1、一 图形的变换轴对称轴对称:如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。旋转旋转：在平面内，一个图形绕着一个顶点旋转一定的角度得到另一个图形的变化较做旋转，定点O叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角，原图形上的一点旋转后成为的另一点成为对应点。旋转的性质旋转的性质：图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动；其中对应点到旋转中心的距离相等；旋转前后图形的大小和形状没有改变；两组对应点非别与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角；旋转中心是唯一不动的点。画出对称图形画出对称图形按旋转的角度画出旋转图形按旋转的角度画出旋转图
2、形二二 因数和倍数因数和倍数1、整除：被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。、整除：被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。大数能被小数整除时，大数是小数的大数能被小数整除时，大数是小数的倍数倍数，小数是大数的，小数是大数的因数因数。找因数的方法：找因数的方法：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1 1，最大，最大的因数是它本身。的因数是它本身。一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。2、自然数按能不能被、自然数按能不能被2整除来分：奇数整除来分：奇数 偶数偶数 奇数奇数：不能被：
3、不能被2整除的数整除的数偶数偶数：能被：能被2整除的数。整除的数。最小的奇数是最小的奇数是1，最小的偶数是，最小的偶数是0.个位上是个位上是0 0，2 2，4 4，6 6，8 8的数都是的数都是2 2的倍数。的倍数。个位上是个位上是0 0或或5 5的数，是的数，是5 5的倍数。的倍数。一个数各位上的数的和是一个数各位上的数的和是3 3的倍数，这个数就是的倍数，这个数就是3 3的倍数。的倍数。能同时被能同时被2 2、3 3、5 5整除的最大的两位数是整除的最大的两位数是9090，最小的三位数是，最小的三位数是120120。3、自然数按因数的个数来分：质数、合数、自然数按因数的个数来分：质数、合数
4、、1.质数：有且只有两个因数，质数：有且只有两个因数，1和它本身和它本身合数：至少有三个因数，合数：至少有三个因数，1、它本身、别的因数、它本身、别的因数1：只有只有1个因数。个因数。“1”1”既不是质数，也不是合数。既不是质数，也不是合数。最小的质数是最小的质数是2，最小的合数是，最小的合数是4。20以内的质数：有以内的质数：有8个（个（2、3、5、7、11、13、17、19）100以内的质数：以内的质数：2 2、3 3、5 5、7 7、1111、1313、1717、1919、2323、2929、3131、3737、4141、4343、4747、5353、5959、6161、6767、717
5、1、7373、7979、8383、8989、97974、分解质因数、分解质因数 用短除法分解质因数用短除法分解质因数（一个合数写成几个质数相乘的形式）（一个合数写成几个质数相乘的形式）5、公因数、最大公因数、公因数、最大公因数 几个数公有的因数叫这些数的公因数。其中最大的那个就叫几个数公有的因数叫这些数的公因数。其中最大的那个就叫它们的最大公因数。它们的最大公因数。用短除法求两个数或三个数的最大公因数用短除法求两个数或三个数的最大公因数 （除到互质为止，（除到互质为止，把所有的除数连乘起来）把所有的除数连乘起来）几个数的公因数只有几个数的公因数只有1 1，就说这几个数互质。，就说这几个数互质。
6、两数互质的特殊情况：两数互质的特殊情况：1和任何自然数互质；和任何自然数互质；相邻两个自然数互质；相邻两个自然数互质；两个两个质数一定互质；质数一定互质；2和所有奇数互质；和所有奇数互质；质数与比它小的合数互质；质数与比它小的合数互质；如果两数是倍数关系时，那么较小的数就是它们的最大公如果两数是倍数关系时，那么较小的数就是它们的最大公因数。因数。如果两数互质时，那么如果两数互质时，那么1就是它们的最大公因数。就是它们的最大公因数。6、公倍数、最小公倍数、公倍数、最小公倍数 几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。其中最小的那个几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。其中最小的那个就叫它们的最小公倍数。就叫
7、它们的最小公倍数。用短除法求两个数的最小公倍数（除到互质为止，把所有用短除法求两个数的最小公倍数（除到互质为止，把所有的除数和商连乘起来）的除数和商连乘起来）用短除法求三个数的最小公倍数（除到两两互质为止，把用短除法求三个数的最小公倍数（除到两两互质为止，把所有的除数和商连乘起来）所有的除数和商连乘起来）如果两数是倍数关系时，那么较大的数就是它们的最小公如果两数是倍数关系时，那么较大的数就是它们的最小公倍数。倍数。如果两数互质时，那么它们的积就是它们的最小公倍数。如果两数互质时，那么它们的积就是它们的最小公倍数。三三 长方体和正方体长方体和正方体【概念概念】1 1、由、由6 6个长方形（特殊情
8、况有两个相对的面是正方形）围成的立体个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。在一个长方体中，相对面完全相同，相对的棱长度图形叫做长方体。在一个长方体中，相对面完全相同，相对的棱长度相等。相等。2 2、两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个、两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。3 3、由由6 6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。正方体有方体）。正方体有1212条棱
9、，它们的长度都相等，条棱，它们的长度都相等，所有的面都完全相同所有的面都完全相同4 4、长方体和正方体的面、棱和顶点的数目都一样，只是正方体的棱、长方体和正方体的面、棱和顶点的数目都一样，只是正方体的棱长都相等，正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特长都相等，正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。殊的长方体。5 5、长方体有长方体有6 6个面，个面，8 8个顶点，个顶点，1212条棱，条棱，相对的面的面积相等，相对相对的面的面积相等，相对的棱的长度相等。一个长方体最多有的棱的长度相等。一个长方体最多有6 6个面是长方形，最少有个面是长方形，最少有4 4个面是
10、个面是长方形，最多有长方形，最多有2 2个面是正方形。正方体有个面是正方形。正方体有6 6个面，每个面都是正方形个面，每个面都是正方形，每个面的面积都相等，有，每个面的面积都相等，有1212条棱，每条的棱的长度都相等。条棱，每条的棱的长度都相等。长方体的棱长总和长方体的棱长总和L=（长（长a+a+宽宽b+b+高高h h）4 4 正方体的棱长总和正方体的棱长总和L=L=棱长棱长a a12 L=a12 L=a12 12 6、长方体或正方体6个面和总面积叫做它的表面积表面积。长方体的表面积长方体的表面积s=（长a宽b长a高h宽b高h)2 无底（或无盖）长方体表面积无底（或无盖）长方体表面积s=长a宽
11、b（长a高h宽b高h）2 2（a长宽b长a高h宽b高h）长a宽b 无底又无盖长方体表面积无底又无盖长方体表面积=（长a高h宽b高h）2 正方体的表面积正方体的表面积S=棱长a棱长a6 6、物体所占空间的大小叫做物体的体积体积。长方体长方体的体积的体积V=长a宽b高h 正方体正方体的体积的体积V=棱长a棱长a棱长a 7、箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做他们的容积容积。常用的容积单位有升和毫升也可以写成L和ml。1升=1立方分米 1毫升=1立方厘米 1升=1000毫升进率进率进率进率8 8、a a3读作读作“a a的立方的立方”表示表示3 3个个a a相乘，（即相乘，（即a aa a
12、a a）低级单位低级单位 高级单位高级单位进率：进率：1 1立方米立方米10001000立方分米立方分米10000001000000立方厘米立方厘米 1 1立方分米立方分米10001000立方厘米立方厘米1 1升升10001000毫升毫升 1 1立方厘米立方厘米1 1毫升毫升 1平方米平方米=100平方分米平方分米=10000平方厘米平方厘米 1平方千米平方千米=100公顷公顷=1000000平方米平方米重量单位进率，时间单位进率，长度单位进率重量单位进率，时间单位进率，长度单位进率【体积单位换算体积单位换算】高级单位高级单位 低级单位低级单位 四四 分数的意义和性质分数的意义和性质 分数的意
13、义分数的意义：1.分数的产生分数的产生2.分数与意义分数与意义：把单位：把单位1平均分成几份，表示其中的一份或几份平均分成几份，表示其中的一份或几份 3.分数与除法分数与除法：分子（被除数），分母（除数），分：分子（被除数），分母（除数），分 数值（商）数值（商）真分数与假分数真分数真分数与假分数真分数 1.真分数小于真分数小于1 2.假分数假分数 假分数大于假分数大于1或等于或等于1.3.带分数带分数 （整数部分和真分数）（整数部分和真分数）4.假分数化带分数、整数（分子除以分母，商作假分数化带分数、整数（分子除以分母，商作整数部分整数部分 余数作分子）余数作分子）分数的基本性质分数的基本性
14、质 1.分数的基本性质：分数的分子、分母同时扩大分数的基本性质：分数的分子、分母同时扩大或缩小相同的倍数，或缩小相同的倍数，分数的大小不变。分数的大小不变。2.通分、通分子：化成分母不同，大小不变的分通分、通分子：化成分母不同，大小不变的分数（通分）数（通分）约约 分分 1.最大公因数求最大公因数。最大公因数求最大公因数。2.最简分数最简分数 分子分母互质的分数（最简真分数、最简假分数）分子分母互质的分数（最简真分数、最简假分数）3.约分及其方法约分及其方法 通通 分分 1.最小公倍数最小公倍数 2.求最小公倍数求最小公倍数 3.分数比大小分数比大小 （通分、通分子、化成小数）（通分、通分子、
15、化成小数）4.通分及其方法通分及其方法 分数和小数的互化分数和小数的互化 1.小数化分数小数化分数 小数化成分母是小数化成分母是10、100、1000的分数再化简的分数再化简 2分数化小数分数化小数 分子除以分母，除不尽的取近似值分子除以分母，除不尽的取近似值 最简分数的分母只含有质因数最简分数的分母只含有质因数2和和5,这个分数一定能化成有限这个分数一定能化成有限小数。小数。分数化简包括两步：一是约分；二是把假分数化成整数或带分分数化简包括两步：一是约分；二是把假分数化成整数或带分数。数。=0.5 =0.25 =0.75 =0.2 =0.4 =0.6 =0.8 =0.125 =0.375 =
16、0.625 =0.875 =0.05 =0.04 五五 分数的加法和减法分数的加法和减法 分数数的加法和减法分数数的加法和减法 1.同分母分数加、减法同分母分数加、减法 （分母不变，分子（分母不变，分子相加减相加减）2.异分母分数加、减法异分母分数加、减法 （通分后再加减）（通分后再加减）分数加减混合运算分数加减混合运算 3.带分数加减法带分数加减法:带分数相加减，整数部分带分数相加减，整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的结果和分数部分分别相加减，再把所得的结果合并起来。合并起来。带分数加减法带分数加减法:带分数相加减，整数部分和分数部分分别相加减，带分数相加减，整数部分和分数部分分别相加
17、减，再把所得的结果合并起来。再把所得的结果合并起来。六六 统计与数学广角统计与数学广角 统计统计.众数众数 一组数据中出现次数最多的数叫众数。一组数据中出现次数最多的数叫众数。众数能够反映一组数据的集中情况。在一组数据中，众数众数能够反映一组数据的集中情况。在一组数据中，众数可能不止一个，也可能没有众数。可能不止一个，也可能没有众数。.复式折线统计图复式折线统计图 .综合应用综合应用 打电话的最优方案打电话的最优方案 中位数的求法：中位数的求法：1、按大小排列。、按大小排列。2、如果数据的个数是单数，那么最中间的那个数就是中、如果数据的个数是单数，那么最中间的那个数就是中位数；位数；如果数据的
18、个数是双数，那么最中间的那两个数的平均数如果数据的个数是双数，那么最中间的那两个数的平均数就是中位数。就是中位数。平均数的求法：总数平均数的求法：总数总份数总份数=平均数平均数 七七 数学广角数学广角 数目与测试的次数的关系：数目与测试的次数的关系：23个物体，保证能找出次品需要测的次数个物体，保证能找出次品需要测的次数是是1次次49个物体，保证能找出次品需要测的次数个物体，保证能找出次品需要测的次数是是2次次1027个物体，保证能找出次品需要测的次个物体，保证能找出次品需要测的次数是数是3次次2881个物体，保证能找出次品需要测的次个物体，保证能找出次品需要测的次数是数是4次次82243个物体，保证能找出次品需要测的个物体，保证能找出次品需要测的次数是次数是5次次244729个物体，保证能找出次品需要测的个物体，保证能找出次品需要测的次数是次数是6次次
