1、第十二章 轴对称 12.1.1轴对称（1）学习目的 1通过展示轴对称图形的图片，使学生初步认识轴对称图形； 2通过试验，归纳出轴对称图形概念，能用概念判断一个图形是否是轴对称图形； 3培养学生的动手试验能力、归纳能力和语言表述能力。学习过程：一、探究活动（一）1.动手做剪纸：（1）将一张长方形的纸对折；（2）在纸上画出一个你喜欢的图形； （3）沿线条剪下；（4）把纸展开；2.观察下面的图形，它们有什么共同特征? 3.结论：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做 ，这条直线就是它的 。这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。二：尝试应用（一）1.先想后做：
2、下面图形是轴对称图形吗？如果是，请画出它们的对称轴。等腰三角形 等腰梯形 等边三角形 平行四边形 正方形 圆 2.想一想下列英文字母中，那些是轴对称图形？3.猜字游戏（抢答）在艺术字中，有些汉字是轴对称的，猜猜下列是哪些字的一半？三：探究活动（二）1.（1）.看下面两组图形，和刚才的蝴蝶，枫叶等比较，有什么不同？ 第一组 第二组 （2）思考: 这两幅图有什么共同点？2.结论：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形 这条直线叫做 ，折叠后重合的点是对应点，叫做 。四：尝试应用（二）1.下面给出的每幅图形中的两个图案是轴对称的吗？如果是，试着找出它们的对称轴，
3、并找出一对对称点。 2. 说出图中点A、B、C、D、E的对称点。CFKIHGGDBEA3.思考：（1）成轴对称的两个图形全等吗?（2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等吗？这两个图形对称吗？（3）把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个什么图形？4. 比较归纳。轴对称图形两个图形成轴对称区别 个图形 个图形联系1.沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够 2.都有 3.如果把两个成轴对称的图形看成一个图形，那么这个图形就是 如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条直线 五：链接中考1.下图是由小正方形组成的“L”形图。请你在下图中添画一个小正方形
4、，使它成为轴对称图形。2.图中有阴影的三角形与哪些三角形成轴对称？整个图形是轴对称图形吗？它共有几条对称轴？六：智力测验:1. 2.一辆汽车的车牌在水中的倒影如下图所示，你能确定该车的车牌号码吗？七：课堂小结：本节课你有什么收获？ 12.1.2轴对称（2）学习目标：1探索轴对称图形性质的过程，进一步体验轴对称的特点，发展空间观念。2探索线段垂直平分线的性质，培养自己认真探究、积极思考的能力。学习过程：一.自学导读：.如图所示，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称.二.合作探究:（一）轴对称的性质1如图，ABC和ABC关于直线MN对称，点ABC分别是点A、B、C的对称
5、点，线段AA、BB、CC与直线MN有什么关系？（1）设AA交对称轴MN于点P，将ABC和ABC沿MN折叠后，点A与A重合吗？于是有PA ，MPA 度（2）对于其他的对应点，如点B、B，C、C也有类似的情况吗？ （3）那么MN与线段AA，BB，CC的连线有什么关系呢？ 2垂直平分线的定义：经过线段 并且 这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。3轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么 是任何一对对应点所连线段的 类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。4练习：教材P32图12.15（二）线段垂直平分线的性质1探究：教材P322归纳，线段垂直平分线的性质：线段
6、垂直平分线上的 与这条线段 的距离 3思考：反过来，如果PAPB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？探究：教材P334归纳：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 上三、课堂反馈：例1 如图，已知DE是AC的垂直平分线，AB=10cm，BC=11cm，求ABD的周长？AEDCB2.ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE3cm，ABD的周长为13cm，求ABC的周长。练习：教材P34 1， 2. 3某住宅小区拟栽种12棵风景树，若想栽成6行，每行4棵，且6行树所处位置连成线后能组成精美的对称图案。请你仿照举例在下面的方框中再设计两种不同的栽树方案（不写作法）12.1.3轴对称（3）学习
7、目标：1依据轴对称的性质找出两个图形成轴对称及轴对称图形的对称轴。2作出轴对称图形的对称轴，即线段垂直平分线的尺规作图。学习过程：一、自学导读:1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对 所连 的 线。2.学习新知（一）思考：教材P34思考归纳：作轴对称图形的对称轴的方法是：找到一对 ，作出连接它们的 的 线，就可以得到这两个图形的对称轴（二）应用1.如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗?2.已知线段AB，作出它的垂直平分线CD，并拼出线段的中点O.3.如图，在五角星上作出一条对称轴三、巩固提高：练习：教材P35第1、2、3题4如图所示在方格纸上画出的一棵树的一
8、半，请你以树干为对称轴画出树的另一半。四、当堂达标：1.下列图形中，是轴对称图形的为( )A B C D2.剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀遗产，在民间广泛流传，下面的一组剪纸作品，属于轴对称图形的是（）3.下列说法中，正确的个数是（）（1）轴对称图形只有一条对称轴，（2）轴对称图形的对称轴是一条线段，（3）两个图形成轴对称，这两个图形是全等图形，（4）全等的两个图形一定成轴对称，（5）轴对称图形是指一个图形，而轴对称是指两个图形而言。（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个4.下列图形中，不是轴对称图形的是（） A. 两条相交直线 B. 线段C.有公共端点的两条相等线段 D.有公共端点的两条不
9、相等线段5.到三角形的三个顶点距离相等的点是（）A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点C.三条高的交点 D.三条边的垂直平分线的交点6.在ABC中，AB=AC，BC=5cm，作AB的中垂线交另一腰AC于D，连结BD，如果BCD的周长是17cm，则腰长为（ ） A12cm B 6cm C 7 cm D 5 cm7.如果ABC与A/B/C/关于直线l对称，且A50，B/70，那么C/ _。8.成轴对称的两个图形的对应线段_，对应角_。9.如果两个图形关于某直线对称，那么连结_的线段被_垂直平分10如图，MON内有一点P ，PP1、PP2分别被OM、ON垂直平分，P1P2与OM、ON分别交于点A
10、、B. 若P1P2=10厘米，则PAB的周长为（ ）A 6厘米 B 8厘米 C 10厘米 D 12厘米11已知如图，四边形ABCD关于直线MN对称，其中A，C是对称点，则直线MN与线段AC的关系是_. 12.2.1作轴对称图形学习目标：1能够作轴对称图形。 2能够用轴对称的知识解决相应的数学问题。学习过程：一、学习新知：1.探究轴对称前后两个图形的性质 阅读教材P39的四辐图操作：自己动手在纸上画一个图案，将这张纸折叠，描图，再打开纸，看看你得到了什么？改变折痕的位置再试一次，你又得到了什么？归纳：由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形，这个图形与原图的 、 完全相同。新图形上一
11、个点，都是原图形上的某一点关于直线l的 点。连接任意一对对应点的线段被对称轴 2.作轴对称图形如图，已知ABC和直线l，你能作出ABC关于直线l对称的图形。二、巩固提高1把下列图形补成关于L对称的图形。2. 如图，已知ABC和直线l，你能作出ABC关于直线l对称的图形。lCBABCAl 实际应用：1.要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？2.用四块如图所示的正方形瓷砖拼成一个新的正方形，使拼成的图案是一个轴对称图形。请你在图、图、图中各画一种拼法(要求三种拼法各不相同)。图图图图12.2.2用坐标表示轴对称学习目标：1.能够经过探索
12、利用坐标来表示轴对称。2.掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标特点。学习过程：一、自学导读:已知ABC，求作ABC，使它与ABC关于直线l成轴对称（一）关于x轴、y轴对称的点的坐标特点1.自主学习：阅读教材P43，并完成书上探索研究并归纳：2.归纳：点（x，y）关于x轴对称的点的作标是 ；点（x，y）关于y轴对称的点的作标是 3.练习：教材P44练习第1题、第2题（完成于书上）（二）应用：例1如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（5，1），B（2，1），C（2，5），D（5，4），分别作出四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形。三、巩固提高1分别写出下列各点关于x轴和y轴对称的点的坐标（3
13、，6）（-7，9）（-3，-5）（6，-1）（0，10）关于x轴对称的点关于y轴对称的点2.点A（3，-12），B（3，12）关于_轴对称，点C（-5.4，-10），D（5.4，-10）关于_轴对称。3已知点（2，x）和点（y,3）关于y轴对称，则（x+y）2011= 。4. 已知点A（2x+y，7）和点B（4，4yx）关于x轴对称，求x，y的值12O1-1ABC5（1）请画出关于轴对称的（其中分别是的对应点，不写画法）；（2）直接写出三点的坐标：（3）ABC的面积为 。CBAx=16.已知ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，4），B（3，2），C（2，1）， 作出ABC关于直线x=1对称的图
14、形； 写出三点的坐标： 如果点P（2，y）和Q（x，3）关于直线x=1对称，则x= ，y= 。12.3.1等腰三角形（1）学习目标：1了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质。2运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题。学习过程：一、知识回顾1下列图形不一定是轴对称图形的是（ ） A 圆 B长方形 C线段 D三角形2怎样的三角形是轴对称图形？答： 3有两边相等的三角形叫 ，相等的两边叫 ，另一边叫 两腰的夹角叫 ，腰和底边的夹角叫 4如图，在ABC中，AB=AC，标出各部分名称二、学习新知（一）等腰三角形的性质1探究：教材P49把活动中剪出的ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段和角，填入下
15、表重合的线段重合的角2归纳等腰三角形的性质：性质1： 等腰三角形的两个 相等（简写成“ ”）性质2 ：等腰三角形 、 、 互相重合。（简写成“ ”）CBA3证明以上性质：如图，已知在ABC中，AB=AC，求证：B=C.（二）应用例1在ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求ABC各角的度数CBAD2练习：教材51练习第1题，第2题（完成于书上）三、巩固提高1. 下列说法正确的是（ ） A.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合； B.顶角相等的两个等腰三角形全等C.等腰三角形一边不可以是另一边的二倍； D.等腰三角形的两个底角相等2. 中，有一点既在的对称轴上，又在对称轴上，
16、则该点一定是（ ）A. 点B. 中点C. 中点D. 中点3. 已知中，且，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.6.（1）等腰三角形的一个角是110，它的另外两个角的度数是 （2）等腰三角形的一个角是80，它的另外两个角的度数是 7如图，在ABC中，AB=AD=DC，BAD=26，求B和C的度数8如图，点D，E在ABC的边BC上，ABAC，ADAE，求证BDCE12.3.1等腰三角形（2）学习目标：1理解等腰三角形的判定方法及应用。2通过对等腰三角形的判定方法的探索，体会探索学习的乐趣。学习过程：一、知识回顾1等腰三角形的两边长分别为6，8，则周长为 2等腰三角形的周长为14，其中一边长为
17、6，则另两边分别为 3等腰三角形的一个角为70，则另外两个角的度数是 4等腰三角形的一个角为120，则另外两个角的度数是 5.如图，在ABC中，AB=AC，（1）若AD平分BAC，那么 、 （2）若BDCD，那么 、 （3）若ADBC,那么 、 二、学习新知（一）等腰三角形的判定方法1.思考：（1）如图，位于在海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得A=B如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？（2）我们把这个问题一般化，在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？已知：在ABO中，A=B, 求证：AO=AO2.
18、等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的 也相等（简写成 ）（二）应用1.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形2.练习：教材P53练习第1题，（完成于书上）3.如图，AC和BD相交于点O，且ABDC，OA=OB，求证：OC=OD三、巩固提高：1、如图，ADBC，BD平分ABC 求证：AB=AD2.如图，AB，CEDA，CE交AB于E，求证CEB是等腰三角形3.思考题： (l)如图，在ABC中，ABC、ACB的平分线相交于点F，过F作DE/BC，交AB于点D，交AC于E问图中哪些三角形是等腰三角形？(2)上题中，若AB=10，
19、AC=12，求ADE的周长？FEDCBA12.3.2等边三角形（1）学习目标：1解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法2能够用等边三角形的知识解决相应的数学问题学习过程：一、知识回顾1等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的 相等；（2）等腰三角形 、 、 互相重合；2等腰三角形中有一种特殊的等腰三角形-三条边都 的三角形，这样的三角形叫做等边三角形。二、学习新知（一）等边三角形的性质和判定方法1思考：（1）把等腰三角形的性质（等腰三角形的两个底角相等）用到等边三角形，能得到什么结论？（2）一个三角形满足什么条件就是等边三角形？（3）你认为有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形
20、吗？2归纳：（1）等边三角形的性质：等边三角形的 （2）等边三角形的判定： （二）应用1如图，ABC是等边三角形，DEBC，交AB，AC于D，E。求证ADE是等边三角形。2探究：等边三角形三条中线相交于一点。画出图形，找出图中所有的全等三角形，并证明它们全等。3练习：教材P54练习第1、2题（完成于书上）三、巩固提高例1 已知：如图，ABC是等边三角形， D，E分别是AB、BC上两点，且AD=BE。FEDCBA求证：AE=CD。2如图，ABD，AEC都是等边三角形，求证：BEDC。3如图，ABAC，A40，AB的垂直平分线MN交AC于点D，求DBC的度数。12.3.2等边三角形（2）学习目标：
21、1证明直角三角形中有一个角为30的性质 2有一个角为30的直角三角形的性质的简单应用学习过程：一、自学导读:1等边三角形的性质： 2等边三角形的判定： 3、学习新知：（一）探究：教材P55有一个角为30的直角三角形的性质1问题：用两个全等的含30角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由2由此你能想到，在直角三角形中，30角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？已知：如图，在RtABC中，C=90，BAC=30求证：BC=AB 3归纳：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么 （二）应用：例1右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点
22、，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，A=30，立柱BD、DE要多长？ 2.已知：如图，在ABC中，AB=AC=20，ABC=ACB=15，求ABC的面积？CBA 练习：教材P56练习（完成于书上）三、巩固提高：1.已知：如图，ABC中，ACB=90，CD是高，A=30求证：BD=AB 2已知：在RtABC中，A=90，ABC=2C，BD是ABC的平分线求证：CD=2ADECBAF3在中，BAC120,的垂直平分线交于点，交于点求证：第十二章 轴对称训练题一AEDCB1，如图，已知DE是AC的垂直平分线，AB=10cm，BC=11cm，求ABD的周长？2.，ABC中，DE是AC的垂直
23、平分线，AE3cm，ABD的周长为13cm，求ABC的周长。3，把下列图形补成关于L对称的图形。4.如图，已知ABC和直线l，你能作出ABC关于直线l对称的图形。lCBABCAl 5，.要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？6，证明以上性质：如图，已知在ABC中，AB=AC，求证：B=C.CBA第十二章 轴对称训练题二1，在ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求ABC各角的度数CBAD2，如图，在ABC中，AB=AD=DC，BAD=26，求B和C的度数3，如图，点D，E在ABC的边BC上，ABAC，ADAE，求证
24、BDCE4，求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形5，如图，AC和BD相交于点O，且ABDC，OA=OB，求证：OC=OD6，如图，ADBC，BD平分ABC 求证：AB=AD第十二章 轴对称训练题三1，如图，AB，CEDA，CE交AB于E，求证CEB是等腰三角形2， (l)如图，在ABC中，ABC、ACB的平分线相交于点F，过F作DE/BC，交AB于点D，交AC于E问图中哪些三角形是等腰三角形？(2)上题中，若AB=10，AC=12，求ADE的周长？FEDCBA3，如图，ABC是等边三角形，DEBC，交AB，AC于D，E。求证ADE是等边三角形。4，等边
25、三角形三条中线相交于一点。画出图形，找出图中所有的全等三角形，并证明它们全等。5，已知：如图，ABC是等边三角形， D，E分别是AB、BC上两点，且AD=BE。求证：AE=CD。FEDCBA6，如图，ABD，AEC都是等边三角形，求证：BEDC。第十二章 轴对称训练题四1，如图，ABAC，A40，AB的垂直平分线MN交AC于点D，求DBC的度数。2，右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，A=30，立柱BD、DE要多长？3，已知：如图，在ABC中，AB=AC=20，ABC=ACB=15，求ABC的面积？CBA4，.已知：如图，ABC中，AC
26、B=90，CD是高，A=30求证：BD=AB5，已知：在RtABC中，A=90，ABC=2C，BD是ABC的平分线求证：CD=2AD6，在中，BAC120,的垂直平分线交于点，交于点求证：ECBAF轴对称测试题一、选择题1. 已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，则它的周长为（） A 9 B 12 C 9或12 D 52. 下列判断中错误的是（ ）A有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B有两边和一角对应相等的两个三角形全等C有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D有一边对应相等的两个等边三角形全等3. 的角平分线AD交BC于点D，则点D到AB的距离是（） A1 B2 C3 D4CO
27、DPBA4如图，在等边中，点在上，且，点是上一动点，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段要使点恰好落在上，则的长是（ ）ABCDE A4B5C6D85. 如图，是等腰直角三角形，若，垂足分别是则图中全等的三角形共有（ ） A2对B3对C4对D5对6. 如图，已知，增加下列条件：；其中能使的条件有（）AFCDHBMEG个个个个7. 小明将两个全等且有一个角为的直角三角形拼成如图所示的图形，其中两条较长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（）ABCDE43218. 如图，在ABC中，ACB=100，AC=AE，BC=BD，则DCE的度数为（）A20 B25 C30 D40 9. 如图，中，垂
28、直平分，则的度数为（） 二、填空题10. 如图，和是分别沿着边翻折形成的，若，则的度数是 CDAEBBDAEC11. 如图，在等边中，分别是上的点，且，则度12. 如图，在中，点是上一点，则 度13. 等腰三角形的一个底角为，则顶角的度数是 14. 已知在和中，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是_15. 如图，在中，平分，那么点到直线的距离是cm16. 如图，在中，分别是，的中点，为上的点，连结，若，则图中阴影部分的面积为三、计算题17. 如图，在，求的度数四、证明题18. 已知：如图，是和的平分线，求证：19. 如图，在等腰三角形中，是边上的中线，的平分线，交于点，垂足为求证：20. 如
29、图所示，在中，分别是和上的一点，与交于点，给出下列四个条件：；（1）上述四个条件中，哪两个条件可以判定是等腰三角形（用序号写出所有的情形）；（2）选择（1）小题中的一种情形，证明是等腰三角形ABC12O21. 已知：如图，平分，求证：是等腰三角形五、开放题22. （8分）如图，在ABC 中，AB=AC，D是BC边上的一点， DEAB，DFAC，垂足分别为E、F，添加一个条件，使DE= DF， 并说明理由解： 需添加条件是 理由是：六、猜想、探究题23. 如图1，已知中，把一块含角的直角三角板的直角顶点放在的中点上（直角三角板的短直角边为，长直角边为），将直角三角板绕点按逆时针方向旋转（1）在图
30、1中，交于，交于证明；在这一旋转过程中，直角三角板与的重叠部分为四边形，请说明四边形的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；（2）继续旋转至如图2的位置，延长交于，延长交于，是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；图1图2图3（3）继续旋转至如图3的位置，延长交于，延长交于，是否仍然成立？请写出结论，不用证明24. （1）已知中，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）ABC备用图ABC备用图ABC备用图（2）已知中，是其最小的内角，过顶点的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求与之间的关系一、选择题1. B2. B3. B4. C5. A6. 7 8. D9. 二、填空题10.；11. ； 12. ；13. 120；14. （或，或）；15 316. 30三、计算题17. 解： 四、证明题18. 证明：因为是和的平分线，所以 ，所以在和中， 所以所以
