钟。他有两个方案：有两个方案：1)增加一名服务同样效率的服务员增加一名服务
14、同样效率的服务员,即提高即提高服务率一倍。服务率一倍。2)增加一新柜台。增加一新柜台。试分析选择那种方案？试分析选择那种方案？习题习题6 6181816162023-4-252023-4-25计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰解解方案方案1 1 9/5(9/5(个个/分钟分钟)，4(4(个个/分钟分钟),),9/209/201 1，该系统按，该系统按M/M/1/M/M/1/型处理，平均等型处理，平均等待时间待时间1818171720.0449)2091(4209)1(Wq (分钟分钟)2023-4-252023-4-25计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰解解(续续)方案方案2 2 9/5(9/5(个个/分钟分钟)，2(2(个个/分钟分钟)，9/10，该系统按，该系统按M/M/c/型处理，型处理，c2，c9/201，181818180ccp!c1p c2ccqp)1(W (分钟分钟)平均等待时间平均等待时间2911)1092(2)109(21091)c(!cc!jp1211c0jcj0 13.070188915800891)2091(592092 58008912911109212
