1、中考中的函数中考中的函数应用题应用题仁爱中学 林敏平 函数可谓初中数学的函数可谓初中数学的“集大成集大成者者”，它几乎涉及初中数学的所有知，它几乎涉及初中数学的所有知识点，函数思想在各级各类题中均有识点，函数思想在各级各类题中均有体现，因此成为历年中考的热点，成体现，因此成为历年中考的热点，成为中考的重中之重，是学生学习的难为中考的重中之重，是学生学习的难中之难。中之难。所谓图表信息题，是指将已知信息用所谓图表信息题，是指将已知信息用图象或表格形式给出的一类试题。它要求学图象或表格形式给出的一类试题。它要求学生从所提供的变量间繁杂的表象中看到问题生从所提供的变量间繁杂的表象中看到问题的本质的本
2、质,从所给的图象的形状、位置、发展从所给的图象的形状、位置、发展变化趋势等诸多信息中获得变量间的内在关变化趋势等诸多信息中获得变量间的内在关系，经过分析、处理建立数学模型，然后解系，经过分析、处理建立数学模型，然后解决这个数学问题，进而解答原问题。决这个数学问题，进而解答原问题。例1：请研究二次函数y=x2+4x+3的图象及其性质，并尽可能多地写出有关结论。解（1）图象的开口方向:（2）顶点坐标：（3）对称轴：（4）图象与x轴的交点为：（5）图象与y轴的交点为：（6）图象与y轴的交点关于 对称轴的对称点坐标为：（7）最大值或最小值：（8）y的正负性：（9）图象的平移：（10）图象在x轴上截得的
3、线段长向上向上（-2，-1）直线x=-2（-3，0），（-1，0）（0，3）（-4，3）当x=-2时，y最小值=-1；当x=-3或-1时，y=0；当-3x-1时y-1或x0抛物线y=x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到抛物线y=x2+4x+3 为2（11）对称抛物线：抛物线y=x2+4x+3关于x轴对称的抛物线为y=-（x+3）（x+1）next例3、某开发商对去年市场上一种商品销售数量及其销售某开发商对去年市场上一种商品销售数量及其销售利润情况进行了调查，发现：利润情况进行了调查，发现：销售数量销售数量 （万件）与时间（万件）与时间 （月份）具有满足下表的一次函数关（月份）具有满足下
4、表的一次函数关系系：1yx每一件的销售利润每一件的销售利润 （元）与时间（元）与时间 （月份）具有如图所示的关系：（月份）具有如图所示的关系：2yx2.81.91.81.7销售数量 （万件）12321时间 （月份）1yx问题问题1、在三月份，销售这种商品可、在三月份，销售这种商品可获利润多少元？获利润多少元？2、哪一个月的销售利润最大？、哪一个月的销售利润最大？请说明理由？请说明理由？解：1 1、从图象上可知：、从图象上可知：x=3 x=3 时，时，y=7y=7即即3 3月份每件销售为月份每件销售为 7 7 元元在在3 3月份销售这种商品可获利润为月份销售这种商品可获利润为 7 71.9=13
5、.31.9=13.3（万元）（万元）2、6.11.08.1,27.1,1,111111xyyxyxbxky得代入将8316,67,3,222222xyyxyxbxky得代入将。，xxxxxxyy个月销售的利润最大即第当441520043015641543018316.11.02221 例4、某果品公司急需将一批不易存放的水果从某果品公司急需将一批不易存放的水果从A市运到市运到B市销售。市销售。现有三家运输公司可供选择，这三家公司提供的信息如下：现有三家运输公司可供选择，这三家公司提供的信息如下：运输单位运输速度（元/Km）运输费用（元/Km）包装与装卸时间（h）包装与装卸费用（元）甲公司606
6、41500乙公司50821000丙公司100103700解下列问题：解下列问题：1、若乙、丙两家公司的包装与装卸及运输费用总和恰好是甲、若乙、丙两家公司的包装与装卸及运输费用总和恰好是甲公司的两倍，求公司的两倍，求A、B两市的距离（精确到个位）；两市的距离（精确到个位）；2、如果、如果A、B两市的距离为两市的距离为s km，且这批水果在包装与装卸以，且这批水果在包装与装卸以及运输过程中的损耗为及运输过程中的损耗为300元元/h，那么要使果品公司支付的总费，那么要使果品公司支付的总费用（包装与装卸费用、运输费用及损耗三项之和）最小，应选择用（包装与装卸费用、运输费用及损耗三项之和）最小，应选择哪
7、家运输公司？哪家运输公司？某果品公司急需将一批不易存放的水果从某果品公司急需将一批不易存放的水果从A市运到市运到B市销售。现有三家运输公司市销售。现有三家运输公司可供选择，这三家公司提供的信息如下：可供选择，这三家公司提供的信息如下：运输单位运输速度（元/Km）运输费用（元/Km）包装与装卸时间（h）包装与装卸费用（元）甲公司60641500乙公司50821000丙公司100103700 1、若乙、丙两家公司的包装与装卸及运输费用总和恰好是甲、若乙、丙两家公司的包装与装卸及运输费用总和恰好是甲公司的两倍，求公司的两倍，求A、B两市的距离（精确到个位）；两市的距离（精确到个位）；解：设、两市的距
8、离为解：设、两市的距离为 x cm，则三家运输公司包装与装，则三家运输公司包装与装卸及运输费用分别为：卸及运输费用分别为：甲公司（甲公司（1500+6x）元，乙公司（）元，乙公司（1000+8x）元，丙公）元，丙公司（司（700+10 x）元。依据题意，得：）元。依据题意，得：（1000+8x）（）（700+10 x）2（1500+6x）解得解得x 217(km)答：、两市的距离约为答：、两市的距离约为 217 km。运输单位运输速度（元/Km）运输费用（元/Km）包装与装卸时间（h）包装与装卸费用（元）甲公司60641500乙公司50821000丙公司100103700 2、如果A、B两市的
9、距离为s km，且这批水果在包装与装卸以及运输过程中的损耗为300元/h，那么要使果品公司支付的总费用（包装与装卸费用、运输费用及损耗三项之和）最小，应选择哪家运输公司？解：设选择三家运输公司所需的总费用分别为、，依题意，得：1y2y3y270011300604615001sssy160014300502810002sssy1600133001003107003sssy的大小与只要比较排除恒成立31,232,0yyyyys1100231syy；yyyykms此时选丙公司较好又时当,)(5503231；yyykms都可此时选甲公司或丙公司时当,)(550132。yyykms此时选甲公司较好时当,
10、)(550132例2 某气象研究中心观测一场沙尘暴从发生到结某气象研究中心观测一场沙尘暴从发生到结束的全过程，开始时风速平均每小时增加束的全过程，开始时风速平均每小时增加2千米千米/时，时，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加小时增加4千米千米/时，一段时间，风速保持不变，当时，一段时间，风速保持不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时沙尘暴遇到绿色植被区时，其风速平均每小时减少，其风速平均每小时减少1千米千米/时，最终停止，结合风速时，最终停止，结合风速y与时间与时间x的图象如图，的图象如图，回答下列问题：回答下列问题：（1）在）在y轴轴（
11、）内填）内填入相应的数值；入相应的数值；例 5y(千米千米/时）时）O41025（）x（小时）（小时）（）832（3）求出当）求出当x25时，风速时，风速y(千米千米/时）与时间时）与时间 x（小时）之间的函数关系式。（小时）之间的函数关系式。（2）沙尘暴从发生到结束，共经过了多少小时？）沙尘暴从发生到结束，共经过了多少小时？解：（解：（2）由题意得：）由题意得：832y(千米千米/时）时）O41025（）x（时（时（）ABCD（3）设解析式为）设解析式为y=kx+b图象过图象过(25,32)，(57,0)，则有：，则有：(57,0)(25,32)25k+b=3257k+b=0y=-x+57(
12、25x57)k=-1,b=57321=32（小时）（小时）25+32=57（小时）（小时）沙尘暴从发生到结沙尘暴从发生到结束，共经过束，共经过57小时小时例例6观察甲乙两图，回答下列问题：观察甲乙两图，回答下列问题：两图中的两图中的_图比较符合图比较符合龟兔赛跑龟兔赛跑的传统寓的传统寓言故事所描绘的情节言故事所描绘的情节.甲甲主人公主人公(龟或兔龟或兔)到达时到达时间间(分分)最快速最快速度度(米米/分分)平均速平均速度度(米米/分分)实线实线虚线虚线根据根据中图象填表中图象填表:7487484035407.5兔兔龟龟 甲甲0 050501001001501502002002502503003
13、000 05 51010151520202525303035354040S(米米)t（分）（分）S(米米)0 050501001001501502002002502503003000 05 51010151520202525303035354040 乙乙t（分）（分）(3)根据根据中图象求中图象求:龟兔赛跑过程中的函龟兔赛跑过程中的函数解析式数解析式(注明各函数自变量的取值范围注明各函数自变量的取值范围).乌龟经过多长时间追上兔子乌龟经过多长时间追上兔子,追及地距起追及地距起点有多远路程点有多远路程?甲图 s龟龟=t(0t35)760s兔兔=200(5t35)40t(0t5)20t-500(3
14、5t40)追及地距起点追及地距起点200米米.760结合图象结合图象,由由 t=200370得得t=370即乌龟用即乌龟用分追上兔子分追上兔子 根据另一图根据另一图,自编一则新的自编一则新的“龟兔赛跑龟兔赛跑”的的寓言故事寓言故事,要求如下要求如下:用简洁的语言概括大意用简洁的语言概括大意,不能超过不能超过200字字.图中能确定的数值图中能确定的数值,在故事叙述中不能少在故事叙述中不能少于于3个个,且分别涉及时间且分别涉及时间,路程和速度路程和速度.乙图 0 050501001001501502002002502503003000 05 5101015152020252530303535404
15、0S(米米)t（分）（分）例3 例 7 某校举行趣味运动会，甲，乙两名同学同某校举行趣味运动会，甲，乙两名同学同时从时从A地到地到B地，甲先骑自行车到地，甲先骑自行车到B地后跑步回地后跑步回A地，乙地，乙则是先跑步到则是先跑步到B地后骑自行车回地后骑自行车回A地（骑车速度快于跑地（骑车速度快于跑步速度），最后两人恰好同时回到步速度），最后两人恰好同时回到A。已知甲骑自行车。已知甲骑自行车比乙骑自行车快。若学生离开比乙骑自行车快。若学生离开A地的距离地的距离S与所用时间与所用时间t的函数关系用图象表示如下（实线表示甲的图象，虚的函数关系用图象表示如下（实线表示甲的图象，虚线表示乙的图象）则正确的
16、是（线表示乙的图象）则正确的是（）SOt(A)SOt(B)SOt(C)SOt(D)B(1)从从 上判定函数类型，上判定函数类型，(2)从从 上得出函数解析式上得出函数解析式,(3)通过通过方程方程,不等式不等式,函数函数等数学模型，转化等数学模型，转化实际问题实际问题为为数学数学问题问题，进而解答原问题，进而解答原问题小结：解答图象信息题主要运用小结：解答图象信息题主要运用数形结合数形结合思想思想,化化图像信息图像信息为为数数字信息字信息.主要步骤如下主要步骤如下:图象形状图象形状点的坐标点的坐标二二、应用性问题应用性问题实际问题抽象转化数学问题数学问题运用数学知识问题的解问题的解返回解释检验
17、【例【例1】(2003年年湖北黄冈市湖北黄冈市)在全国抗击在全国抗击“非典非典”的的斗争中，黄城研究所的医学专家们经过日夜奋战，终斗争中，黄城研究所的医学专家们经过日夜奋战，终于研制出一种治疗非典型肺炎的抗生素于研制出一种治疗非典型肺炎的抗生素.据临床观察：据临床观察：如果成人按规定的剂量注射这种抗生素，注射药液后如果成人按规定的剂量注射这种抗生素，注射药液后每毫升血液中的含药量每毫升血液中的含药量y(微克微克)与时间与时间t(小时小时)之间的之间的关系近似地满足图所示的折线关系近似地满足图所示的折线.(1)写出注射药液后每毫升血液中含药量写出注射药液后每毫升血液中含药量y与时间与时间t之间的
18、函数关系式及自变量的取值范围之间的函数关系式及自变量的取值范围.(2)据临床观察：每毫升血液中含药量不少于据临床观察：每毫升血液中含药量不少于4微微克时，控制克时，控制“非典非典”病情是有效的病情是有效的.如果病人按规定的如果病人按规定的剂量注射该药液后，那么这一次注射的药液经过多长剂量注射该药液后，那么这一次注射的药液经过多长时间后控制病情开始有效时间后控制病情开始有效?这个有效时间有多长这个有效时间有多长?(3)假若某病人一天中第一次注射药液是早晨假若某病人一天中第一次注射药液是早晨6点点钟，问怎样安排此人从钟，问怎样安排此人从6：0020：00注射药液的时注射药液的时间，才能使病人的治疗
19、效果最好间，才能使病人的治疗效果最好?【分析】【分析】(1)据一次函数图象及性质，再结合图形，据一次函数图象及性质，再结合图形，利用分类思想，求出分段的函数关系式利用分类思想，求出分段的函数关系式.(2)在分段函数中分别求出在分段函数中分别求出y=4时所对应的时间值时所对应的时间值.(3)因超过因超过10小时后体内的一次注射含药量才为小时后体内的一次注射含药量才为零，故要考虑在不超过零，故要考虑在不超过10小时时间内连续注射时，小时时间内连续注射时，体内含药量应为体内含药量应为10小时内注射药液的含药量之和小时内注射药液的含药量之和的问题的问题.解：解：(1)当当0t1时，设时，设y=k1t，
20、则，则6=k11 k1=6y=6t 当当1t10时，设时，设y=k2t+b6=k2+b 0=10k2+bk2=-2/3 b=20/3y=-2/3t+20/3y=6t(0t1)-2/3t+20/3(1t10)(2)当当0t1时，令时，令y=4，即，即6t=4t=2/3.当当0t10时，含时，含y=4，即，即-2/3t+20/3=4t=4注射药液注射药液2/3小时后开始有效，有效时间长为小时后开始有效，有效时间长为4-2/3=10/3小时小时(3)设第二次注射药液的时间是在第一次注射药液设第二次注射药液的时间是在第一次注射药液t丹丹1小时后，则小时后，则-2/3t1+20/3=4t1=4(小时小时
21、)第二次注射药液的时间是：第二次注射药液的时间是：10：00.设第三次注射药液的时间是在第一次注射药液设第三次注射药液的时间是在第一次注射药液t丹丹2小时后，此时体内的含药量是第一次注射药液小时后，此时体内的含药量是第一次注射药液的含药量与第二次注射药液的含药量之和的含药量与第二次注射药液的含药量之和-2/3t2+20/3-2/3(t2-4)+20/3=4解得解得t2=9(小时小时)第三次注射药液的时间是：第三次注射药液的时间是：15：00设第四次的注射药液时间是在第一次注射药液设第四次的注射药液时间是在第一次注射药液t丹丹3小时后，此时体内不再含第一次注射药液的小时后，此时体内不再含第一次注
22、射药液的药量药量(因因t10)，体内的含药量是第二次注射药液，体内的含药量是第二次注射药液的含药量与第三次注射药液的含药量之和的含药量与第三次注射药液的含药量之和.-2/3(t3-4)+20/3-2/3(t3-9)+20/3=4t3=(小时小时)第四次注射药液的时间是：第四次注射药液的时间是：19：30.安排此人注射药液的时间为：第一次注射药液安排此人注射药液的时间为：第一次注射药液的时间是的时间是6：00，第二次注射药液的时间是，第二次注射药液的时间是10：00，第三次注射药液的时间是，第三次注射药液的时间是15：00，第四次，第四次注射药液的时间是注射药液的时间是19：30，这样安排才能使
23、病人，这样安排才能使病人的治疗效果最好的治疗效果最好.2113例例2、扬州某公司生产的新产品，它的成本是扬州某公司生产的新产品，它的成本是2元元/件，售价件，售价是是3元元/件，年销售量为件，年销售量为10万件万件,为了获得更好的效益，公司准为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。根据经验，每年投入的广告费是备拿出一定的资金做广告。根据经验，每年投入的广告费是 x(万元）时，产品的年销售量将是原销售量的万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且倍，且y是是x的二次函数，它们的关系如下表：的二次函数，它们的关系如下表：(1)求求y与与x的函数的关系式；的函数的关系式；解解：因为y是
24、x的二次函数,所以设y=ax2+bx+c,根据题意得：1.5=a+b+c1.8=4a+2b+c1.5=25a+5b+c解得110a 35b 1c2131105yxxX(万元万元)125y1.51.81.5例例2、扬州某公司生产的新产品，它的成本是扬州某公司生产的新产品，它的成本是2元元/件，售价是件，售价是3元元/件，年销售量为件，年销售量为10万件万件,为了获得更好的效益，公司准备拿为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。根据经验，每年投入的广告费是出一定的资金做广告。根据经验，每年投入的广告费是 x(万万元）时，产品的年销售量将是原销售量的元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍
25、，且倍，且y是是x的二次的二次函数，它们的关系如下表：函数，它们的关系如下表：X(万元万元)125y1.51.81.5(1)求求y与与x的函数的关系式；的函数的关系式；如果将题中如果将题中y与与x的关系表中的关系表中x5,y1.5这一组这一组数据去掉，即数据去掉，即问能否求出问能否求出y与与x的函数关系式？的函数关系式？X(万元万元)12y 1.51.8想一想想一想01例例2、扬州某公司生产的新产品，它的成本是扬州某公司生产的新产品，它的成本是2元元/件，售价是件，售价是3元元/件，年销售量为件，年销售量为10万件万件,为了获得更好的效益，公司准备为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广
26、告。根据经验，每年投入的广告费是拿出一定的资金做广告。根据经验，每年投入的广告费是 x(万元）时，产品的年销售量将是原销售量的万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且倍，且y是是x的的二次函数，它们的关系如下表：二次函数，它们的关系如下表：(1)求求y与与x的函数的关系式；的函数的关系式；(2)如果利润销售总额成本费广告费，试写出年利润如果利润销售总额成本费广告费，试写出年利润S(万元万元)与广告费与广告费x(万元万元)的函数关系式；并求出当广告费的函数关系式；并求出当广告费x为多少万元时，年利润为多少万元时，年利润S最大。最大。解：解：(2)由题意得：由题意得：S=10y(32)x =
27、x2+5x+10当当x=5/2时，时，S的最大值为的最大值为65/4.X(万元万元)125y1.51.81.5如图是椒江某公园一圆形喷水池，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下，如果喷头所在处A（0，1.25），水流路线最高处B（1，2.25），则该抛物线的解析式为_如果不考虑其他因素，那么水池的半径至少要_米，才能使喷出的水流不致落到池外。y=(x-1)2+2.25?,350500,1200,6000,6000,.4碍物试计算炮弹能否越过障的障碍物处有一高度为点间距离在度是炮弹运行轨道的最大高时而当射程是时为的水平距离与目标现测得我炮位空气阻力是抛物线炮弹的运行轨道若不计例mmABAmmmBA
28、解:建立如图坐标系CAxy50030006000B1200则C（3000，1200）程为弹道运行的抛物线方1200230002ypx3750,0,0pA所以在抛物线上又1200750030002yx从而弹道方程为350367,500yx时当故炮弹能越过障碍物。你知道吗？平时我们在跳大绳时，绳甩到 最高处的形状可近似的看为抛物线，如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 4米，距地面均为1 1米，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1 1米、2 2.5 5米处，绳子甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是1 1.5 5米，请你算一算学生丁的身高。1m2.5m4m1m甲乙丙
29、丁xyo(0,1)(0,1)(4,1)(4,1)(1,1(1,1.5)5)问题2牟斌斌同学身高1.7 m1.7 m,若若在这次跳投中，球在头顶上方0.25 m0.25 m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？如图，有一次,我班牟斌斌同学在距篮下4m4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离2.5m2.5m时，达到最大高度3.5m3.5m，然后准确落入篮圈。已知篮圈中心到地面的距离为3.05m3.05m.问题1 建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式；应用题的数学模型是针对或参照应用特应用题的数学模型是针对或参照应用特征或数量依存关系采用形式化的数学语言，征或数量依存关
30、系采用形式化的数学语言，概括或近似表达出来的一种数学结构，常见概括或近似表达出来的一种数学结构，常见的有以下几种解应用题常用的数学模型。的有以下几种解应用题常用的数学模型。一、函数模型一、函数模型 在数学应用题中，某些量的变化，通常都是遵循一在数学应用题中，某些量的变化，通常都是遵循一定规律的，这些规律就是我们学过的函数定规律的，这些规律就是我们学过的函数。二、不等式模型数学应用题中一些最优化问题，往往需用不等式知识加以解决数学应用题中一些最优化问题，往往需用不等式知识加以解决三、几何模型 把数学应用题翻译成数学中的几何问题，通过几把数学应用题翻译成数学中的几何问题，通过几何知识解决何知识解决
31、四、方程模型 许多数学应用题都要求我们求出一个（或几个）量许多数学应用题都要求我们求出一个（或几个）量来，或求出一个（或几个）量以后就可导致问题的最终来，或求出一个（或几个）量以后就可导致问题的最终解决，解方程（组）就是最有效的工具。解决，解方程（组）就是最有效的工具。函数应用题，求解过程通常分三步：函数应用题，求解过程通常分三步：1、阅读理解：即读懂题目中的文字叙述所反映的实际背景、阅读理解：即读懂题目中的文字叙述所反映的实际背景,领悟其中领悟其中的数学本质的数学本质,弄清题中出现的量及其数学含义。弄清题中出现的量及其数学含义。2、根据各个量的关系、根据各个量的关系,进行数学化设计进行数学化设计,即建立目标函数即建立目标函数,将实际问题转化为将实际问题转化为数学问题。数学问题。3、进行标准化设计、进行标准化设计,即转化为常规的函数问题或其他常规的数学问题加以即转化为常规的函数问题或其他常规的数学问题加以解决解决。（常用列表法，画图法等来帮助理解。）（常用列表法，画图法等来帮助理解。）（通常用解方程（组）、解不等式（组）、利用函数的性质等（通常用解方程（组）、解不等式（组）、利用函数的性质等）谢谢大家！谢谢大家！
